精品解析：广东省深圳市罗湖区2025-2026学年上学期八年级期末考试数学试题

2025-2026学年第一学期学业质量检测 八年级 数学 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并把条形码粘贴好． 2．全卷共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. “6的平方根”可用数学式子表示为（ ） A. B. C. D. 2. 临近期末考试，同学们相约周末到深圳图书馆看书学习．下列能确定“深圳图书馆”地理位置的是（ ） A. 位于福田区 B. 福田区福中一路2001号 C. 在市民中心的东南方向 D. 地铁2号线市民中心站附近 3. 的三边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. ， 4. 如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数()箱线图．值越小，空气质量越好；值在201~300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2025年3月有重度污染天气 B. 该地区2025年3月的值比2月集中 C. 该地区2025年3月的值中位数大于2月值的中位数 D. 整体看，该地区2月的空气质量好于3月 5. 在下列四个命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 一次函数的图象不经过第四象限 C. 数轴上的点与有理数一一对应 D. 点在平面直角坐标系中位于第四象限 6. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系如图2所示．下列选项错误的是（ ） A. 二楼离地面的高度为6米 B. 乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒 C. 当下行10s，乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米 D. 乙先到达一楼地面 二、填空题：（每小题3分，共15分．答案填在答卷的指定位置上，否则不给分．） 9. 请你写出一个无理数______（写出一个即可）． 10. 在一次国际数学奥林匹克竞赛中，中国代表队发挥出色，获得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式来计算，由该公式可知中国队团体总分为______． 11. 在一次密码传输过程中，某小组约定用一次函数设置为加密规则（自变量的值是明文英文字母对应的数字，其中26个英文小写字母依次对应阿拉伯数字，例如，，；函数值是加密数）．现有加密传输过程中得到的加密数“40；25；7；13”，你破译出原始明文是______． 12. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为______． 13. 如图①所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）切掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为______cm． 三、解答题（共7题，合计61分．第14题8分，第15题8分，第16题7分，第17题8分，第18题8分，第19题11分，第20题11分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 14. 计算： （1）． （2）． 15. 如图在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的（，的对称点分别为，）； （2）点的坐标为______，线段的长度为______； （3）以为圆心，线段的长为半径画弧与轴交于点，写出点的坐标． （4）比较大小：______（横线上填“”“”“”中的一个） 16. 八年级教材上册强调，解决问题之后的反思有多种形式，可以是：比较解决问题的方法．形成多样化的解决问题的方法． 数学活动课上，小罗和小湖、小美在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小罗：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组，先求、然后再求的值 小湖：哈哈！直接①②可以更简便地直接求出的值 小美：将①②③联立成一个三元一次方程组去求解 请结合他们的对话，解答下列问题： （1）按照小罗的方法，的值为______，的值为______． （2）请按照小湖的思路求出的值． （3）老师说小罗、小美的方法运用了转化的思想，小湖的方法则体现了______思想．（填序号即可①整体②数形结合③分类讨论） 17. 2025年开始，深圳市义务教育阶段初中阶段部分学校践行了“每周半天计划”活动，减少学生的上课时间，按单双周安排轮流设置半天的校外课程与阅读课程，某校为了了解师生对这两类课程的喜爱程度，现抽取部分师生分别对这两类课程进行打分（分数为整数，满分为5分）． 信息一：20名学生打分情况的折线统计图如图所示 信息二：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示 项目 平均数 众数 中位数 校外课程 3.5 4 阅读课程 3.4 3 抽取的10位教师对“校外课程”和“阅读课程”这两类课程打分的平均分分别为3.8分和4分．请根据以上信息解答下列问题： （1）下列抽样调查的20名学生中，抽样调查方式更合理的是______．（填序号即可） ①从八年级中抽取 ②从七年级（1）班中抽取 ③抽取20名男生 ④从20个班中各随机抽取一个 （2）填空：______，______． （3）学生对这两类课程评价较高的是哪一类课程？请说明理由． （4）如果该校将根据综合平均分的高低来判断师生对这两类课程的喜爱程度，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，那么请你通过计算分析该校师生更喜欢哪类课程？ 18. 【综合与实践】根据以下素材，探索完成任务． 素材1 第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港和澳门三地联合举办．电商平台拼多多某网店出售此次运动会吉祥物毛绒玩具“喜洋洋”和“乐融融”，该网店单个毛绒玩具“乐融融”的标价是“喜洋洋”标价的，一个“喜洋洋”和一个“乐融融”共需要35元． 素材2 某学校计划购进这两种款式吉祥物共200个用来奖励校运会获奖学生，设购进“喜洋洋”玩具个（），购进这200个玩具的总费用为元． 问题解决 任务1 求出每个“喜洋洋”和“乐融融”的价格分别是多少？ 任务2 请写出关于的函数关系式，并求出学校购进这批玩具最低费用是多少？ 19. 如图所示，直线：与直线：交于点． （1）求的值及的大小． （2）若是轴上一点，过点作轴交直线于点，交直线于，且，求的值． （3）若，是线段上一动点，直接写出的最小值． 20. 定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 【定义理解】 （1）由定义可知，“类直角三角形”一定是______三角形．（从“钝角”或者“锐角”中选填一个） （2）如图1，在中，，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“类直角三角形”； 【定义运用】 （3）如图2，已知是直角三角形，， ①若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． ②若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． 【问题拓展】 （4）如图3，在中，，，．边上有一点，使得是“类直角三角形”，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学业质量检测 八年级 数学 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并把条形码粘贴好． 2．全卷共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. “6的平方根”可用数学式子表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：6的平方根表示为， 故选：A． 2. 临近期末考试，同学们相约周末到深圳图书馆看书学习．下列能确定“深圳图书馆”地理位置的是（ ） A. 位于福田区 B. 福田区福中一路2001号 C. 在市民中心的东南方向 D. 地铁2号线市民中心站附近 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查位置的表示，解题的关键是理解题意；确定地理位置需唯一且具体的描述，排除模糊或范围过大的选项即可． 【详解】解：A选项位于福田区范围过大，不能唯一确定；C选项在市民中心的东南方向缺乏距离信息，不能唯一确定；D选项地铁2号线市民中心站附近范围模糊，不能唯一确定；而B选项福田区福中一路2001号是具体地址，能唯一确定地理位置； 故选B． 3. 的三边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．通过计算或推导判断每个选项是否能得出直角三角形． 【详解】解：A：∵，，，∴，∴是直角三角形． B：∵，∴根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形． C：∵，，，∴，∴不能判断是直角三角形． D：∵，，∴，∴是直角三角形． 故选C． 4. 如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数()箱线图．值越小，空气质量越好；值在201~300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2025年3月有重度污染天气 B. 该地区2025年3月的值比2月集中 C. 该地区2025年3月的值中位数大于2月值的中位数 D. 整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图的理解与应用，熟练掌握箱线图的特征以及值与空气质量的关系是解题的关键， 通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项，从箱线图中可见月有值在之间， ∵值在之间说明重度污染， ∴该地区年月有重度污染天气，故选项正确． 选项，观察箱线图，月的箱形更窄，数据更集中，月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区年月的值不如月集中，故选项错误． 选项，从箱线图中可看出月值的中位数对应的位置高于月， ∴该地区年月的值中位数大于月值的中位数，故选项正确． 选项，∵值越小，空气质量越好，月的值整体小于月， ∴整体看，该地区月的空气质量好于月，故选项正确． 故选：． 5. 在下列四个命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 一次函数的图象不经过第四象限 C. 数轴上的点与有理数一一对应 D. 点在平面直角坐标系中位于第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题、一次函数的图象与性质、实数与数轴、对顶角，通过逐一判断每个选项的真假，然后问题可求解． 【详解】解：∵对顶角相等但相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴A是假命题； ∵一次函数中，，∴图象经过第一、三、四象限，∴B是假命题； ∵数轴上的点与实数一一对应，∴C是假命题； ∵点的横坐标，纵坐标，∴位于第四象限，∴D是真命题； 故选D． 6. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解图示，正确列式是关键． 根据每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，由图形结合列式即可． 【详解】解：每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，且， ∴横轴方向，， 纵轴方向，， ∴方程组为， 故选：B ． 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴，，， ∴， 故选：． 8. 如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系如图2所示．下列选项错误的是（ ） A. 二楼离地面的高度为6米 B. 乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒 C. 当下行10s，乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米 D. 乙先到达一楼地面 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：令时，则有， ∴二楼离地面的高度为6米，故A正确； 设乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系为， 由图象可把点代入得：， 解得：， ∴乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系为， 令时，则有，解得：， ∴乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒，故B正确； 把分别代入和得：， ∴当下行10s，乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米，故C正确； 令时，则有，解得：， ∵， ∴甲先到达一楼地面，故D错误； 故选D． 二、填空题：（每小题3分，共15分．答案填在答卷的指定位置上，否则不给分．） 9. 请你写出一个无理数______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的概念只要写出一个无理数即可． 【详解】解：本题答案不唯一，如：、等， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的概念：无限不循环的小数。熟练掌握无理数的概念是解决本题的关键． 10. 在一次国际数学奥林匹克竞赛中，中国代表队发挥出色，获得团体总分第一名，也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式来计算，由该公式可知中国队团体总分为______． 【答案】231 【解析】 【分析】本题考查方差公式，根据题意得中国队6名队员的成绩分别为：两个42分，一个40分，两个36分，一个35分，再进行计算即可． 方差公式中明确给出了中国队6名队员的成绩分布，直接求和即可得到团体总分． 【详解】解：根据题意，中国队6名队员的成绩分别为：两个42分，一个40分，两个36分，一个35分， ∴团体总分为：． 故答案为231． 11. 在一次密码传输过程中，某小组约定用一次函数设置为加密规则（自变量的值是明文英文字母对应的数字，其中26个英文小写字母依次对应阿拉伯数字，例如，，；函数值是加密数）．现有加密传输过程中得到的加密数“40；25；7；13”，你破译出原始明文是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；根据加密函数，然后把，，，分别代入函数进行求解即可． 【详解】解：由题意可得： 当时，则有，解得：，对应字母n； 当时，则有，解得：，对应字母i； 当时，则有，解得：，对应字母c； 当时，，解得：，对应字母e； 故明文为， 故答案为． 12. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象进行求解即可． 【详解】解：把点代入直线：得：， ∴， ∴由图象可知：关于，的方程组的解为； 故答案为． 13. 如图①所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）切掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可画出最短路径，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意可得最短路径为，如图所示： 由图可知：，，， ∴是等边三角形，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 三、解答题（共7题，合计61分．第14题8分，第15题8分，第16题7分，第17题8分，第18题8分，第19题11分，第20题11分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 14. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】c本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式和立方根的定义运算再合并即可； （2）利用乘法分配律，二次根式的乘法法则、性质计算化简，再合并即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 另解原式． 15. 如图在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的（，的对称点分别为，）； （2）点的坐标为______，线段的长度为______； （3）以为圆心，线段的长为半径画弧与轴交于点，写出点的坐标． （4）比较大小：______（横线上填“”“”“”中的一个） 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2）， （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，两点间的距离公式，三角形三边的关系，熟知轴对称的相关知识和两点间的距离公式是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点A、即可； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，再利用两点间的距离公式求出的长即可； （3）根据两点间的距离公式求出的长，进而得到的长，则可求出点M的坐标； （4）求出的长，根据可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与关于x轴对称，， ∴； ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵点M在x轴上， ∴点M的横坐标为或， ∴点M的坐标为或； 【小问4详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 16. 八年级教材上册强调，解决问题之后的反思有多种形式，可以是：比较解决问题的方法．形成多样化的解决问题的方法． 数学活动课上，小罗和小湖、小美在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小罗：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组，先求、然后再求的值 小湖：哈哈！直接①②可以更简便地直接求出的值 小美：将①②③联立成一个三元一次方程组去求解 请结合他们的对话，解答下列问题： （1）按照小罗的方法，的值为______，的值为______． （2）请按照小湖的思路求出的值． （3）老师说小罗、小美的方法运用了转化的思想，小湖的方法则体现了______思想．（填序号即可①整体②数形结合③分类讨论） 【答案】（1）5， （2） （3）① 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据二元一次方程组的解法进行求解即可； （2）根据小湖的思路进行求解即可； （3）根据题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：将①③联立可得， 得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为； 故答案为：5，； 【小问2详解】 解：由可得： 得，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：由题意得：小湖的方法则体现了整体思想； 故答案为①． 17. 2025年开始，深圳市义务教育阶段初中阶段部分学校践行了“每周半天计划”活动，减少学生的上课时间，按单双周安排轮流设置半天的校外课程与阅读课程，某校为了了解师生对这两类课程的喜爱程度，现抽取部分师生分别对这两类课程进行打分（分数为整数，满分为5分）． 信息一：20名学生打分情况的折线统计图如图所示 信息二：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示 项目 平均数 众数 中位数 校外课程 3.5 4 阅读课程 3.4 3 抽取的10位教师对“校外课程”和“阅读课程”这两类课程打分的平均分分别为3.8分和4分．请根据以上信息解答下列问题： （1）下列抽样调查的20名学生中，抽样调查方式更合理的是______．（填序号即可） ①从八年级中抽取 ②从七年级（1）班中抽取 ③抽取20名男生 ④从20个班中各随机抽取一个 （2）填空：______，______． （3）学生对这两类课程评价较高的是哪一类课程？请说明理由． （4）如果该校将根据综合平均分的高低来判断师生对这两类课程的喜爱程度，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，那么请你通过计算分析该校师生更喜欢哪类课程？ 【答案】（1）④ （2）4，5 （3） 解：学生对这两类课程评价较高的是校外课程，理由如下： ∵学生对校外课程打分的中位数和平均数都比对阅读课程打分的中位数和平均数高， ∴学生对这两类课程评价较高的是校外课程； （4）该校师生更喜欢阅读课程，理由： 校外课程的得分为（分）， 阅读课程的得分为（分）， ∵， ∴该校师生更喜欢阅读课程． 【解析】 【分析】本题主要考查统计与调查、中位数、众数、平均数，熟练掌握统计与调查、中位数、众数、平均数是解题的关键； （1）根据抽样调查的定义，要使所选取的样本能客观地反映总体，即抽样要具有代表性、广泛性、随机性，据此逐个判断即可； （2）根据中位数与众数的定义可进行求解； （3）根据题意及中位数、平均数可进行求解； （4）根据加权平均数可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得抽样调查方式更合理的是④； 故答案为：④； 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，校外课程打分从小到大排序后的第10和11个分数为4和4， ∴， 根据折线统计图可知，阅读课程打分出现次数最多的为5， ∴； 故答案为：4，5； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 18. 【综合与实践】根据以下素材，探索完成任务． 素材1 第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港和澳门三地联合举办．电商平台拼多多某网店出售此次运动会吉祥物毛绒玩具“喜洋洋”和“乐融融”，该网店单个毛绒玩具“乐融融”的标价是“喜洋洋”标价的，一个“喜洋洋”和一个“乐融融”共需要35元． 素材2 某学校计划购进这两种款式吉祥物共200个用来奖励校运会获奖学生，设购进“喜洋洋”玩具个（），购进这200个玩具的总费用为元． 问题解决 任务1 求出每个“喜洋洋”和“乐融融”的价格分别是多少？ 任务2 请写出关于的函数关系式，并求出学校购进这批玩具最低费用是多少？ 【答案】任务一：每个“喜洋洋”的价格为20元，每个“乐融融”的价格为15元；任务二：学校购进这批玩具最低费用是3300元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出方程组和函数关系式是解题的关键． 任务一：设每个“喜洋洋”的价格为元，每个“乐融融”的价格为元，根据单个毛绒玩具“乐融融”的标价是“喜洋洋”标价的，一个“喜洋洋”和一个“乐融融”共需要35元建立方程组求解即可； 任务二：根据题意列出w关于n的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务一：设每个“喜洋洋”的价格为元，每个“乐融融”的价格为元， 由题意可得， 解得， 答：每个“喜洋洋”的价格为20元，每个“乐融融”的价格为15元； 解：任务二：由题意得， 整理，得（）， ∵， ∴随n的增大而增大， ∴当时，， ∴学校购进这批玩具最低费用是3300元． 19. 如图所示，直线：与直线：交于点． （1）求的值及的大小． （2）若是轴上一点，过点作轴交直线于点，交直线于，且，求的值． （3）若，是线段上一动点，直接写出的最小值． 【答案】（1）； （2）或2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）求出点C的坐标，进而可求出直线的解析式，求出点A和点B的坐标，则可证明是等腰直角三角形，据此可得答案； （2）求出直线解析式为，进而可得，利用两点间的距离公式得到的长，结合建立方程求解即可； （3）过点E作于点F，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则可推出，故当D、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长，证明是等腰直角三角形，同理可得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴点C的坐标为， 把点C的坐标代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或 【小问3详解】 解：如图2所示，过点E作于点F，连接， 由（1）可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当D、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 20. 定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 【定义理解】 （1）由定义可知，“类直角三角形”一定是______三角形．（从“钝角”或者“锐角”中选填一个） （2）如图1，在中，，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“类直角三角形”； 【定义运用】 （3）如图2，已知是直角三角形，， ①若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． ②若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． 【问题拓展】 （4）如图3，在中，，，．边上有一点，使得是“类直角三角形”，直接写出的长度． 【答案】（1）钝角； （2）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴是“类直角三角形”． （3）①，②或； （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）根据“类直角三角形”的定义、三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （3）①由题意易得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解；②由题意易得或，则有或，然后根据三角形内角和可进行求解； （4）由题意可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：（1）设三角形的第三个内角为，由三角形内角和可知：， ∵该三角形是“类直角三角形”， ∴， ∴， ∴，即， ∴该三角形一定是钝角三角形， 故答案为钝角； （2）略 （3）解：①如图， ∵，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴，由于，所以不成立， ∴， ∴； 故答案为． ②如图， ∵，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴或， ∴或， ∴或； 故答案为或． （4）解：如图， ∵，，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴或， 情形一：当时，过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∵，， ∴， 方法一：， ∴， ∴， ∴． 方法二：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得，解得：， ∴； 情形二：当时， 方法一：在上面找一点，连接，使得，延长至，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴； 方法二：作点关于的对称点，连接、，并延长交于点． ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵点、点关于对称， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 利用等积法可得：， ∴， 在中，， 设，在中，， ∴， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $