广西壮族自治区柳州市柳南区青华中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

来宾青华中学2028届高二（上）10月检测（数学） （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：每小题5分，共40分． 1.已知向量，，若，则（ ） A.4 B. C.0 D.2 2.若直线l的方程为，则直线l的倾斜角是（ ） A. B. C. D.0 3.若直线的倾斜角为30°，则m等于（ ） A. B. C. D.2 4.若直线与平行，则与的距离为（ ） A. B. C.3 D. 5.已知点在圆外，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6.已知点，动直线，作于点P，则点P到坐标原点O距离的最小值为（ ） A. B. C.2 D.1 7.已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8.已知点A，B在曲线上，以点A，B为切点的关于曲线C的切线交于点P（P在第一象限），作，垂足为H，O为坐标原点．若且，则直线OP的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分． 9.已知直线被圆截得的弦为AB，则（ ） A.圆C的标准方程为 B.圆心 C.圆心C到直线l的距离为 D. 10.圆和圆的交点为A，B，则（ ） A.公共弦AB所在直线的方程为 B.线段AB中垂线的方程为 C.公共弦AB的长为 D.两圆圆心距 11.已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q两点，与C相交于M，N两点，PQ的中点为G，MN的中点为H，则（ ） A. B. C.的最小值为8 D.面积的最小值为24（O为坐标原点） 三、填空题：每小题5分，共15分． 12.已知空间向量，，若，则______． 13.若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，第二象限的点位于双曲线的渐近线上，且．若，且，则C的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知直线l经过点． （1）若直线l与直线平行，求直线l的一般式方程； （2）若直线l与直线垂直，求直线l的一般式方程． 16.（15分）已知圆内有一点，AB为过点P的弦． （1）当时，求直线AB的方程； （2）求弦AB中点M的轨迹方程． 17.（15分）已知圆，圆交于A，B两点，A在第二象限． （1）求以AB为直径的圆的方程； （2）若过点A的直线分别交两圆于两个不同的点C，D，且，求直线CD的方程． 18.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与椭圆C相交于M，N两点，求的面积． 19.（17分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，C，D为椭圆上不同的两点， （ⅰ）若C，D关于直线对称，求实数k的取值范围； （ⅱ）若C，D关于x轴对称，直线AC和BD交于点E．过点的动直线与点E的轨迹交于P，Q两点，在x轴上是否存在定点M，使得若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由． 《来宾青华中学2028届高二（上）10月检测（数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D B A D C BD ACD 题号 11 答案 ACD 1.A 【详解】由题意得，，得． 2.B 【分析】利用直线的倾斜角的概念计算即可． 【详解】由题意可知直线l平行于纵轴，即其倾斜角为． 3.C 【分析】先利用倾斜角求出直线的斜率，再把直线的一般式方程变形为斜截式，从中读出用m表示的斜率表达式，最后建立两个斜率相等的方程，通过解方程求出参数m的值． 【详解】直线倾斜角， 直线斜率， 将直线方程化为斜截式：， ，即：， 直线斜率， 列等式：， ． 4.D 【详解】直线与平行，，解得． ，即． 与的距离． 5.B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得，再根据点在圆外得点到圆心的距离大于半径得或，综合两个条件可得所求实数a的取值范围． 【详解】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①． 所以圆的圆心，半径为． 因为点在圆外， 所以，即， 所以，解得或②． 综合①②，得或． 因此实数a的取值范围为． 6.A 【分析】先确定动直线恒过的定点，结合垂直关系得到点P的轨迹为圆，再利用圆上点到原点的最小距离为圆心到原点的距离减半径求解． 【详解】将直线l的方程整理为， 令，解得，即直线l恒过定点， 因为，垂足为P，所以， 根据直径所对圆周角为直角，可知点P的轨迹是以线段AQ为直径的圆， 因为、，则圆心为AQ的中点，半径， 原点O到圆心C的距离为， 而圆上点到圆外点的最小距离为点到圆心的距离减半径， 故点P到原点O的最小距离为． 7.D 【分析】设，根据椭圆定义可得，进而可表示各边长，再结合余弦定理可得离心率． 【详解】 如图所示，设，则，， 由椭圆定义可知，， 则，，， 且， 则在中，由余弦定理得，， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 即离心率为． 8.C 【分析】设，根据切线分析可知直线，与曲线C方程联立可得韦达定理，设线段AB的中点为，可知O，P，M三点共线，可得，，结合长度关系运算求解即可． 【详解】设，，，，， 因为直线OP的斜率为，即， 又因为点在曲线外，则， 由题意可知：曲线C在点A处的切线斜率不为0，可设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，且，解得， 则切线方程为， 因为点在曲线C上，则， 所以曲线C在点A处的切线方程为，即， 同理可得：曲线C在点B处的切线方程为， 又因为两条切线均过点，则，可得直线， 则点到直线的距离为， 因为，，， 则，， 联立方程，消去x可得， 则，， 则， 即，整理可得， 即，整理可得， 设线段AB的中点为，则， 且，可得，即， 因为直线OM的斜率为，可知O，P，M三点共线， 且，即，即， 可知，则， 即，整理可得， 则，即，解得， 即，所以直线OP的斜率为． 9.BD 【详解】对于A，对配方得：，A错误； 对于B，由A选项可知圆心坐标为：，B正确； 对于C，圆心C到直线l的距离为，C错误； 对于D，由A选项可知圆C的半径为，所以，D正确． 10.ACD 【分析】求得两圆圆心距，可判断选项D；进而可得两圆相交，把两圆方程相减得到公共弦AB所在直线的方程，即可判断选项A；再把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段AB的中垂线，即可判断选项B；利用一个圆的圆心到直线的距离进而求出弦AB的长，可判断选项C． 【详解】由，可得，可得圆心为，半径为， 由，可得，可得圆心为，半径为， 所以，所以两圆相交， 两圆方程相减得，所以公共弦AB所在直线的方程为，故AD正确； 由，，可得， 所以直线所在直线的方程为， 所以线段AB中垂线所在直线方程为，故B错误； 圆心到公共弦AB所在直线的距离为， 故公共弦的长为，故C正确． 11.ACD 【分析】选项A，根据题意得到直线，的斜率都存在；设直线的方程为，通过联立直线和抛物线，消去x，得到y的一元二次方程，设，，根据根与系数的关系得到，利用抛物线的定义求出和，计算，从而得到结论；选项B，求出，由得到，的斜率互为负倒数，从而将中的m替换为，可以得到，计算，从而得到结论；选项C，设PQ的中点为，利用中点坐标公式求出，将代入直线的方程得到，从而得到点G的坐标，同理，设MN的中点为，将m替换为，可以得到H的坐标，利用两点间的距离公式求出，通过换元，结合基本不等式和二次函数的图像和性质得到的最小值；选项D，根据G，H的坐标求出直线GH的方程，令，解出，从而得到直线GH恒过定点，则，利用基本不等式得到最小值． 【详解】抛物线，，，，焦点为， 选项A，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q两点， 与C相交于M，N两点，故直线，的斜率都存在； 设直线的方程为， 联立直线和抛物线， 消去x，得到，即， 设，，则， ， ， 则 ， 综上可知，选项A正确； 选项B，， ，，的斜率互为负倒数， 中的m替换为，可以得到， ， 显然，当m变化时，不是常数，故选项B错误； 选项C，设PQ的中点为， 则，， 则， 同理，设MN的中点为，将m替换为，可以得到， 设，，， 当且仅当时，即时，等号成立，故， 则转化为， 在范围内是单调递增函数， 故时，取最小值，且最小值为 故选项C正确； 选项D，，， 则直线GH的方程为， 令，则，整理得到， 故直线GH恒过定点， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 故面积的最小值为24，故选项D正确． 12. 【详解】因为，，， 则，解得． 13. 【详解】由圆，圆心为，半径为r， 则圆心到直线即的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即r的取值范围是． 14.4 【分析】证明三角形全等，再由余弦定理求解即可． 【详解】依题意，点在C的渐近线上，点Q在C的右支上． 因为，所以． 设O为坐标原点，又O，Q分别为，的中点，则， 又，，故， 故，而，则． 在中，由余弦定理，得，解得（负值舍去）． 15.（1） （2） 【详解】（1）因为直线l与直线平行， 所以设直线l的方程为，， 将点代入，得，解得， 故直线l的一般式方程为． （2）由题知，直线的斜率为， 设直线l的斜率为k， 由题意知，即，解得． 又因为直线l经过点， 由点斜式得， 整理得， 故直线l的一般式方程为． 16.（1）或 （2） 【分析】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况考虑，在斜率不存在时结合图形求出弦长检验可得；在斜率存在时，利用弦长公式求出直线斜率即得直线方程； （2）方法一：由垂径定理得，从而可得点M的轨迹是以OP为直径的圆，求出圆的方程即可；方法二：利用，代入点的坐标推导即得；方法三：利用，代入点的坐标推导即得． 【详解】（1）当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为，代入．，， 此时，符合题意； 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，即， 设原点O到直线AB的距离为d，则，解得， 的方程为，即， 综上，直线AB的方程为或． （2）方法一：是AB的中点，由垂径定理得， 的轨迹是以OP为直径的圆．OP的中点为， 即圆心为，半径， 的轨迹方程为． 方法二：设，由垂径定理得，，（且）， ，得（且）， 当时，，时，，也满足上式， 的轨迹方程为． 方法三：设，由垂径定理得，．， 即，即M的轨迹方程为． 17.（1） （2） 【分析】（1）利用两圆方程相减得到公共弦AB所在直线方程，结合“连心线垂直平分公共弦”的性质确定所求圆的圆心，再通过垂径定理计算半弦长（即半径），最终写出圆的标准方程； （2）设直线的点斜式方程，根据“弦长”，利用弦长公式，列方程求解斜率，进而得到直线方程． 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4， 两圆方程相减得，所以直线AB的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以AB为直径的圆的方程为． （2）A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点C，D分别在圆O和圆N上，易知直线CD的斜率存在， 设直线CD的方程是，即， 则点O到直线CD的距离为，点N到直线CD的距离为． 因为， 所以，即， 解得，故直线CD的方程是， 整理得直线CD的方程为． 18.（1） （2） 【分析】（1）根据已知条件确定a，b，c的值，确定椭圆方程． （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可． 【详解】（1）由题知，，则， 又因为， 所以椭圆C的标准方程为． （2）由题意知，直线l过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去x得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 19.（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）在x轴上存在点，使得． 【分析】（1）由离心率和短轴长结合a，b，c关系求值，写出方程即可； （2）（ⅰ）设直线CD的方程为，，，CD的中点为，与椭圆方程联立后，利用根与系数的关系求得，，进而利用点在上以及可求得实数k的取值范围；（ⅱ）设，，，写出AC，BD的方程，两式相乘，利用点C在椭圆上，进而计算可得动点E的轨迹方程，由得，设存在定点满足条件，由求得h即可． 【详解】（1）由，得，，， 故椭圆方程为：． （2）（ⅰ）因为C，D关于直线对称，所以CD所在直线的斜率为k， 设直线CD的方程为，，，CD的中点为， 由得， 所以， 所以， 由，可得，， 所以，整理得，所以， 所以，所以，所以，解得， 所以实数k的取值范围为； （ⅱ）存在这样的点M，使得． 假设存在这样的点，使得， 如图，若C，D关于x轴对称，则设，，， 则直线，直线， 两式相乘得， 因为C在椭圆上，所以，即， 代入得，化简得，因为点E不与顶点重合，所以． 即动点E的轨迹方程为． 如图，因为， 所以，即，所以， 设过点的直线方程为，，， 由，可得， 因为双曲线与直线有两个不同的交点， 所以有两个不同的解，所以， 所以，， 设，则，即． 所以，化简得， 所以，因为，所以，解得， 故在x轴上存在点，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $