11.3 一次函数与方程、不等式 第二课时 课件-2025-2026学年青岛版八年级数学下册

第11章 一次函数 11.3一次函数与方程、不等式 第二课时 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1 1、理解一次函数与二元一次方程（组）的关系； 2、根据一次函数的图象求二元一次方程（组）的解和二元一次不等式（组）的解集，进一步发展数形结合的意识； 3、通过对一次函数与二元一次方程（组）、二元一次不等式（组）关系的探究，认识事物部分与整体的辩证统一关系. 教学目标 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 2 问题1. 方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个. 无数个 问题2. 等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它 变成y=kx+b的形式是_____________. y=-x+5 课程导入 问题3. 画出y=－x+5 的图象 · 5 5 x 0 y=-x+5 0 · 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 课程导入 · · 追问①：以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗？ 都在 追问②：在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？ 都适合 追问③：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？ 相同 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 课程导入 在一次函数 y=5－x的图象上 方程 x+y=5的解 从形到数 从数到形 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 二元一次方程与一次函数的关系 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 总结归纳   青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例1 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是(　　) C 新知探究 直线与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当y＝0时x的值；直线与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当x＝0时y的值，注意数形结合． 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 新知探究 例2 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1小时. (1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔(单位：米)关于上升时间(单位：分钟)的函数关系； (1)气球上升时间满足 . 分析： 1号气球的函数解析式为 ； 2号气球的函数解析式为 . 0≤x ≤60 y=x+5 y=0.5x+15 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 新知探究 例2 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1小时. (2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 分析： (2)在某个时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.则只需求出x和y的值. 容易想到解二元一次方程组： 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 新知探究 y=x+5， y=0.5x+15， 即： x-y=-5， 0.5x-y=-15， 解得： x=20， y=25， 这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度. 函数表达式 方程组 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 总结归纳 从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例3 如图，求直线l1与l2 的交点坐标. 分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标. 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 解方程组 y =2x+2， y =-x+3， 解：因为直线l1过点(-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得 直线l1的解析式为y =2x+2. 同理， 可求得直线l2的解析式为y =-x+3. 得 即直线l1与l2 的交点坐标为 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？ 解：此方程组的解是 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -3 -4 -5 2 O -2 1 4 -6 x y P y=ax+b y=cx+d 跟踪练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） （1）字母的意义不同：方程中的字母表示的是未知数，一次函数中的字母表示的是自变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图象法表示两个变量的关系 二元一次方程与一次函数的区别 归纳总结 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤： （1）变函数：把方程组 化为一次函数y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2； k1 x- y1+b1=0 k2 x-y2+b2=0 （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； 归纳总结 （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标； （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.利用一次函数的图象解二元一次方程组 . 解析：将方程组中的两个二元一次方程转化为两个一次函数，在同一个坐标系中画出两个一次函数的图象，再利用图象进行求解. y-2x-1=0 y-x+1=0 跟踪练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 解：由方程组，得一次函数 y=2x+1与 y=x-1. 如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数 y=2x+1 与 y=x-1 的图象. 它们的交点坐标为（-2，-3），所以二元一次方程组的解为 x=-2 y=-3 跟踪练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 2.在同一坐标系中分别画出 y1=-2x+1 和 y2=2x-3 的图象，并根据图象回答下列问题. （1）直线 y1=-2x+1 和 y2=2x-3 分别与 y 轴交于 A、B 两点，请分别写出 A、B 两点的坐标； （2）写出直线 y1=-2x+1 和 y2=2x-3 的交点 P 的坐标； （3）求△PAB 的面积. 跟踪练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 解：（1）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数 y1=-2x+1 和 y2=2x-3的图象. 它们与 y 轴的交点坐标分别为 A（0，1），B（0，-3）. y x O y1=-2x+1 y2=2x-3 3 3 -3 -3 1 A B 跟踪练习 （2）如图，根据同一平面直角坐标系中一次函数 y1=-2x+1 和 y2=2x-3的图象可知：它们的交点坐标为P（1，-1）. P 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） y x O y1=-2x+1 y2=2x-3 3 3 -3 -3 1 A B P 跟踪练习   青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解. 能力拓展   青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.一次函数 y=-x+1 和一次函数 y=-x+3 的图象的交点有 个，则二元一次方程组 的解有 个. （ ） A.0，1 B. 0，0 C. 1，0 D. 1，1 解析：两个一次函数的自变量系数都为-1，说明两条直线平行，没有交点，也说明对应的二元一次方程组无解. x+y=1 x+y=3 B 跟踪练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 2.如果二元一次方程组 的解是 . x+2y=1 3x-2y=3 那么它是哪两个一次函数的交点坐标，交点坐标是多少？ x=1 y=0 两个一次函数的交点坐标为（1，0）. 跟踪练习   青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3.求直线 y=-x+3 和直线 y=-2x+5 的交点坐标. 解：将直线 y=-x+3 和直线 y=-2x+5 转化为一个二元 所以交点坐标是（2，1）. 还有其他方法吗？ x+y=3 2x+y=5 x=2 y=1 一次方程组 ，解得 跟踪练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 解：在同一平面直角坐标系中分别画出直线 y=-x+3和直线 y=-2x+5 的图象. 由图象可知交点坐标是（2，1）. 3.求直线 y=-x+3 和直线 y=-2x+5 的交点坐标. y x O y=-x+3 y=-2x+5 （2，1） 5 3 3   1 2 跟踪练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 26 1.若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线 上，则常数b=（　　） A． B．2 C．﹣1 D．1 B 2.如图所示，直线l1： 与直线l2： 交于点 P（﹣2，3），不等式 的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2 A 当堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ） A.x<5 B.x>5 C.x>-5 D.x>25 1 B y=4x+5 y=3x+10 x y 当堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 解：画出两个函数y=5x−1 和y=2x+5的图象． 由图象知，两直线交于点 (2，9)，所以原方程的解为 x=2． O y=5x−1 y=2x+5 9 2 x y 4.利用函数图象求x的值: 5x−1= 2x+5. 当堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 5.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( ) D 点拨：由图象知l1、l2 的 x 的系数都应为负数，排除 A、C.又 l1、l2的交点为(2,－2)，代入验证可知只有 D 符合． 当堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ） A.x<5 B.x>5 C.x>-5 D.x>25 1 2 B 拓展提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 2.直线y=3x+ 6与x轴的交点的横坐标的值是方程2x+a=0 的解，求a的值. 解：由题意可得： 当直线y=3x+ 6与x轴相交时，y=0 则3x+ 6=0, 解得：x= -2, 当x= -2 时， 2 × (-2) + a =0， 解得：a = 4. 拓展提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3.已知直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三象限，求m得取值范围. 拓展提升 解： 由题意得： y=-2x-1， y=3x+m， 解得： x= ， y= ， ∵交点在第三象限， ∴ <0， <0， 解得：-1<m< 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 33 4.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所列的二元一次方程组是( ) 拓展提升 x+y-2=0， 3x-2y-1=0 A. 2x-y-1=0， 3x-2y-1=0 B. 2x-y-1=0， 3x+2y-5=0 C. x+y-2=0， 2x-y-1=0 D. A 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 34 5.(1)正比例函数y=mx(m为常数，且m≠0)与一次函数y=kx+b相交于点P(如图②)，则不等式组 的解集为 ； 拓展提升 (2)在(1)的条件下，比较mx与kx+b的大小 (直接写出结果). 解：当x＜1时，kx+b＞mx； 当x=1时，kx+b=mx； 当x＞1时，kx+b＜mx. mx>0， kx+b>0， 0＜x＜2 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 35 6.求一次函数 y=2x+2，y=-x+5 的图象 l1，l2 与 x 轴围成的三角形的面积. 求三角形三个顶点的坐标 利用面积公式求三角形的面积 直线 l1 与 x 轴的交点坐标 直线 l2 与 x 轴的交点坐标 直线 l1 与 l2 的交点坐标 结合图象 拓展提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 解：设直线 l1，l2 交于点 A，两直线分别与 x 轴交于点 B，C. 对于一次函数 y=2x+2，令 y=0，即 2x+2=0，解得 x=-1， ∴ 一次函数 y=2x+2 的图象与 x 轴的交点 B 的坐标为(-1，0). 对于一次函数 y=-x+5，令 y=0，即 -x+5=0，解得 x=5， ∴一次函数 y=-x+5 的图象与 x 轴的交点 C 的坐标为(5，0). 拓展提升 6.求一次函数 y=2x+2，y=-x+5 的图象 l1，l2 与 x 轴围成的三角形的面积. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春）   拓展提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 拓展提升 方式一 方式二 月租费/(元/月) 30 0 本地通话费/(元/min) 0.30 0.40 用函数方法解答何时两种计费方式费用相等. 7.考虑下面两种移动电话计费方式： 解：设通话时间为x分，若按“方式一”计费方式，则收取费用y=30+0.3x；若按“方式二”计费方式收取费用，则收取费用y=0.4x.在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象，如下图： 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 39 拓展提升 x=300， y=120， 解方程组： y=30+0.3x， y=0.4x， 所以两图象交于点(300，120)， 当x=300时，30+0.3x=0.4x， 即当一个月内通话时间等于300分钟时，选择两种计费方式费用相等. 得： 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 40 一次函数与二元一次方程组 二元一次方程 二元一次方程组 二元一次方程的解对应一次函数图象上的点坐标. 二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标. 课堂小结 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） A. B. C. D. $