天津市南开中学2025-2026学年高二上学期质量监测（三）数学试卷

南开中学2025-2026学年度第一学期质量监测（三） 高二数学试卷 考试时间：120分钟 Ⅰ卷（共60分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题（共60分，每题5分） 1. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 2. 若直线与互相垂直，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4 D. 1 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内含 4. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. D. 6. 过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 8. 若数列满足，则（ ） A. 32 B. 10 C. D. 9. 已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆，该椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 11. 已知各项递增的等比数列，等差数列其前项和分别为，满足.将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前50项和（ ） A. 2106 B. 2196 C. 2234 D. 2550 12. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，的延长线与抛物线的准线交于点，，的面积为，为原点，双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（共40分，每题5分） 13. 直线被圆所截得的弦长为__________. 14. 若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则__________. 15. 已知数列满足，则__________. 16. 设等比数列前项和为，若，则__________. 17. 过点且与圆相切的两条直线互相垂直，则__________. 18. 已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 19. 已知数列是递增的等差数列，且是函数的两个零点.设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，则的取值范围为__________. 20. 将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为；再将余下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，记数列表示第次操作后余下的区间段长度之和. （i）__________； （ii）若，都有恒成立，则实数的取值范围是__________.（区间段长度是指数轴上一个区间的两个端点之间的距离，如的区间段长度为）. 三、解答题（21~22题，每题12分；23~24题，每题13分） 21. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，底面． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 22. 设是各项均为正数的等差数列，，前项和为是等比数列，，且，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和为； （3）求的值. 23. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一动点，且面积最大值为3. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点. （i）若中点的横坐标为，求的值； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一点，使得四边形为平行四边形.若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 24. 已知等差数列满足，记数列的前项和为. （1）求数列的通项公式及； （2）在数列的每相邻两项间插入这两项的积，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“拓展”.例如对于数列1，3，一阶“拓展”得到数列1，3，3；二阶“拓展”得到数列1，3，3，9，3；依次构造，设阶“拓展”得到数列,（），设，则. （i）数列的通项公式； （ii）已知为正整数，设，求. 南开中学2025-2026学年度第一学期质量监测（三） 高二数学试卷 考试时间：120分钟 Ⅰ卷（共60分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题（共60分，每题5分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】B 【11题答案】 【答案】A 【12题答案】 【答案】C Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（共40分，每题5分） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 【15题答案】 【答案】82 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（21~22题，每题12分；23~24题，每题13分） 【21题答案】 【答案】（1） 因为，所以， 又，所以在中，由余弦定理，得，即， 所以，则， 又底面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. （2） （3）. 【22题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【23题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在， 【24题答案】 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $