2026年中考数学第一轮复习精讲精练 专题三 一次函数的应用

2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第三章 函数 专题三 一次函数的应用 命题点1 方案问题 1．（2025·山西临汾·一模）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 50g，其营养成分表如下： 考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共6包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于70g，且脂肪含量要尽可能低，请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 2．（2024·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．” 小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？ 3．（2022·山西·一模）某学校为了改善学生信息课的学习环境，现在准备购进甲、乙两种品牌的电脑共100台．经市场调查发现，购买甲种电脑2台和乙种电脑5台，共需费用25000元；购买甲种电脑3台和乙种电脑1台，共需费用18000元． (1)求甲、乙两种品牌的电脑每台售价各多少元？ (2)因实际需要，购买甲种电脑的数量不少于购买乙种电脑数量的3倍，学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其它因素），实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 4．（2025·山西大同·一模）“人说山西好风光，地肥水美五谷香”．山西复杂的地形、多样的气候、丰富的杂粮品种资源，使山西成为“小杂粮王国”，某杂粮经销商对本地购买20袋以上杂粮的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）： 方案A：每袋30元，由经销商免费送货； 方案B：每袋26元，客户需支付运费200元． （1）请分别写出按方案A，方案B购买该杂粮的应付款y（元）与购买量x（箱）之间的函数表达式； （2）某单位计划购买该经销商的杂粮，选择哪种方案更省钱？ 5．（2025·山西·一模）每年山西省都会举办“书香三晋·文化山西”全民阅读工作系列活动，2018年我省紧紧围绕学习宣传贯彻党的十九大精神”、“纪念改革开放四十周年”、“红色的魅力”、“弘扬中华优秀传统文化”四大主题展开阅读普及工作.在活动期间某学校采购《梁家河》和《邓小平在1984》共90本作为奖品奖励积极参加读书活动的先进个人.已知《梁家河》的定价是每本36元，《邓小平在1984》的定价比《梁家河》高.按照需求，《梁家河》的本数不少于《邓小平在1984》本数的2倍.设学校采购《梁家河》的本数是. （1）求的取值范围； （2）请求出总价元与购买《梁家河》的本数之间的函数关系式； （3）若学校最终决定采购70本《梁家河》，书店有这样的两种优惠方案只能任选其一：①《梁家河》单本购买，按照定价的8折结算，《邓小平在1984》单本购买，按照定价的75折结算；②两本书都按照定价购买，结算时总金额不低于1800元时，打8折付款，购买总金额不低于3000元时，打75折付款.学校应该选哪种优惠方案？请说明理由. 6．（2025山西长治·一模）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y万元，购买A，B两种机器人共8台，其中购进A型机器人x台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息． 型号 分拣速度 单价 A 1200件/小时 6万元/台 B 1000件/小时 4万元/台 (1)求y关于x的函数关系式； (2)若要使这8台机器人每小时分拣快递的总件数不少于8300件，该公司至少需要投入资金多少万元？ 命题点2 行程问题 7．（2025·山西·三模）一辆汽车加满油后，在匀速行驶的过程中，油箱中剩余油量（单位：）是行驶路程（单位：）的一次函数．该汽车连续匀速行驶过程中，部分数据如下表所示，当油箱中剩余油量为时，行驶的路程为（   ） … 0 50 100 … … 45 41 37 … A． B． C． D． 8．（2023·山西大同·模拟预测）在一条笔直的公路上有，两地，甲、乙两辆货车都要从地送货到地，甲车先从地出发匀速行驶，小时后乙车从地出发，并沿同一路线匀速行驶，当乙车到达地后立刻按原速返回，在返回途中第二次与甲车相遇，甲车出发的时间记为，两车之间的距离记为，与的函数关系如图所示，则乙车第二次与甲车相遇时甲车距离地（   ）    A． B． C． D． 9．（2023·山西阳泉·二模）位于阳泉市平定县的七亘村曾是隐藏在太行山腹地的军事要地．抗日战争时期，刘伯承元帅指挥的七亘伏击战创造了八路军抗日战争史上非常经典的以少胜多的战例．周末、爱好骑行的小张和小王相约同时从市图书馆出发，到七亘党性教育基地重温那段红色历史．假定小张骑行的速度一直保持，而小王骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示，请解答以下问题： (1)当时，小王骑行的速度是 ； (2)当时，求s与之间的函数表达式； (3)直接写出何时开始小王骑行在小张的前面． 10．（2025山西吕梁模拟）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系． 请你根据图象进行探究： （1）小王和小李的速度分别是多少？ （2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 11．（2025山西忻州中考模拟）A、B与C三地依次在一条直线上.甲，乙两人同时分别从A,B两地沿直线匀速步行到C地，甲到达C地花了m分钟.设两人出发x(分钟)时，甲离B地的距离为y(米)，y与x的函数图像如图所示. （1）A地离C地的距离为 米，m= ； （2）已知乙的步行速度是40米/分钟，设乙步行时与B地的距离为y(米)，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围，并在图中画出此函数的图像； （3）乙出发几分钟后两人在途中相遇？ 命题点3 费用或利润的最值问题 12．（2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元． (1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价． (2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？ 13．（2025·山西临汾·二模）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲．乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． (1)求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ (2)张老师准备购买甲、乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价优惠付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 14．（2025·山西长治·模拟预测）山药是山中之药、食中之药，有“神仙之食”的美名，为方便人们使用，现在很多企业将山药加工成山药粉进行销售，小李想要购进一批山药粉，了解到某品牌山药粉有罐装和盒装两种规格，每件盒装山药粉的价格是每件罐装山药粉价格的，用元购买盒装山药粉的数量比用元购买罐装山药粉的数量多6件． (1)求该品牌罐装山药粉和盒装山药粉的单价． (2)小李打算购买该品牌罐装山药粉和盒装山药粉共件进行销售，且购买盒装山药粉的数量不超过罐装山药粉数量的3倍，求最低的购买费用． 15．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．    (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 16．（2024·山西阳泉·模拟预测）“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．    (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 17．（2024·山西太原·二模）当农业遇上科技，变革正悄然进行．太原市小店区刘家堡乡依托资源互补共生技术，将传统渔业循环养殖和大棚蔬菜种植有机结合，从而实现“一棚双收、一水两用”的绿色农业循环．近日，综合种养大棚的零农药水培芹菜、西红柿上市．为了推销这两种蔬菜，小李和他的团队在网上直播带货购入两种蔬菜共400箱，其进货成本、直播成本以及售价如下表： 进货成本（元/箱） 直播成本（元/箱） 售价（元/箱） 西芹 18 4 28 西红柿 24 6 40 已知该直播团队销售这两种蔬菜投入总成本不超过10800元，若所购进的蔬菜全部销售完，则应怎样安排“西芹”和“西红柿”的进货量，可使该团队所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种蔬菜的进货量． 18．（2024·山西晋中·模拟预测）第六届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2023年11月5日至10日在上海全面线下举办，展览面积约36.7万平方米，世界500强和行业龙头企业参展数超历届水平，超过400项新产品、新技术、新服务集中展示．在进博会上，有A，B两款饮料大受欢迎，B款饮料每箱的售价是A款饮料每箱售价的，购买10箱A款饮料和20箱B款饮料共需1000元． (1)求A，B两款饮料每箱的售价． (2)若某公司计划购买A，B两款饮料共80箱，且B款饮料的数量不超过A款饮料数量的2倍，则如何购买才能使总费用最低？最低费用为多少？ 命题点4 其他实际问题 19．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 20．（2025·山西临汾·二模）电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为 千克． 21．（2025·山西长治·一模）物理课上，于老师让同学们做如下实验：在水盆中放入质地均匀的木块，在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块B露出水面的高度（单位：）与铁块的质量（单位：），发现它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块的质量为时，木块露出水面的高度为 ． 实验次数 一 二 三 铁块的质量 25 50 75 高度 44 38 32 22．（2025·山西·模拟预测）控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室研究人员配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了时该营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度(/天)是该营养素用量()的一次函数( ，部分数据如下表所示： 营养素用量() 幼苗的生长速度(/天) 若营养素用量为，则幼苗的生长速度为 /天． 23．（2025·山西大同·三模）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如下表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则当水温达到时，所需的时间是 ． 24．（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 命题点5 一次函数与几何图形综合问题 25．（2025·山西长治·三模）下表为一次函数的自变量x与因变量y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 6 5 4 3 … 则下列关于该函数图象的说法中正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与x轴的交点坐标为 C．图象与坐标轴围成的三角形的面积为36 D．若点和在该函数图象上，且，则 26．（2025·山西·模拟预测）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（   ） A．12 B． C．10 D．6 27．（2025·山西朔州·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点上，顶点在轴正半轴上，直线的解析式为，则该菱形的边长为 ． 28．（2025·山西长治·模拟预测）如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示． (1)________； (2)求点在段上运动时，的面积与运动时间的函数关系式； (3)当的面积为时，求的值． 1．A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 2．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 3．在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 4．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 5．2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 6．某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 7．某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 8．2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 1．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 2．甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 3．2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 4．【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 一、单选题 1．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 2．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 3．某快递公司每天上午9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（  ） A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30 二、填空题 4．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 5．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 6．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示： 日期 1 2 3 4 数量（瓶） 120 125 130 135 观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 瓶． 三、解答题 7．中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 8．某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 9．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 10．为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第三章 函数 专题三 一次函数的应用（解析版） 命题点1 方案问题 1．（2025·山西临汾·一模）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 50g，其营养成分表如下： 考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共6包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于70g，且脂肪含量要尽可能低，请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】符合要求且脂肪含量最低的配餐方案为选用种食品4包，种食品2包 【分析】本题主要考查了一元一次不等式和一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，得到一元一次不等式进而得到的取值范围，再根据一次函数图像的性质进而得到答案即可． 【详解】解：设选用种食品包，则选用种食品包， 由题意得：， 解得：， 设每份午餐的总脂肪含量为， 由题意得：， 即， ∵， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，此时， 答：符合要求且脂肪含量最低的配餐方案为选用种食品4包，种食品2包． 2．（2024·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．” 小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？ 【答案】(1)每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人 (2)八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出，再表示出，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人． 根据题意得， 解得． 答：每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人． （2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元． 根据题意得， 解得， ． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取最小值， ∴． 答：八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少． 3．（2022·山西·一模）某学校为了改善学生信息课的学习环境，现在准备购进甲、乙两种品牌的电脑共100台．经市场调查发现，购买甲种电脑2台和乙种电脑5台，共需费用25000元；购买甲种电脑3台和乙种电脑1台，共需费用18000元． (1)求甲、乙两种品牌的电脑每台售价各多少元？ (2)因实际需要，购买甲种电脑的数量不少于购买乙种电脑数量的3倍，学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其它因素），实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】(1)甲种品牌的电脑每台售价为5000元，乙种品牌的电脑每台售价为3000元； (2)购买甲种品牌的电脑75台，乙种品牌的电脑25台，实际所花费用最省，最省的费用是405000元 【分析】（1）设甲种品牌的电脑每台售价为x元，乙种品牌的电脑每台售价为y元．根据题意列出方程组，求出方程组的解即可； （2）设购进甲种品牌电脑m台，所花费用是w元．根据题意列出函数关系式，求关于m的一元一次不等式，根据m的取值范围求最值． 【详解】（1）解：设甲种品牌的电脑每台售价为x元，乙种品牌的电脑每台售价为y元． 根据题意，得，解得． 答：甲种品牌的电脑每台售价为5000元，乙种品牌的电脑每台售价为3000元． （2）解：设购进甲种品牌电脑m台，所花费用是w元． 根据题意，得，解得． ∴． 整理得． ∵，∴w随m的增大而增大． ∵，∴当时，w有最小值． ∴w最小． ∴（台） ∴购买甲种品牌的电脑75台，乙种品牌的电脑25台，实际所花费用最省，最省的费用是405000元 【点睛】本题考查了二元一次方程组、解一元一次不等式和一次函数的应用，能根据题意列方程组和函数关系式是解此题的关键． 4．（2025·山西大同·一模）“人说山西好风光，地肥水美五谷香”．山西复杂的地形、多样的气候、丰富的杂粮品种资源，使山西成为“小杂粮王国”，某杂粮经销商对本地购买20袋以上杂粮的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）： 方案A：每袋30元，由经销商免费送货； 方案B：每袋26元，客户需支付运费200元． （1）请分别写出按方案A，方案B购买该杂粮的应付款y（元）与购买量x（箱）之间的函数表达式； （2）某单位计划购买该经销商的杂粮，选择哪种方案更省钱？ 【答案】（1），；（2）当x＞50时，选择方案B更省钱，当x＝50时，选择方案A和方案B都一样，当20＜x＜50时，选择方案A更省钱． 【分析】（1）直接根据各自方案写出函数表达式即可； （2）分别由、、求出对应的x范围即可做出选择． 【详解】（1）． ． （2）由，得30x＝26x＋200，解得x＝50 由，得30x＞26x＋200，解得x＞50 由，得30x＜26x＋200，解得x＜50 ∴这两种方案是针对本地购买20袋以上的客户， ∴x＞20， 答：当x＞50时，选择方案B更省钱，当x＝50时，选择方案A和方案B都一样， 当20＜x＜50时，选择方案A更省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用、解一元一次不等式、解一元一次方程，解答的关键是理解题意，求出各方案的函数表达式． 5．（2025·山西·一模）每年山西省都会举办“书香三晋·文化山西”全民阅读工作系列活动，2018年我省紧紧围绕学习宣传贯彻党的十九大精神”、“纪念改革开放四十周年”、“红色的魅力”、“弘扬中华优秀传统文化”四大主题展开阅读普及工作.在活动期间某学校采购《梁家河》和《邓小平在1984》共90本作为奖品奖励积极参加读书活动的先进个人.已知《梁家河》的定价是每本36元，《邓小平在1984》的定价比《梁家河》高.按照需求，《梁家河》的本数不少于《邓小平在1984》本数的2倍.设学校采购《梁家河》的本数是. （1）求的取值范围； （2）请求出总价元与购买《梁家河》的本数之间的函数关系式； （3）若学校最终决定采购70本《梁家河》，书店有这样的两种优惠方案只能任选其一：①《梁家河》单本购买，按照定价的8折结算，《邓小平在1984》单本购买，按照定价的75折结算；②两本书都按照定价购买，结算时总金额不低于1800元时，打8折付款，购买总金额不低于3000元时，打75折付款.学校应该选哪种优惠方案？请说明理由. 【答案】（1）的取值范围为；（2）；（3）应该选择方案②. 【分析】（1）根据《梁家河》的本数不少于《邓小平在1984》本数的2倍，列式求解即可； （2）根据题意分别求出两本书的总价，然后求和即可的到总价元与购买《梁家河》的本数之间的函数关系式； （3）根据题意，分别将方案①②的总费用算出来，超过3000打75折，然后比较总价的大小即可求解. 【详解】解：（1）由题意可知，，解得， 的取值范围为； （2）《邓小平在1984》的定价：（元）， ； （3）按照方案①，总费用为元； 按照方案②，当时，元元， 元， 元元， 应该选择方案②. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式及一次函数实际应用中的方案选择题，熟练掌握一次函数解析式的确定及自变量取值范围的确定是解决本题的关键. 错因分析 中等题，失分原因：①读不懂题意，不能根据题目中的等量关系列出不等式和一次函数关系式；②不能根据两种优惠方案分别求出费用. 6．（2025山西长治·一模）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y万元，购买A，B两种机器人共8台，其中购进A型机器人x台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息． 型号 分拣速度 单价 A 1200件/小时 6万元/台 B 1000件/小时 4万元/台 (1)求y关于x的函数关系式； (2)若要使这8台机器人每小时分拣快递的总件数不少于8300件，该公司至少需要投入资金多少万元？ 【答案】(1) (2)该公司至少需要投入资金36万元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意和表格中的数据可以写出y关于x的函数关系式； （2）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，进而求得该公司至少需要投入资金多少万元． 【详解】（1）解：由题意得，， 即y关于x的函数关系式为； （2）解：∵要使这8台机器人每小时分拣快递的总件数不少于8300件， ， 解得，， ∵x为整数， ∴x的最小值为2， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该公司至少需要投入资金36万元． 命题点2 行程问题 7．（2025·山西·三模）一辆汽车加满油后，在匀速行驶的过程中，油箱中剩余油量（单位：）是行驶路程（单位：）的一次函数．该汽车连续匀速行驶过程中，部分数据如下表所示，当油箱中剩余油量为时，行驶的路程为（   ） … 0 50 100 … … 45 41 37 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的简单应用． 根据题意所述，设函数解析式为，将、代入即可得出函数关系式，进而将代入关系式，即可求解． 【详解】解：设函数解析式为，将、代入，得 解得 ∴函数解析式为， 当时， 解得． 故选C． 8．（2023·山西大同·模拟预测）在一条笔直的公路上有，两地，甲、乙两辆货车都要从地送货到地，甲车先从地出发匀速行驶，小时后乙车从地出发，并沿同一路线匀速行驶，当乙车到达地后立刻按原速返回，在返回途中第二次与甲车相遇，甲车出发的时间记为，两车之间的距离记为，与的函数关系如图所示，则乙车第二次与甲车相遇时甲车距离地（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度，然后即可求得甲乙第二次相遇的时刻，进而求得乙车第二次与甲车相遇时，甲车距离B地多少千米． 【详解】解：设甲车的速度为，乙车的速度为， 依题意，得， 解得， 设甲乙第二次相遇的时间为小时，则 ， 解得：， 则乙车第二次与甲车相遇时，甲车距离地：（千米）， 故选：． 【点睛】本题考查一次函数的应用、解二元一次方程组、解一元一次方程，明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键． 9．（2023·山西阳泉·二模）位于阳泉市平定县的七亘村曾是隐藏在太行山腹地的军事要地．抗日战争时期，刘伯承元帅指挥的七亘伏击战创造了八路军抗日战争史上非常经典的以少胜多的战例．周末、爱好骑行的小张和小王相约同时从市图书馆出发，到七亘党性教育基地重温那段红色历史．假定小张骑行的速度一直保持，而小王骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示，请解答以下问题： (1)当时，小王骑行的速度是 ； (2)当时，求s与之间的函数表达式； (3)直接写出何时开始小王骑行在小张的前面． 【答案】(1)15 (2) (3)从开始小王骑行在小张的前面 【分析】（1）用3除以即可求解； （2）用待定系数法求解即可； （3）得出小张骑行路程的表达式，再计算小王骑行追上小张的时间即可． 【详解】（1）解：当时，小王骑行的速度：， 故答案为：15． （2）解：设当时，求s与之间的函数表达式为， 将代入得： ，解得：， ∴当时，求s与之间的函数表达式为． （3）解：小张骑行的路程为：， ， 解得：， 答：从开始小王骑行在小张的前面． 【点睛】本题要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，以及从函数图象获取需要的数据． 10．（2025山西吕梁模拟）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系． 请你根据图象进行探究： （1）小王和小李的速度分别是多少？ （2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）小王和小李的速度分别是、；（2）． 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度； 根据中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题． 【详解】解：（1）由图可得， 小王的速度为：， 小李的速度为：， 答：小王和小李的速度分别是、； （2）小李从乙地到甲地用的时间为：， 当小李到达甲地时，两人之间的距离为：， ∴点的坐标为， 设线段所表示的与之间的函数解析式为， ，解得， 即线段所表示的与之间的函数解析式是． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中xy所表示的对象量，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 11．（2025山西忻州中考模拟）A、B与C三地依次在一条直线上.甲，乙两人同时分别从A,B两地沿直线匀速步行到C地，甲到达C地花了m分钟.设两人出发x(分钟)时，甲离B地的距离为y(米)，y与x的函数图像如图所示. （1）A地离C地的距离为 米，m= ； （2）已知乙的步行速度是40米/分钟，设乙步行时与B地的距离为y(米)，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围，并在图中画出此函数的图像； （3）乙出发几分钟后两人在途中相遇？ 【答案】（1）1200,20；（2）y1=40x(0＜x≤24），图象见解析；（3）乙出发12分钟后两人相遇． 【详解】试题分析：（1）根据图象可以求出之间的距离，速度=路程÷时间就可以求出甲的速度，根据时间=路程÷速度可以求出的值. （2）先用（1）的结论求出乙走到地的时间，用待定系数法就可以求出的解析式，从而可以画出大致图形； （3）如图1，求出的解析式，联立方程求出其解就可以得出结论． 试题解析：(1)由图象得：AC的距离为：240+960=1200米； 甲的速度为：240÷4=60米/分， 960 ÷60=16分， 故答案为1200,20. （2）解析式为 画出大致图象为 (3)由图1得线段经过这两点， 设的解析式为 由图象得， 解得： 由， 解得：   答：乙出发12分钟后两人相遇． 命题点3 费用或利润的最值问题 12．（2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元． (1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价． (2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？ 【答案】(1)每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元 (2)购入吉祥物167件，春碗套装333套时，商店获得利润最高 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）设每件吉祥物的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装件，利润为元，根据题意得到，再求得．进而利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件吉祥物的进价为元，则每套“春碗”套装的进价为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）． 答：每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元． （2）解：设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装套，利润为元， ， 购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍， ，解得． 为正整数， 的最小值为167， ， 当时，有最大值， 此时，． 答：购入吉祥物167件，“春碗”套装333套时，商店获得利润最高． 13．（2025·山西临汾·二模）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲．乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元． (1)求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ (2)张老师准备购买甲、乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价优惠付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 【答案】(1)甲种单价5元，乙种单价3元 (2)购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设所需费用为元，购买m个甲种笔记本，写出关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元， 根据题意得 解得， 答：甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元； （2）设购买m个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， ∵甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍， ∴， 解得， 设所需费用为元， ∴， ∵， ∴w随m的增大而增大， 又m为正整数， ∴当时，w最小，最小值元， 此时本， 答：购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元． 14．（2025·山西长治·模拟预测）山药是山中之药、食中之药，有“神仙之食”的美名，为方便人们使用，现在很多企业将山药加工成山药粉进行销售，小李想要购进一批山药粉，了解到某品牌山药粉有罐装和盒装两种规格，每件盒装山药粉的价格是每件罐装山药粉价格的，用元购买盒装山药粉的数量比用元购买罐装山药粉的数量多6件． (1)求该品牌罐装山药粉和盒装山药粉的单价． (2)小李打算购买该品牌罐装山药粉和盒装山药粉共件进行销售，且购买盒装山药粉的数量不超过罐装山药粉数量的3倍，求最低的购买费用． 【答案】(1)每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元； (2)元． 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用． （1）设每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元，用元购买盒装山药粉的数量比用元购买罐装山药粉的数量多6件．据此列方程并解方程即可； （2）设购买该品牌罐装山药粉为件，则购买该品牌盒装山药粉件，设购买费用为元，根据总费用列出函数解析式，购买盒装山药粉的数量不超过罐装山药粉数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元， 则 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 则，， 答：每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元； （2）设购买该品牌罐装山药粉为件，则购买该品牌盒装山药粉件，设购买费用为元， 则， 由题意可得，， 解得， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，的最小值为． 即最低的购买费用为元． 15．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．    (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元 (2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用， 对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可； 对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元， 依题意得，        解得．              经检验，是原分式方程的解.．      答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元． （2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个， ．      ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，               解得：．            ，． ∴当时，（元），      即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元． 16．（2024·山西阳泉·模拟预测）“一盔一带”是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．    (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元 (2)购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个，根据“总利润甲种型号头盔的总利润乙种型号头盔的总利润”，写出与的函数关系式，根据随的增减性和的取值范围，确定当取何值时最大，求出的最大值，并求出此时购进甲种型号头盔的个数即可． 【详解】（1）解：设甲种型号头盔的进货单价是元，乙种型号头盔的进货单价是元． 根据题意，得， 解得， 甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元． （2）解：设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个． 根据题意，得， ， 随的增大而增大， ， 当时，取最大值，，此时（个， 购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元． 17．（2024·山西太原·二模）当农业遇上科技，变革正悄然进行．太原市小店区刘家堡乡依托资源互补共生技术，将传统渔业循环养殖和大棚蔬菜种植有机结合，从而实现“一棚双收、一水两用”的绿色农业循环．近日，综合种养大棚的零农药水培芹菜、西红柿上市．为了推销这两种蔬菜，小李和他的团队在网上直播带货购入两种蔬菜共400箱，其进货成本、直播成本以及售价如下表： 进货成本（元/箱） 直播成本（元/箱） 售价（元/箱） 西芹 18 4 28 西红柿 24 6 40 已知该直播团队销售这两种蔬菜投入总成本不超过10800元，若所购进的蔬菜全部销售完，则应怎样安排“西芹”和“西红柿”的进货量，可使该团队所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种蔬菜的进货量． 【答案】“西芹”进货150箱，“西红柿”进货250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识点．根据“利润=（销售单价-进货成本-直播成本）×销售数量”列出函数解析式；再根据“投入总成本不超过10800元”求得的范围，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：设该团队进货“西芹”箱，获得的总利润为元． 根据题意得：， ∵该团队投入总成本不超过10800元， ∴， 解得：， ∵，， ∴y随x的增大而减少， ∴当时，y取得最大值，最大值为，则， ∴“西芹”进货150箱，“西红柿”进货250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润元． 18．（2024·山西晋中·模拟预测）第六届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2023年11月5日至10日在上海全面线下举办，展览面积约36.7万平方米，世界500强和行业龙头企业参展数超历届水平，超过400项新产品、新技术、新服务集中展示．在进博会上，有A，B两款饮料大受欢迎，B款饮料每箱的售价是A款饮料每箱售价的，购买10箱A款饮料和20箱B款饮料共需1000元． (1)求A，B两款饮料每箱的售价． (2)若某公司计划购买A，B两款饮料共80箱，且B款饮料的数量不超过A款饮料数量的2倍，则如何购买才能使总费用最低？最低费用为多少？ 【答案】(1)款饮料每箱的售价为40元，款饮料每箱的售价为30元． (2)当购买款饮料27箱、款饮料53箱时，总费用最低，最低费用为2670元． 【分析】本题考查分式一元一次方程的应用，一次函数的应用，根据题意找出等量关系列出方程、一次函数解析式是解题的关键． （1）设出款饮料每箱的售价，表示出款饮料每箱的售价．根据“购买10箱款饮料和20箱B款饮料共需1000元”列方程即可求解． （2）设出购买款饮料的数量和总费用，表示出购买B款饮料的数量．先根据“款饮料的数量不超过款饮料数量的2倍”可得款饮料数量的取值范围，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设款饮料每箱的售价为元，则B款饮料每箱的售价为元． 根据题意，得． 解得． ． 答∶款饮料每箱的售价为40元，款饮料每箱的售价为30元． （2）解：设购买款饮料箱，总费用为元，则购买款饮料箱． 根据题意，得．解得． 根据题意，得． ， 随的增大而增大． ，且为正整数， 当时，取得最小值，此时总费用最低，最低费用为(元)． 答∶当购买款饮料27箱、款饮料53箱时，总费用最低，最低费用为2670元． 命题点4 其他实际问题 19．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：A． 20．（2025·山西临汾·二模）电子体重秤原理：平台重物表面形变电阻形变电流变化.内部电流变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字.简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数图象如图所示，当可变电阻为90欧时，对应被测人的质量为 千克． 【答案】75 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 先由待定系数法求出函数解析式，再把为90欧代入解析式即可求解． 【详解】解：由图可知，与踏板上人的质量之间的关系为一次函数关系，设函数关系式为（其中，为常数，）， 把和代入得： ，解得， ∴， 当为90欧时，， 解得：， 故答案为：75． 21．（2025·山西长治·一模）物理课上，于老师让同学们做如下实验：在水盆中放入质地均匀的木块，在其上方放置不同质量的铁块．已知木块全程保持漂浮状态，通过测量木块B露出水面的高度（单位：）与铁块的质量（单位：），发现它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块的质量为时，木块露出水面的高度为 ． 实验次数 一 二 三 铁块的质量 25 50 75 高度 44 38 32 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用待定系数法求出高度与铁块的质量的关系式是解此题的关键． 设，利用待定系数法求出，当时，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， 将代入解析式得：， 解得：， ∴高度与铁块的质量的关系式为：， 当时，， ∴当铁块质量为时，木块露出水面上的高度为， 故答案为：． 22．（2025·山西·模拟预测）控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室研究人员配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了时该营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度(/天)是该营养素用量()的一次函数( ，部分数据如下表所示： 营养素用量() 幼苗的生长速度(/天) 若营养素用量为，则幼苗的生长速度为 /天． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用．利用待定系数法求得解析式．然后将代入，即可求解． 【详解】解：设幼苗的生长速度(/天)是该营养素用量()的函数关系式为： 代入得 解得： ∴ 当时， 故答案为：． 23．（2025·山西大同·三模）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如下表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则当水温达到时，所需的时间是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，先根据表格中的数据求出水温T与时间t的关系式为，把代入求出t即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知，当时间增大温度升高，因此水温T是时间t的一次函数， ∴设水温T与时间t的关系式为： ， 把，代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴水温达到的时间是． 故答案为9． 24．（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】(1)函数表达式为 (2) (3)小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：， 解得：， ∴函数表达式为； （2）解：由题意得，设， ∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，， 解得：， ∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：设铅直高度为，由题意得， ∴； ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 命题点5 一次函数与几何图形综合问题 25．（2025·山西长治·三模）下表为一次函数的自变量x与因变量y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 6 5 4 3 … 则下列关于该函数图象的说法中正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与x轴的交点坐标为 C．图象与坐标轴围成的三角形的面积为36 D．若点和在该函数图象上，且，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与其系数的关系，求一次函数与坐标轴的交点坐标等等，利用待定系数法求出函数解析式，即可判断其所经过的象限，据此可判断A；求出函数值为0时，自变量的值即可判断B；求出一次函数与两坐标轴的交点坐标即可判断C；根据增减性即可判断D． 【详解】解：把代入到中得：， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴图象与x轴的交点坐标为，故B说法错误，不符合题意； ∵时，， ∴图象与y轴的交点坐标为， ∴图象与坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法错误，不符合题意； ∵在中，， ∴y随x增大而减小， 若点和在该函数图象上，且，则，故D说法正确，符合题意； 故选：D． 26．（2025·山西·模拟预测）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴，轴，垂足分别为，，则四边形的周长是（   ） A．12 B． C．10 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 待定系数法求出直线解析式为，设点，得到，继而得到四边形周长． 【详解】解：设一次函数解析式为，由图象可知一次函数图象过，，代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为， 设点， 由解析式可知：， 四边形的周长是， 故选：A． 27．（2025·山西朔州·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点上，顶点在轴正半轴上，直线的解析式为，则该菱形的边长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质、一次函数的应用等知识点，求得点B的坐标是解题的关键．令求得，则，即即可解答． 【详解】解：令可得：， 解得：， ∴，即， ∴菱形的边长为5． 故答案为：5． 28．（2025·山西长治·模拟预测）如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示． (1)________； (2)求点在段上运动时，的面积与运动时间的函数关系式； (3)当的面积为时，求的值． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】（1）根据图象得出当点P运动到点A时，求解即可； （2）过点作交于点，证明则四边形为矩形，得出，，结合，，，得出，勾股定理求出，则可得运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，当点在上，即时，根据待定系数法即可解出与之间的函数关系式； （3）先求出在上时，与之间的函数关系式，再代入时，即或，求解即可． 【详解】（1）解：根据图象可得， ∵， ∴当点P运动到点A时，， ∵， ∴， 故答案为：6； （2）解：过点作交于点， ∵，， ∴， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴， 则可得运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，运动到时的坐标为， 当点在上，即时，设， 代入，，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （3）解：在上，即时，设， 代入，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； 当时，即或， 解得：或， 综上所述：当的值为解得或时，的面积为． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． 1．A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 2．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 3．在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 4．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键： （1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 5．2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 6．某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买篮球x个，则购买足球个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出y与x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质确定y最小时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且x为整数 ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， 答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 7．某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 8．2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 (2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； (3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 1．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 2．甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 3．2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2) (3)7分或11分或13分 【分析】本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a； （2）求出，由图象可得，设直线的解析式为，进而问题可求解； （3）由题意可分三种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为（米）， 由题意可知，表示甲到达B区的时间，则， 故答案为： （2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区， ∴点E的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； （3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米， 当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 4．【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)相邻刻线间的距离为5厘米 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：， 解得：； （4）解：由任务一可知：， ∴， ∴； （5）解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 一、单选题 1．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 2．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化．问题便可解答． 【详解】对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；最后同时到达终点，可排除B，D选项 对于兔子，其运动过程可分为三段：据此可排除A选项 开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快． 故选：C 【点睛】本题考查了函数图象的性质进行简单的合情推理，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 3．某快递公司每天上午9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（  ） A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30 【答案】B 【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可． 【详解】设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得60k1+40=400，解得k1=6， ∴y1=6x+40； 设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得60k2+240=0，解得k2=-4， ∴y2=-4x+240， 联立，解得， ∴此刻的时间为9：20． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 二、填空题 4．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 【答案】0.8 【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 故答案为： ． 5．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 【答案】4500 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 6．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示： 日期 1 2 3 4 数量（瓶） 120 125 130 135 观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 瓶． 【答案】150 【分析】观察可以发现这是一个一次函数模型，设y=kx+b，利用待定系数法即可解决问题. 【详解】这是一个一次函数模型，设y=kx+b， 则有， 解得， ， 当时，， ∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶， 故答案为:150 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及了待定系数法，求函数值等知识，通过观察发现这是一个一次函数模型问题是解题的关键. 三、解答题 7．中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【答案】(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元 (2)共有6种购买方案，最低费用为900元 【分析】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键． （1）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．先根据题意列不等式组求出a的范围为，再根据题意列出w与a的函数关系式为，根据一次函数的增减性可得时，w有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 则， 得． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元． （2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． 由题意得． ， w随a的增大而增大， 时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 8．某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 (2)当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 9．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)至少需要134张正方形硬纸片 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 10．为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】(1)甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． (2)购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $