二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 考点目录 线段周长问题 面积问题 角度问题 考点一 线段周长问题 例1.(25-26九年级上上海浦东·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0)、 B(3,0两点，与y轴交于点C. y (1)求该抛物线的解析式： (②)点P是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点P作PD∥y轴，交抛物线于点D,求线段PD长度的最大 值； (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 9 Q (3)M(1,2 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0)、B3,0)两点， 设抛物线解析式为y=ax+1)(x-3), 代入0,3)得3=a0+1(0-3, 解得a=-1, .y=-(x+1(x-3)=-x2+2x+3. (2)解：由(1)可知，y=-x2+2x+3, 令x=0,则y=3,即C(0,3), 二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 设直线BC的解析式为y=c+3, ×B(3,0),则0=3k+3, 解得k=-1, ∴直线BC的解析式为y=-x+3 设P(m,-m+3(0<m<3),则Dm,-m2+2m+3), y PD=m+2m+)-m+3到=-+3m=-m-+ 329 当m时，D设大，最大位为} (3)解：抛物线y=-x2+2x+3, 抛物线对称轴为直线x=一2 21, A-1,0)、B(3,0)关于对称轴x=1对称， :MA MB, ·△MAC的周长=MA+MC+AC=MB+MC+AC. 当B、M、C三点共线时，MB+MC最小，此时△MAC的周长最小，直线BC与对称轴x=1的交点为M, C 把x=1代入y=-x+3得y=2, M(1,2). 例2.(25-26九年级上·天津南开·期末)已知抛物线y=ax2+bx+c(,b,c为常数，a>0)与x轴相交于A,B两 点（点A在点B左侧)，点C为抛物线与y轴的交点，D(3m,-4m)为抛物线的顶点，且m≠0.直线BC上两点E和 二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 F,其中E(n,yE),F(m+n,yF),aDEF的面积记为S. (1)当a=1,m=1时. ①直接写出点A,点B,点C的坐标； ②若A多求s (2)若点B的坐标为(5m,0),且S=6. ①直接写出m的值和抛物线解析式： ②当AF+DE取最小值时，直接写出AF+DE的最小值和点E的坐标. 【答案】(I)①点A1,0),点B(5,0)，点C(0,5)；②SEr=3 @0m-5,三次函数的得折式为：y=-3矿-45：②F+0E的最小准为2面，点 18V27V2 5,5 【详解】(1)解：顶点D(3m,-4m,m=1, 顶点D(3,-4). 设原来抛物线y=ax2+bx+c为顶点式为：y=a(x-3-4, 将a=1代入得：y=(x-32-4. ①当x=0时，y=(0-32-4=9-4=5, 点C0,5), 当y=0时，（x-3)-4=0,解得：x=5,x2=1, 又“点A在点B左侧， ∴点A1,0),点B(5,0): ②sn=亏，m=1y 小F小 设直线BC的解析式为：y=x+t(k≠O), 将点C(0,5,点B(5,0代入得： t-5 5k+t=0' 二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 解得：k=-1, ∴直线BC的解析式为：y=-x+5, ~点E和F在直线BC上， 将得小r[仔小分别代入y=-+5中 6+5=7:47 3 5+5= 2 8》r》 3 G E H 1 -4-3-2-10 -2 -3 4 D 如上图，过点D作DH⊥x轴交BC于点H,过点E作EG⊥DH交DH的延长线于点G,过点F作FK⊥DH交 DH的延长线于点K, a》点k ,点H(3,yH), “EG=3-51 三，K三5一3一” 21 ~点H(3,yH)在直线BC上， 六yH=-3+5=2, 点H3,2), ∴DH=2-(4=6, 4.S.pwr-S.ome+S.mr-DH.EG+DH.KF6xx6x3: 22 2 (2)①~顶点D(3m,-4m）, 设原来抛物线y=ax2+bx+c为顶点式为：y=ax-3m)-4m, 点B(5m,0)代入y=a(x-3m)2-4m得：0=a(5m-3m)2-4m, 二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 整理得：4am2-4m=0, m≠0， am-1=0, 1 ∴a= 1 二次函数的解析式为：y=二(x-3m)2-4m, m a>0, .m>0, 当x=0时，y=10-3m2-4m=9m-4m=5m, 17m 点C(0,5m, 设直线BC的解析式为：y=kx+4(k≠O), 将点C(0,5m,点B(5m,0)代入得： 41=5m 5mk+t=0' 解得：k=-1, ∴直线BC的解析式为：y=-x+5m, ∴点E(n,5m-n,点F(m+n,4m-n), 分类讨论： 情况一：当点E、F在对称轴x=3m的异侧，即n<3m,m+n>3m, 如图，过点D作DH⊥x轴交BC于点H,过点E作EG⊥DH交DH的延长线于点G,过点F作FK⊥DH交DH的 延长线于点K, G B 二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 点G(3m,5m-n,点K(3m,4m-n),点H(3m,ya）, 2.EG =3m-n,KF =m +n-3m n-2m, ~点H(3m,y)在直线BC上， 六yg=-3m+5m=2m, ∴点H(3m,2m）, DH=2m--4m）=6m, aSam=Sam+5m-号Dn-EG+号DH-kr 1 2×6m×(3m-川+2×6mx(n-2m, =二×6m×3m-n+n-2m）, =3m2, SADEF =6, 3m2=6, 解得：m,=2,m,=2(舍)， 。二次函数的解析式为：y=2(x-3-42, 情况二：当点E、F在对称轴x=3m的左侧，即n<3m,m+n<3m, 如图，过点D作DH⊥x轴交BC于点H,过点E作EG⊥DH交DH的延长线于点G,过点F作FK⊥DH交DH的 延长线于点K, B D 同情况一：EG=3m-n,DH=6m,点K(3m,4m-n,点F(m+n,4m-n, 6 二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 ∴FK=3m-m-n=2m-n, S.ow-S.m-5.wDHGD DH(EG-KF) 1 =2×6m3m--2m+m, =3m2, SADEF =6, 3m2=6, 解得：m,=V2,m,=V2(舍)， 二次面数的解折武为：y一号-3矿-45： 情况三：当点E、F在对称轴x=3m的右侧，即n>3m,m+n>3m, 如图，过点D作DH⊥x轴交BC于点H,过点E作EG⊥DH交DH的延长线于点G,过点F作FK⊥DH交DH的 延长线于点K, H。 GF B D 同情况一：KF=n-2m,DH=6m,点En,5m-n,点G3m,5m-n), 2.EG n-3m, .wDKFDG 2 1DH-(KF-EG), =二×6m(n-2m-n+3m, 2 =3m2, SADEF=6, 二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 3n2=6, 解得：m,=V2,m=2(舍)， 二次函数的解折式为：y--3-4小5： 综上，m=2,三次函数的解折式为：yx-3矿-45： ②：m=2, 设直线BC的解析式为：y=-x+5√2， 点E(m,5V2-n,点F(V2+m,42-n, “EF=V2+n-m°+(42-n-5+n=V+-2+2=2, -9--i, ∴点D32,-42, 0时y903-=, 点C0,52, 当y=0时， 9--45=0,将：=5,4=55， 点A2,0,点B52,0 如图，作点A关于CB的对称点A,与CB交于点H,连接AF,A'F,即AF=AF, 过点A作A'M BC,且使A'M=EF=2,连接ME,ED; 过点H作HN⊥x轴交x轴于点N,作A'GIOB,MG‖CO,MG与A'G交于点G, M A' G E B D A'M EF=2,A'M I BC, ∴四边形A'MFE为平行四边形， 二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 :ME=A'F AF ·ME+DE=AF+DE2MD, ∴当M、E、D三点共线时AF+DE的值最小为MD. c0,52),点B55,0, ∴0C=52,0B=5√2， ∴△COB为等腰直角三角形， ∴∠0CB=∠0BC=45°， AA'⊥BC,∠xoy=90°， .∠0AH=135°，即∠HAN=45°， ∴△HAN为等腰直角三角形， ∴HN=AN, ∴设点H(2+V2,2),代入y=-x+5V2中，z=22, 点H(32,2), ~点H是A4'的中点，AN2,0, 点42×3V2-V2,2x2W2-0),即点A5V2,4V2), A'GIIOB,MGICO, ∠MGA'=90°，∠MA'G=∠HAN=45°， ∴aM'G为等腰直角三角形， .MG=GA', cos∠MAG=cos45=2_MG 2 A'M MG=GA'=√2， 点M(42,52), 点D(3V2,-4V2), MD=42-32+52+42=2+92-64=2④， ·AF+DE的最小值为2√41， 设直线MD的解析式为：y=k,x+1k2≠0)， 将点M(4V2,5V2),点D32,-42)代入得： 二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 4√2k2+6,=5V2① 3V2k2+t,=-4v2② 由①-②得： √2k,=9√2， k2=9, 将k3=9代入①中得：362+6，=5V2,解得：5，=-31V2 ∴直线MD的解析式为：y=9x-31V2, ~将y=9x-31V2和y=-x+5V√2联立求出点E坐标， 9x-31V2=-x+5√2， 10x=362, +=18 5 将x-182代入y:-x+55,即y=7 5 5 18√27V2 ∴点E 5’5 例3.(25-26九年级上·江苏苏州月考)如图，已知抛物线的对称轴1为直线x=1,抛物线与y轴交于点C,与x轴 交于A、B两点，其中点A的坐标为-1,0)，点C的坐标为0,3)，P是对称轴上的一个动点， YA B (1)求抛物线的解析式： (2)当PA+PC的值最小时，求点P的坐标. 【答案】(1)y=-(x-1)2+4 (2)1,2】 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=ax-m)+n, 抛物线的对称轴为直线x=1, 10二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 二次函数：线段周长问题、面积问题、角度问题专项训练 考点目录 线段周长问题 面积问题 角度问题 考点一 线段周长问题 例1．（25-26九年级上·上海浦东·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 例2．（25-26九年级上·天津南开·期末）已知抛物线（为常数，）与轴相交于，两点（点在点左侧），点为抛物线与轴的交点，为抛物线的顶点，且．直线上两点和，其中，，的面积记为． (1)当，时． ①直接写出点，点，点的坐标； ②若，求； (2)若点的坐标为，且． ①直接写出的值和抛物线解析式； ②当取最小值时，直接写出的最小值和点的坐标． 例3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 变式1．（24-25九年级上·贵州遵义·月考）如图，二次函数交轴于点，，交轴于点，顶点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点的坐标． 变式2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当线段长等于2时，求点的坐标． (3)直接写出线段长的最大值是________． 变式3．（24-25九年级上·四川泸州·月考）如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)时，求的取值范围； (3)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． 考点二 面积问题 例1．（25-26九年级上·甘肃金昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点， 与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)是抛物线对称轴上一点，当时，求点的坐标； (3)将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点．是直线上方抛物线 上的一点，求面积的最大值． 例2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴于点H，交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)当的长度为最大值时，求点P的坐标； (3)在（2）问的条件下，连接交y轴于点D，M是第一象限内抛物线上的一点，连接，交于点E，连接．当时，请直接写出点M的坐标． 例3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图1，抛物线（为常数）与轴交于点，与轴的两个交点位于原点两侧． (1)抛物线经过点，． ①求抛物线的顶点坐标； ②若，函数的最大值与最小值的差总为1，求的取值范围． (2)在（1）的条件下，将抛物线平移个单位长度得到抛物线4．与轴相交于，两点（点在的左侧），与轴相交于点，如图2． ①求的最小值； ②过点作直线，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴交直线于点，分别过点，作抛物线的对称轴的垂线，垂足为点，．当以点，，，为顶点的四边形在直线，之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点的横坐标的值． 变式1．（25-26九年级上·北京顺义·期末）已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点． (1)求的值； (2)若该抛物线与轴的另一个交点为，求的面积． 变式2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为10，求点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·山东烟台·月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，，与y轴交于点．直线与抛物线在第一象限内交于点E，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)为第四象限抛物线上一点，若的面积与的面积相等，请求出点P的坐标； (3)若点是抛物线上的点，且在直线的上方，连接，，，求四边形面积的最大值； (4)如图2，经过、、三点的圆交轴于点（点与点不重合），请直接写出点的坐标． 考点三 角度问题 例1．（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（b，c为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴交于点，交于点，若存在点使的周长取得最大值，求出点的坐标． (3)点是抛物线上一点，满足，请直接写出点的横坐标． 例2．（25-26九年级上·湖北鄂州·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 例3．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，并经过，交轴于点． (1)请求出抛物线解析式； (2)如图1，连接，点在抛物线上，连接，若，求点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于点，，连接，分别交轴的正，负半轴于点，，若，求证：直线经过定点，并求出这个定点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作于点轴交于点，点是直线上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及此时的最小值： (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一种结果的解答过程． 变式2．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，于点，轴于点，交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求点的坐标； (3)如图②，点是抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·吉林·月考）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，当，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值； (4)、，当时，直接写出的取值范围．（写出一种情况即可，且这里、、均是大于且小于的角）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $