上海市闵行区部分学校2025届高三上学期1月调研数学试题

2024学年度第一学期高三1月调研 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 学生注意： 1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设，不等式的解集为______. 2. 设，集合，，若，则________． 3. 抛物线的焦点到其顶点的距离为________． 4. 若，则函数的最小正周期为____________． 5. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 6. 设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________． 7. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 8. 不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 9. 植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为__________厘米. 10. 有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有________种. 11. 某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为_________元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 12. 空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为_________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ） A. 两种证券的收益有反向变动的倾向 B. 两种证券的收益有同向变动的倾向 C. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 14. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（ ）. A. B. C. D. 16. 若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列. 则下列选项中正确的是（ ） A. ①是真命题， ②是真命题； B. ①是真命题， ②是假命题； C. ①是假命题， ②是真命题； D. ①是假命题， ②是假命题. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知． （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 18. 如图，四边形为长方形，平面，，． （1）若分别是的中点，求证：∥平面； （2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 19. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20. 已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点. （1）求双曲线的焦点坐标和渐近线方程； （2）过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，求的值； （3）若，如图，过作圆的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点.设，求实数的取值范围. 21. 定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. （1）若，，求的值及的固着点； （2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； （3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 2024学年度第一学期高三1月调研 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 学生注意： 1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】2 【3题答案】 【答案】##0.25 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】4 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）存在实数，使函数是奇函数. 【18题答案】 【答案】（1） 法一：取中点，连接、， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵平面，在平面外， ∴平面 法二：如图建立空间直角坐标， 则，，， ，，， ∴， 易知平面的一个法向量 ∵， 且在平面外 ∴平面 （2）存在， 【19题答案】 【答案】（1）无关联 （2） 1 2 3 （3）875 【20题答案】 【答案】（1）焦点坐标为，渐近线方程为 （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1），固着点 （2） （3）（方法一）由题得，， 所以， 因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解， 记，则，所以在是严格减函数， 从而，又当时，，故的值域是， 所以，即， 记，则由上述可知是的严格减函数且， ， 因为，所以，所以 ① 又， 记，则， 因为，所以，所以， 所以是上的严格增函数， 故，从而 ② 由①②可知，，即， 又是的严格减函数，所以，故. （方法二） 由题得，，所以， 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 求导得， 当时，，是上的严格减函数， 所以，所以方程（*）无解； 当时， （ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数， 所以，所以方程（*）无解； （ⅱ）当时，如下表 - 0 + 严格减 极小值 严格增 可知在严格减，在严格增， 又，，当时，， 所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围， 因为是的唯一解，所以， 又，令， 则，所以是上的严格减函数， 所以，即， 又当时，，所以， 又在上有唯一的零点，则， 综上，，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $