二次函数：图形问题、动态几何问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

二次函数：图形问题、动态几何问题专项训练 二次函数：图形问题、动态几何问题专项训练 考点目录 图形问题 动态几何问题 考点一 图形问题 例1．（25-26九年级上·新疆巴音郭楞·期末）李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． (1)若矩形菜地的面积是，求x的值． (2)当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 例2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)求与的函数解析式并写出x的取值范围． (2)若与墙垂直的一边长不少于，求当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 例3．（25-26九年级上·天津·月考）如图①，要利用一面墙（墙长为）建羊圈，用的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边长为，总面积为． (1)如果要围成总面积为的羊圈，AB的长是多少？ (2)如果两个矩形羊圈各开一个宽的门（如图②），在不浪费围栏的情况下，y与x之间的函数解析式为______，x的取值范围是______． (3)在（2）的基础上，求y的最大值． 例4．（25-26九年级上·天津·期末）如图，要用总长为25米的木栏修建一个一边靠墙的矩形苗圃，墙长12米，在边留1米宽的门（门不用木栏，边大于门宽），设矩形的一边长为x米． (1)矩形的另一边长为________米（用含x的代数式表示），x的取值范围是________； (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少平方米？ 变式1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形，为美化环境，用总长为的篱笆围成四块矩形，其中（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）． (1)若，用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (2)求矩形的面积关于的解析式，并求出面积的最大值． 变式2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）某小区业委员会决定把长，宽的矩形空地建成花园小广场．如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于，不大于．预计划活动区造价60元/．绿化区造价50元/．设绿化区域较长直角边为． (1)用含的代数式表示出口区的宽度为___________，绿化区总造价为___________元，活动区总造价为___________元 (2)如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程．若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能，请说明理由？ (3)业委员决定在（2）设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化．在实际施工中，每天比原计划多绿化，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少． 变式3．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃，其中，且墙长为． (1)设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为_____，x的取值范围为_____； (2)求矩形花圃面积的最大值． 变式4．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度是充电区宽度的倍，停车区和充电区的面积各是多少？ 考点二 动态几何问题 例1．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒，过点P作，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点Q在线段的延长线上时，线段的长为_______；（用含t的代数式表示） (2)设与重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)当点Q在线段的延长线上时，连结，若是等腰三角形，直接写出t的值． 例2．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）在矩形中，，，点从点出发，沿以速度向点移动；同时点从点出发，沿以的速度向点移动．点到点后，两点停止移动，设移动时间是秒． (1)线段的长度最小时，求的值． (2)是否存在移动时间，使得点四点在同一个圆上，若存在，求出时间；若不存在，说明理由． (3)点在移动过程中，把沿着翻折，得，试说明点三点在一条直线上． 例3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 例4．（25-26九年级上·广东惠州·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点从点出发；以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动．当点运动到点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，的面积为， (1)当______秒时，此时的面积为______； (2)当点在上运动时，求与之间的函数关系式，问为何值时的面积最小？ (3)在点沿运动过程中，若存在3个时刻，，，其对应的的面积均相等且，求的面积． 变式1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）四边形是边长为的正方形，点E是对角线上的一个动点（点E与A、C不重合），连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接、，与交于点G，延长线与线段交于点H． (1)求证：，； (2)猜想：当 时，四边形是正方形； (3)设，的面积为y，确定y与x的函数关系式，并求出y的最大值． 变式2．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，中，，，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为． (1)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． (2)当点D在线段上运动时，求的面积S的最大值． 变式3．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，将沿翻折得到，点为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．设运动时间为． (1)当时，求的值； (2)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)连接，当平分线段时，求的值； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：图形问题、动态几何问题专项训练 二次函数：图形问题、动态几何问题专项训练 考点目录 图形问题 动态几何问题 考点一 图形问题 例1．（25-26九年级上·新疆巴音郭楞·期末）李爷爷开辟了一块如图所示的矩形菜地，已知矩形菜地的一边靠墙（墙的最大可用长度为），其余三边用总长为的篱笆组成．设矩形菜地的宽为． (1)若矩形菜地的面积是，求x的值． (2)当x为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，围成的菜地面积最大，最大值为 【详解】（1）解：由题意得，， 整理得， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：当时，围成的菜地面积为198平方米； （2）解：设围成的菜地的面积为平方米， 由题意得， ， 当时，，符合题意， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当时，围成的菜地面积最大，最大值为． 例2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)求与的函数解析式并写出x的取值范围． (2)若与墙垂直的一边长不少于，求当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，有最大值，最大面积为 【详解】（1）解：， ， ， 的取值范围为； （2）解：， ， ， 当时，， 当时，有最大值，最大值为． 例3．（25-26九年级上·天津·月考）如图①，要利用一面墙（墙长为）建羊圈，用的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边长为，总面积为． (1)如果要围成总面积为的羊圈，AB的长是多少？ (2)如果两个矩形羊圈各开一个宽的门（如图②），在不浪费围栏的情况下，y与x之间的函数解析式为______，x的取值范围是______． (3)在（2）的基础上，求y的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）解：设羊圈的一边长为，则羊圈的宽为， 根据题意：． 整理，得，解得或7， 当时，不成立， 当时，成立． ∴长为． （2）解：根据题意得，， ∴总面积为与x之间的函数解析式为， ∴． ∵， ∴，即， ∴x的取值范围为． （3）解：∵， ∴对称轴为，抛物线开口向上， ∵ ∴当时，y有最大值． 例4．（25-26九年级上·天津·期末）如图，要用总长为25米的木栏修建一个一边靠墙的矩形苗圃，墙长12米，在边留1米宽的门（门不用木栏，边大于门宽），设矩形的一边长为x米． (1)矩形的另一边长为________米（用含x的代数式表示），x的取值范围是________； (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】(1)， (2)当时，矩形的面积最大，最大面积为84平方米 【详解】（1）解：∵木栏总长25米，在边留1米宽的门，矩形苗圃的一边长为x米， ∴米， ∵边大于门宽，墙长12米， ∴， 解得， 故答案为：，； （2）解：设矩形的面积为y平方米，由（1）得， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为． 答：当时，矩形的面积最大，最大面积为84平方米． 变式1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形，为美化环境，用总长为的篱笆围成四块矩形，其中（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）． (1)若，用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (2)求矩形的面积关于的解析式，并求出面积的最大值． 【答案】(1)，的取值范围是 (2)，面积的最大值为 【详解】（1）解：∵四边形，，，都是矩形， ∴，，． ∵， ∴， ∴，即矩形的面积是矩形的， ∴， ∴，即 ∵篱笆的总长为， ∴，即， ， 解不等式组，得 综上，，的取值范围是． （2）由（1）知，，， ∴， ，， ∴当时，有最大值，此时最大值为． 变式2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）某小区业委员会决定把长，宽的矩形空地建成花园小广场．如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于，不大于．预计划活动区造价60元/．绿化区造价50元/．设绿化区域较长直角边为． (1)用含的代数式表示出口区的宽度为___________，绿化区总造价为___________元，活动区总造价为___________元 (2)如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程．若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能，请说明理由？ (3)业委员决定在（2）设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化．在实际施工中，每天比原计划多绿化，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少． 【答案】(1)，， (2)所以业主委员会投资28.4万元，能完成全部工程，所有工程方案如下：①较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；②较长直角边为，短直角边为，出口宽度为；③较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； (3)原计划每天绿化 【详解】（1）解：由题意可得，出口的宽度为； 绿化区直角三角形的较短直角边为， 所以绿化区总造价为元， 所以活动区总造价为元， 故答案为：，，； （2）解：如图， 设工程队总造价元， 由题意可得，， ， ， ， ， 令， 解得，（舍去）， ，对称轴为直线， ∴在时，， 所以业主委员会投资28.4万元，能完成全部工程， 当为整数时，所有工程方案如下： ①较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； ②较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； ③较长直角边为，短直角边为，出口宽度为； （3）解：在中随的增大而减小， 当时，有最小值， 绿化面积平方米， 设原计划每天绿化，则在实际施工中，每天绿化， 则， 解得：或（舍， 经检验是原方程的解， 答：原计划每天绿化． 变式3．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃，其中，且墙长为． (1)设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为_____，x的取值范围为_____； (2)求矩形花圃面积的最大值． 【答案】(1)； (2)300平方米 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴矩形的面积， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最大值为， ∴矩形花圃面积的最大值为． 变式4．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度是充电区宽度的倍，停车区和充电区的面积各是多少？ 【答案】(1)S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是 (2)停车区面积为，充电区的面积是 【详解】（1）解：设车棚宽度为， ∵铝合金材料总长36米，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：∵车棚的宽度为， ∴， ∵此时停车区的宽度充电区宽度的倍， ∴，， ∴停车区面积为，充电区的面积是． 考点二 动态几何问题 例1．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒，过点P作，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点Q在线段的延长线上时，线段的长为_______；（用含t的代数式表示） (2)设与重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)当点Q在线段的延长线上时，连结，若是等腰三角形，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)当点Q在线段上时，，当点Q在线段的延长线上时， (3)t的值为3 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，， 动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒， ∴， 当点Q在线段的延长线上时， 过P作于H，则H为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①如图，当点Q在线段上时，，与重叠部分为， 由（1）可得，，， ； ②当点Q在线段的延长线上时，，与重叠部分为四边形， 由（1）可得，，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 综上所述，与重叠部分的面积为； （3）解：点Q在延长线上，如图， ∵，是等腰三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，仅存在，此时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 解得：． 例2．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）在矩形中，，，点从点出发，沿以速度向点移动；同时点从点出发，沿以的速度向点移动．点到点后，两点停止移动，设移动时间是秒． (1)线段的长度最小时，求的值． (2)是否存在移动时间，使得点四点在同一个圆上，若存在，求出时间；若不存在，说明理由． (3)点在移动过程中，把沿着翻折，得，试说明点三点在一条直线上． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 由题意得：，， ，， ， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，即有最小值； （2）解：， 、、三点在以为直径的圆上， 若点也在圆上，则， ，，， ； 整理得 解得，， ∵， ∴， ∴， 当时，、、、四点恰好在同一个圆上； （3）解：连接交于， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵A与是关于折叠的对应点， ∴， ∵在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴与重合， 故A、、Q三点在同一条直线上． 例3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：过点作轴于，如图， 点， ， ，， ， 点的坐标为． 点， ， 四边形为正方形， ，，， 点坐标为； 故答案为：；； （2）解：当点与点A重合时，； （3）解：当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：， ， 当时，正方形与重叠部分为五边形，如图， 是等腰直角三角形，，， ， 四边形为正方形， ， 正方形的边长为2，， ，， ，， ，， ． 当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：， ， ， 综上，． 例4．（25-26九年级上·广东惠州·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点从点出发；以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动．当点运动到点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，的面积为， (1)当______秒时，此时的面积为______； (2)当点在上运动时，求与之间的函数关系式，问为何值时的面积最小？ (3)在点沿运动过程中，若存在3个时刻，，，其对应的的面积均相等且，求的面积． 【答案】(1)；8 (2)； (3) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由题意得，， ∴， 当点在线段上时，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点在线段（不与点重合）上时，则， ∵，， ∴，此时不满足，舍去； ∴综上所述，当秒时，此时的面积为； 故答案为：；8； （2）解：如图， 由题意得，，， ∴，， 由题意得， 解得， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最小值11， ∴综上所述，；当时，的面积最小； （3）解：当点在上（不与点重合）运动时，则， ∴， 由题意得， 解得， ∵，， ∴当时，随着的增大而增大， ∵存在3个时刻，，，其对应的的面积均相等， ∴，， 当时，， ∴函数关于直线对称， ∵当和时，对应的的面积相等， ∴， 即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的面积为． 变式1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）四边形是边长为的正方形，点E是对角线上的一个动点（点E与A、C不重合），连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接、，与交于点G，延长线与线段交于点H． (1)求证：，； (2)猜想：当 时，四边形是正方形； (3)设，的面积为y，确定y与x的函数关系式，并求出y的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)y与x的函数关系式为，y的最大值为 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点， 又∵，， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴ ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴当时，四边形是正方形； 故答案为：1； （3）解：由（1）得，，， 由（2）得，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴综上所述，y与x的函数关系式为，y的最大值为． 变式2．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，中，，，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为． (1)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． (2)当点D在线段上运动时，求的面积S的最大值． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解：①当（点D在上时） ∵中，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， ∵， ∴ ∴ ②当（点D在上时）如图； 则 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴综上所述： （2）点D在线段上运动时，则 ∴ ∵ ∴当时，最大是6. 变式3．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，，，将沿翻折得到，点为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．设运动时间为． (1)当时，求的值； (2)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)连接，当平分线段时，求的值； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3) (4)存在， 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 在中，，，， ∴， ∵翻折， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， 解得． （2）过作于，过作，，过作于， ∵翻折， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴，即： ∴，， ． ， ． （3）设中点为，连接，此时经过点，过点作于，过作于，由题意，得， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ． ∵ ∴， ∴， 即， 解得． （4）假设存在，使在的平分线上， 则， ， ， ， ， 平行四边形是菱形， ， ∴， ∴， ∴， ， 由（2）知：，，， ∴，即， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ， 解得，（负值，舍去）， 存在时刻时，使点在的平分线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $