精品解析：广东省深圳市龙岗区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试题

龙岗区2025～2026学年第一学期学科素养调研 九年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 2. 若是方程一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 据统计，2024年某新能源汽车在深圳销售约为12万辆，预计2026年在深圳的年销量将达到27万辆．设这两年该新能源汽车在深圳的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 深圳湾公园为展示“国际红树林中心”建设成果，设置了一块矩形互动科普屏．屏幕显示一个长为、宽为的矩形公园区域，其中红树林湿地的边界复杂，其面积难以直接计算．为了估算红树林的实际面积，工作人员设计了一个程序：由游客在矩形屏幕上随机点击，记录点击落在红树林图形内的次数，经过统计发现点落在红树林区域的频率稳定在附近．据此，可以估计红树林区域的面积约为（ ） A. B. C. D. 5. 某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（ ） A. 9米 B. 12米 C. 15米 D. 18米 6. 将抛物线通过平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（ ） A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B. 向左平移2个单位，再向上平移2个单位 C. 向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位 7. 如图所示的正方形网格中，、、三点均在正方形格点上，则的大小是（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，在菱形中，，E是的中点，F是上一点且满足，则（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为______． 10. 古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦上一点，过点P作射线，交弦于点A，交弦于点E．若，则______． 11. 深圳某科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜正上方A点，垂直上升至距地面30米的P点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点．若地面引导员在B点正下方的C点测得无人机悬停点P的仰角为（参考数据：，，），则无人机从P点水平飞抵B点距离约为______米． 12. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，B是x轴负半轴上一点，交y轴于点C，若C为中点，的面积为8时，则______． 13. 校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆、垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 习题课上老师给了一道方程：． 洋洋的解法 方程可化为： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 ∴， …第五步 融融的解法 方程可化： …第一步 两边都除以 …第二步 ∴ …第三步 （1）她们的解法都是错误的，洋洋从第______步开始错误，错因是______；融融从第______步开始错误，错因是______； （2）请你正确解出该方程． 16. 深圳某中学科技社举办“拥抱智能，探索未来”应用体验日活动，准备了以下四个体验项目供学生随机选择： A．智能语音助手对话编程 B．学习助手解疑体验 C．AI图像生成艺术创作 D．人形机器人指令交互 （1）该校学生小智随机选择一个项目，他选中“图像生成艺术创作”（项目C）的概率是______； （2）科技社成员小深和小港都参加了活动，他们各自从以上四个项目中随机选择一项进行体验．请用画树状图或列表方法，求两人选择的项目恰好相同的概率． 17. 如图，点E是矩形边上一点，且． 【操作与验证】（1）尺规作图：在的延长线上找到一点F，连接，使得四边形是菱形，并给出相应证明； 【推理与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求矩形的面积． 18. 【定义】对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动函数”，点为该函数图象上的一个不动点． 【初步探究】反比例函数是否为“不动函数”？数学兴趣小组作以下思考： 从“数”的角度，由定义可知令，即判断方程是否有解即可； 从“形”的角度，点一定在直线上，即判断反比例函数的图象与直线是否有交点即可． 【问题解决】 （1）结合上述探究思路，可以判断出反比例函数______“不动函数”．（填“”或“不是”） （2）下列函数是“不动函数”的序号是______． ①； ②； ③． （3）请判断二次函数是否为“不动函数”？若是，请求出不动点坐标；若不是，请说明理由． 19. 为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展． 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）可表示为：； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等． 【问题解决】 （1）求“经典系列”在试销时的每日总利润； （2）求出信息二中x的值； （3）企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略．设“环保系列”的销售单价为t元/件（），其每日总利润为w元．问每日的最大利润是否能超过4950元？如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由． 20. 【教材回顾】（1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：，； 【类比迁移】（2）如图2，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点F．若时，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在菱形中，，E是边上一点且满足，点F是延长线上一点，连接交射线于点G，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岗区2025～2026学年第一学期学科素养调研 九年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 2. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，解得， 故选：D． 3. 据统计，2024年某新能源汽车在深圳销售约为12万辆，预计2026年在深圳的年销量将达到27万辆．设这两年该新能源汽车在深圳的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用中的增长率问题.从2024年到2026年经过2年，设年平均增长率为x，则根据增长模型列方程即可． 【详解】解：∵从2024年到2026年经过2年，初始销量为12万辆，最终销量为27万辆，年平均增长率为x， ∴列方程为：， 故选：A． 4. 深圳湾公园为展示“国际红树林中心”建设成果，设置了一块矩形互动科普屏．屏幕显示一个长为、宽为的矩形公园区域，其中红树林湿地的边界复杂，其面积难以直接计算．为了估算红树林的实际面积，工作人员设计了一个程序：由游客在矩形屏幕上随机点击，记录点击落在红树林图形内的次数，经过统计发现点落在红树林区域的频率稳定在附近．据此，可以估计红树林区域的面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、几何概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．设红树林区域的面积约为，先求出点落在红树林区域的概率为，再利用几何概率公式计算即可得． 【详解】解：设红树林区域的面积约为， ∵经过统计发现点落在红树林区域的频率稳定在附近， ∴点落在红树林区域的概率为， 由题意得：， 解得， ∴估计红树林区域的面积约为， 故选：C． 5. 某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（ ） A. 9米 B. 12米 C. 15米 D. 18米 【答案】B 【解析】 【分析】由太阳光为平行光可知，进而证明，利用相似三角形对应边成比例，即可列式求解． 【详解】解：由题意知， ， 又， ， ，即， ， 即旗杆的高度为12米． 故选B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行投影、平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 6. 将抛物线通过平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（ ） A 向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B. 向左平移2个单位，再向上平移2个单位 C. 向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”判断平移过程． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到， 故选：A． 7. 如图所示的正方形网格中，、、三点均在正方形格点上，则的大小是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，求角的余弦值，掌握知识点是解题的关键． 先推导出是直角三角形，且，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得，，， ∴，，， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：D． 8. 如图，在菱形中，，E是的中点，F是上一点且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、直角三角形的性质和判定、勾股定理和平行线的判定和性质，解题的关键是找到比值的转化和菱形的性质． 过点F作于点G，过点D作交延长线于点H，则，设菱形的边长为，则，进一步求得和，通过题意判定为直角三角形，则和，在中，利用勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】解：过点F作于点G，过点D作交延长线于点H，如图， 则， 设菱形的边长为，则， ∵， ∴，， 则，， ∵E是的中点，， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 在中，， 则， 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 由已知等式变形求解比值即可． 【详解】解：由两边同时除以得， 故答案为：． 10. 古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦上一点，过点P作射线，交弦于点A，交弦于点E．若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线所截线段对应成比例，根据平行线所截线段对应成比例得，进而求解即可． 【详解】解：∵，且相邻两弦之间的距离相等， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 11. 深圳某科技园区试点无人机外卖配送．无人机从外卖柜正上方A点，垂直上升至距地面30米P点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点．若地面引导员在B点正下方的C点测得无人机悬停点P的仰角为（参考数据：，，），则无人机从P点水平飞抵B点距离约为______米． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键．先求出，然后在中，用正切函数列式计算即可． 【详解】解： 由题意可知 （米） 无人机从P点水平飞抵B点距离约为40米． 故答案为：40． 12. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，B是x轴负半轴上一点，交y轴于点C，若C为中点，的面积为8时，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作轴，垂足是，证明，则可得的面积为，即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足是， C为中点， ， , ， ， ， ， 故答案为：16． 13. 校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆、垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，建立平面直角坐标系，求二次函数的解析式是解题的关键．以的中点O为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则，，，设经过A、B、C三点的抛物线解析式为，把代入，求出，再求出抛物线的顶点纵坐标即可． 【详解】解：如图所示，以的中点O为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，， 设经过A、B、C三点的抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线解析式为， 令，则， 此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的运算． 先计算乘方、绝对值、三角函数，并化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 15. 习题课上老师给了一道方程：． 洋洋的解法 方程可化为： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 ∴， …第五步 融融的解法 方程可化为： …第一步 两边都除以 …第二步 ∴ …第三步 （1）她们的解法都是错误的，洋洋从第______步开始错误，错因是______；融融从第______步开始错误，错因是______； （2）请你正确解出该方程． 【答案】（1）二，违反了等式的基本性质1，右边漏加1，二，违反了等式的基本性质2，可能为0 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的基本性质回答即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：洋洋从第二步开始错误，违反了等式的基本性质1，右边漏加1 融融从第二步开始错误，违反了等式的基本性质2，可能为0． 故答案为：二，违反了等式的基本性质1，右边漏加1，二，违反了等式的基本性质2，可能为0 【小问2详解】 解：方程可化为， ， ， 或． ，． 16. 深圳某中学科技社举办“拥抱智能，探索未来”应用体验日活动，准备了以下四个体验项目供学生随机选择： A．智能语音助手对话编程 B．学习助手解疑体验 C．AI图像生成艺术创作 D．人形机器人指令交互 （1）该校学生小智随机选择一个项目，他选中“图像生成艺术创作”（项目C）的概率是______； （2）科技社成员小深和小港都参加了活动，他们各自从以上四个项目中随机选择一项进行体验．请用画树状图或列表方法，求两人选择的项目恰好相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择相同项目的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四个项目，且每个项目被选择的概率相同， ∴该校学生小智随机选择一个项目，他选中“图像生成艺术创作”（项目C）的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小深和小港选择项目相同的结果有4种， ∴两人选择的项目恰好相同的概率为． 17. 如图，点E是矩形的边上一点，且． 【操作与验证】（1）尺规作图：在的延长线上找到一点F，连接，使得四边形是菱形，并给出相应证明； 【推理与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求矩形的面积． 【答案】（1）作图见解析；证明见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，尺规作图，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定与性质及尺规作图是解题的关键． （1）在的延长线上截取点F，使得，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质证明是等边三角形，再逐步求出，，，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图所示，在的延长线上截取点F，使得，则点F即为所求； 证明：，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； （2）菱形的周长为32， ． ， 是等边三角形， ． 在矩形中，， 在中，，， ， ， ． 18. 【定义】对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动函数”，点为该函数图象上的一个不动点． 【初步探究】反比例函数是否为“不动函数”？数学兴趣小组作以下思考： 从“数”的角度，由定义可知令，即判断方程是否有解即可； 从“形”的角度，点一定在直线上，即判断反比例函数的图象与直线是否有交点即可． 【问题解决】 （1）结合上述探究思路，可以判断出反比例函数______“不动函数”．（填“是”或“不是”） （2）下列函数是“不动函数”的序号是______． ①； ②； ③． （3）请判断二次函数是否为“不动函数”？若是，请求出不动点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）是 （2）① （3）是“不动函数”，且不动点为， 【解析】 【分析】本题考查新定义、解一元二次方程、解一元一次方程，（1）根据题意把代入表达式进行判断即可； （2）根据题意把代入表达式进行判断即可； （3）根据题意把代入表达式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意，把代入得，， ∴、在反比例图象上， ∴反比例函数是“不动函数”， 故答案为：是． 【小问2详解】 解：①把代入得，， 解得， ∴是“不动函数”； ②令得，，即， ∴x的值不存在， ∴反比例不是“不动函数”； ③令得，， ∵， ∴x的值不存在， ∴二次函数不是“不动函数”， 故答案为：①； 【小问3详解】 解：二次函数是“不动函数”，理由如下： 令得，， 解得，， ∴点、在二次函数的图象上， ∴二次函数是“不动函数”，不动点坐标是、． 19. 为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展． 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）可表示为：； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等． 【问题解决】 （1）求“经典系列”在试销时的每日总利润； （2）求出信息二中x的值； （3）企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略．设“环保系列”的销售单价为t元/件（），其每日总利润为w元．问每日的最大利润是否能超过4950元？如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）“经典系列”在试销时的总利润为4000元 （2）x的值为40 （3）每日的最大利润不能超过4950元，此时销售单价为55元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意是关键． （1）根据题意，“经典系列”试销时，单件利润乘以日销量即可； （2）“环保系列”的单件利润为元，日销量为件，列方程求解即可； （3）根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：“经典系列”试销时，单件利润为（元）， 日销量为200件， 每日总利润（元）， 答：“经典系列”在试销时总利润为4000元． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得，， 要让利于民，销售单价应尽可能低， 取． 【小问3详解】 解：每日的最大利润不能超过4950元，此时销售单价为55元， 理由如下： ， ， 当时，w有最大值，最大值为． 销售单价为55元时，每日的最大利润不能超过4950元． 20. 【教材回顾】（1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：，； 【类比迁移】（2）如图2，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点F．若时，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在菱形中，，E是边上一点且满足，点F是延长线上一点，连接交射线于点G，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 或 【解析】 【分析】（1）延长交于于点H，结合正方形的性质利用证明，和，证明即可； （2）延长交于于点H，结合矩形的性质得、和，在中，利用勾股定理得到，结合折叠的性质得和，即可证明得到和，即可求得，利用解直角三角形得到，在中利用求得，在中，利用勾股定理求得，即可得到； （3）当线段与射线所夹的锐角为时，则或， ①当时，过点E作交于于点P，延长交延长线于点H，结合菱形的性质得，，，令，，则．在中，利用勾股定理求得，在中求得．结合平行线得到和，求得和．进一步证明和，有求得，即可求得和，结合即可；②当时，．由①知和，则有和得到，求得和、，利用即可． 【详解】解：（1）延长交于于点H，如图， 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即． （2）延长交于于点H，如图， 在矩形中，，，， ∵，，， ∴，，， ∴在中，． ∵沿折叠得到， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴． （3）当线段与射线所夹的锐角为时，则或， ①当时， 过点E作交于于点P，延长交延长线于点H，如图， 在菱形中，， ∴，，， ∵， ∴令，，则． 在中，， ∴，， ∴， ∴在中，． ∵， ∴，， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴． ②当时，． 由①知，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、平行线的判定和性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉相似三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $