精品解析：安徽省滁州市2025-2026学年高三上学期期末模拟数学试题4

安徽省滁州市2025-2026学年高三（上）期末模拟数学试卷4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若，，M为正方形EFGH及其内部的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量是平面的一个法向量，是空间直角坐标系Oxyz的坐标原点，两点的坐标分别为，，且点在平面内，则（ ） A. B. 直线与平面平行 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 10. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若中间层旋转角（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知点，直线为坐标原点，动点到点的距离是点到直线的距离的一半．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 满足的点有且仅有4个 D. 若点形成的轨迹为曲线，且矩形内接于曲线，则矩形面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为______． 13. 现有一块长为22cm，宽和高均为3cm的长方体木料，如图1所示.工人将其切掉一个四棱柱后，用余下的木料拼接成如图2所示的几何体.已知cm，，二面角的大小为，则图2所示的几何体的体积为______. 14. 已知函数，则不等式的解集为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为 （1）求； （2）若，且，求外接圆的面积． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，，，两两垂直，四边形是梯形，，，为棱的中点. （1）设过点的平面与棱交于点，求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由. 18. 如图，椭圆的离心率为且经过点是其左、右焦点，直线与C相切于点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记到直线l的距离分别为请问是否为定值?如果为定值，求出此定值；如果不为定值，请说明理由； （3）已知直线与x轴交于点P，与l交于点B（B在x轴上方），过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，记，．求证:存在，使得时，． 19. 已知函数. （1）用定义证明：函数在区间]上为减函数，在区间[0，上为增函数； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省滁州市2025-2026学年高三（上）期末模拟数学试卷4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法计算即可求解. 【详解】由，得， 即，得. 故选：A 2. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合诱导公式判断即可得出结论. 【详解】若，则， 所以， 则， 所以“”“”， 另一方面，若，则或， 即或， 所以“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，最后根据集合的运算法则计算可得. 【详解】由，即，解得或， 所以或，则， 由，则，解得， 所以， 所以. 故选：C 4. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求得，，结合求值即可. 【详解】由题设，，又，， 所以，， 又. 故选：D 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 6. 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若，，M为正方形EFGH及其内部的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图直角坐标系，由向量运算转化为求范围，再利用直线纵截距的最值，即可求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系， 因为，，由直角三角形全等可知， ∴， 设， 则 ， 令，则， 即可化为直线与正方形及其内部有交点时纵截距的取值范围， 当直线过时，有最大值，此时， 当直线过时，有最小值，此时. 所以， 故选：C 7. 已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据切线的性质求出点的轨迹，然后根据直线与圆的位置关系求出的范围. 【详解】因为过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，， 所以，因为， 所以，那么. 所以是以为圆心，4为半径的圆. 因为直线上存在点满足条件，所以直线与点的轨迹圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为. 解得. 故选：C. 8. 在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求，进而利用线面垂直可判断点轨迹为，求解周长即可． 【详解】连接、，交于点，连接， 为菱形，， 所以，，， 所以为二面角的平面角， 于是， 又因为， 所以， 取中点，取中点，连接、、，所以、， 所以、，，相交， 所以平面， 所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为， 因为，，， 所以的周长为， 所以点轨迹的长度为． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量是平面的一个法向量，是空间直角坐标系Oxyz的坐标原点，两点的坐标分别为，，且点在平面内，则（ ） A. B. 直线与平面平行 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间中两点的距离公式计算即可判断选项A；利用直线的方向向量和平面法向量的关系可以判断选项B；利用直线的方向向量与平面的法向量的关系求解夹角正弦值进而判断选项C；利用空间中点到平面的距离公式求解即可判断选项D. 【详解】对于A：因为两点的坐标分别为，， 所以，故A正确； 对于B：由题意知，平面的一个法向量为， 则，故和不垂直， 所以直线与平面不平行，故B错误； 对于C：设直线与平面所成角为， 因为，平面的一个法向量为， 所以，故C正确； 对于D：由题意知两点的坐标分别为，，则， 平面的一个法向量为，由空间中点到面的距离公式可得到平面的距离,故D正确， 故选： 10. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若中间层旋转角（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】假设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据正弦的对称性求解B，再结合基本不等式可判断CD． 【详解】设三角形的斜边长为，则 ①， 所以， 对于A，当时，由①式得，， 所以，故A错误； 对于B，的对称轴为 ，， 当时，，即的图象关于直线对称，故B正确； 对于C,D，， 因为，当且仅当时，等号成立， 又由①可得，， 所以， 因为为锐角，所以，所以,， 所以,，所以,， 所以,，所以， 即，故C正确，D错误． 故选：BC. 11. 已知点，直线为坐标原点，动点到点的距离是点到直线的距离的一半．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 满足的点有且仅有4个 D. 若点形成的轨迹为曲线，且矩形内接于曲线，则矩形面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点，根据题意列方程化简可得方程判断A；判断直线与点的轨迹方程是否有交点判断B；判断圆与点的轨迹方程是否有交点判断C；设点在第一象限，写出矩形的面积为的表达式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值判断D. 【详解】对于A，设点，因为动点到点的距离是点到直线的距离的一半， 则，化简得，故A正确； 对于B，由消去得，解得，， 存在点，因此直线是“最远距离直线”，故B正确； 对于C，由可得点的轨迹方程为， 由可得方程无实数解，所以不存在点满足，故C错误； 对于D，不妨设点在第一象限，则且，设矩形的面积为， 则， 因为，所以，则当时，，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 设左焦点为，根据椭圆的定义有，，且O是直角三角形斜边的中点，所以，离心率，由角的范围可求得离心率的最大值. 【详解】因为关于原点对称，所以B也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：， 又因为，所以，O是直角三角形斜边的中点，所以， 所以，所以， 由于，所以当时，离心率的最大值为：, 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于的等式或不等式. 13. 现有一块长为22cm，宽和高均为3cm的长方体木料，如图1所示.工人将其切掉一个四棱柱后，用余下的木料拼接成如图2所示的几何体.已知cm，，二面角的大小为，则图2所示的几何体的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形，找出二面角的平面角，求出的长，转化为求长方体的体积即可. 【详解】连接，过作于，如图 由题意知，二面角的平面角为， 所以，又, 所以，则， 所以几何体可构成相当于长宽高分别为的长方体， 其体积为（）， 故答案为： 14. 已知函数，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先把函数进行去绝对值化简，在对分四种情况进行讨论，求解不等式，即可求出答案. 【详解】， ①当时，即. ， 令 ， ，在上单调递增. 则. 则的解集为. ②当时，即. ， 令， ，则在上单调递增. 的最大值为. 则的解集为. ③当时，即. . 则的解集为. ④当时，即. ， . 则的解集为. 综上所述：的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为 （1）求； （2）若，且，求外接圆的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，结合已知条件求得，进而求得. （2）由（1）求得，结合已知条件和余弦定理，求得，根据正弦定理求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积. 【小问1详解】 因为，所以. 由，得. 因为，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，. 由余弦定理，得. 因为，所以，所以. 设外接圆的半径为R，由正弦定理得，所以. 所以外接圆的面积为． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系把转化成关于的递推公式，再构造等比数列可得答案； （2）利用分组求和可得答案； （3）由（2）可得到，利用单调性可得到其最值，即得答案. 【小问1详解】 由 ，当  时，，解得 ； 当  时，， 整理得 ， 即 故数列  是首项为 、公比为  的等比数列， 所以 因此 【小问2详解】 由 . ， 【小问3详解】 由（2）知， 由，知 易知  单调递减， 所以， 而  单调递增，所以， ， 只需， 即. 故  的取值范围是 . 17. 如图，在四棱锥中，，，两两垂直，四边形是梯形，，，为棱的中点. （1）设过点的平面与棱交于点，求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：如图，取中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 因为，， 所以， 所以四边形为平行四边形，即四点共面， 所以平面即为过点的平面， 因为过点的平面与棱交于点， 所以点与点重合，所以 （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，进而证明四边形为平行四边形即可得点与点重合，进而证明结论； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法，结合平面与平面的夹角的余弦值为求解得点位置，再计算点面距. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在四棱锥中，，，两两垂直， 所以，如图建立空间直角坐标系， 则 设，则，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令得，即， 设平面的一个法向量为 则，即，令，则，即 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，即， 整理得，即，解得或，均满足， 所以，当时，，此时点到平面的距离为； 当时，，此时点到平面的距离为 综上，线段上存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，点到平面的距离或. 18. 如图，椭圆的离心率为且经过点是其左、右焦点，直线与C相切于点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记到直线l的距离分别为请问是否为定值?如果为定值，求出此定值；如果不为定值，请说明理由； （3）已知直线与x轴交于点P，与l交于点B（B在x轴上方），过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，记，．求证:存在，使得时，． 【答案】（1） （2）是定值，为4 （3） 由（2）可得，， 即， 因此可得，，， 因此， ， 若，则， 即； 假设，因为，得， 代入得，矛盾， 所以，所以， 从而有，即， 故存在，使得时． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率为及椭圆经过点，由求解； （2）联立，根据直线与椭圆相切，由，得到的关系，根据，与直线l的距离求解； （3）根据（2）得到，从而得到，，，然后由求解. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为及椭圆经过点， 得，解得，因此椭圆方程为； 【小问2详解】 联立，得， 设，由直线与椭圆相切知， 得，即， 则，与直线l的距离，， 则， 故是定值，为4； 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）用定义证明：函数在区间]上为减函数，在区间[0，上为增函数； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 （1）证明：，设，，，且， ， ， 则，，，， ， ，即，函数在区间，上为减函数， 同理可证，函数在区间，上为增函数， 故函数在区间，上为减函数，在区间，上为增函数； （2）为上的偶函数. 证明：， 为上的偶函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）设，，，且，作差，利用对数的性质化简变形，到能直接判断符号为止，根据函数单调性的定义，即可证得结论函数在区间，上为减函数，同理可证，在区间，上为增函数； （2）利用函数奇偶性的定义，判断与的关系，即可证得答案； （3）欲使对一切实数恒成立，只需，利用对数的运算法则进行化简，最后利用基本不等式求出右侧函数的最大值即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）略 （2）略 （3）， 对一切实数恒成立， 则 不妨令，则， 当且仅当时，即时取等号，， 即实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $