11.3一次函数与方程、不等式（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

**基本信息** 本同步练聚焦一次函数与方程、不等式的关系，通过基础到综合的分层设计，构建“图像应用—关系转化—问题解决”的知识巩固路径，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|一次函数与方程、不等式的基本对应|选择/填空题直接应用图像求解，如由图像求方程解、不等式解集| |综合应用|方程组解、交点坐标、面积计算|解答题结合图像与代数转化，如求两直线交点及围成图形面积| |拓展探究|开放性问题、动态几何|含字母参数的探究题，如根据交点位置求参数范围，发展创新意识|

11.3一次函数与方程、不等式 题型一  利用一次函数图像求方程的解   1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 2．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 3．（25-26八年级下·北京·月考）直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 【答案】①④ 【分析】根据一次函数的图象经过的象限，可判断①； 根据一次函数的图象与轴的交点位置，可判断②； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，及图象的位置，可判断③； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴，故②错误； 一次函数与的图象交点的横坐标为， 当时，的图象在的上方， 即，故③错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是，故④正确． 题型二  利用一次函数图像求不等式的解集 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交点横坐标得出不等式的解集为，在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：∵直线与相交于点，点的横坐标为， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集在数轴上表示为： ∴A选项符合题意． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点的坐标代入求出的值，确定交点坐标，再将不等式变形为，结合图象找出直线在直线上方时对应的的取值范围即可． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ， 解得， 交点的坐标为. 不等式可变形为，即， 由图象可知，当时，直线在直线的上方， 不等式的解集为． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，直线经过点，，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】解：根据函数图象得，关于的不等式的解集是． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】由可得，根据图像找出的图像在图像上方时，对应的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴时，， ∴不等式的解集是． 5．（2026九年级下·山东聊城·专题练习）已知一次函数（是常数）与的部分对应值如下表： 0 1 2 6 4 2 0 不等式的解集是______． 【答案】 【分析】不等式的解集为一次函数中时自变量的取值范围，结合表格数据判断函数增减性，即可得到对应解集. 【详解】解：由表格可得，当时，， 方程的解是， 根据表格数据可知，随的增大而减小， 当，即时，. 6．（25-26八年级下·上海·月考）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标是；的值是． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （）由题意可以求得的值，然后将代入即可求得点的坐标； 根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标是， 当时，， ∴点的坐标是； ∵， ∴，解得， 即的值是． 题型三  利用一次函数图像求不等式组的解集 1．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为． 2．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将已知点的坐标代入直线求得的值，直线与x轴交于，根据图象即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 当时，，解得，即直线与x轴交于， 观察图象可知：关于的不等式的解集为． 3．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 4．（25-26七年级下·山东东营·月考）【活动回顾】本册教材页中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． (1)【解决问题】如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． (2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是__________，不等式的解集是__________． (3)【拓展延伸】如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点，请你结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是_________． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）求出点的坐标，再结合函数图象解答即可求解； 本题考查了一次函数与不等式，一次函数的交点问题，一次函数与二元一次方程组，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知，两条直线的交点坐标为，方程的解是，不等式的解集是， 故答案为：，，； （3）解：由，解得， ∴， 把代入，得， ∴， 由函数图象可知，当时，；当时，， ∴不等式组的解集是． 题型四 利用一次函数图像求二元一次方程组的解 1．（2026·陕西西安·一模）已知一次函数（、为常数，）与（、为常数，）的图象交于点，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标即为对应方程组的解，进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴该点的坐标同时满足两个函数的方程， ∴关于、的方程组，即的解为． 2．（19-20八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 3．（24-25九年级下·浙江杭州·月考）已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，方程组的解是，则________． 【答案】1 【分析】一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，据此进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是， ∴联立与的方程组的解为：， ∴， ∴， ∴． 题型五 求两条直线的交点坐标 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为．如图，若直线（k，b为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， ∴二元一次方程组的解为， ∵二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标， ∴点P的坐标为：． 2．（25-26八年级下·上海·月考）已知方程组无解，那么直线不经过第______象限． 【答案】一 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握方程组无解等价于两条直线平行且不重合，再根据一次函数的斜率和截距判断其经过的象限． 根据方程组无解，得出两条直线平行，由此列方程求出的值；再将代入目标直线的解析式，根据一次函数解析式判断其不经过的象限． 【详解】解：方程组无解， 直线与平行且不重合， ， 解得， 将代入，得， 直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)将该一次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个“V”字形的新图象．求新图象与直线的交点坐标； (3)设点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，直线与（2）中新图象交于点，，与直线交于点，如果，请结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，即可得到一次函数的表达式； （2）首先求出翻折后点右边的图象的表达式为，然后分两种情况，分别和直线联立求解； （3）根据题意画出图象，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 由题意得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵ ∴当时， 解得 ∴与x轴的交点坐标为 点关于x轴对称的点的坐标为 设翻折后点右边的图象的表达式为 将，代入得， 解得 ∴ 如图， ∴当时，联立和得， 解得； 当时，联立和得， 解得； ∴新图象与的交点坐标为和； （3）解：如图，由（2）可得新图象与的交点坐标为和， ∵，， ∴由图象可得，当直线l和线段有交点时， ∴． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)；的面积为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式，联立两直线解析式可得点A的坐标，然后再根据列式计算即可； （2）求出，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴直线的表达式为， 联立， 解得， ∴点， 对于直线， 令，则， ∴点 令，则， ∴点， ， 对于直线， 令，则， ∴点， ∴， ； （2）点在线段AB上，点，点，点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴的值随t的增大而减小， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 5．（22-23七年级下·山东烟台·期中）已知在同一坐标系内，一次函数，与的图象相交于同一点，求k的值． 【答案】 【分析】先联立两个已知函数表达式求出交点坐标，再将交点坐标代入求出k的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 交点坐标为， 把代入得：， 解得． 题型一 一次函数面积问题  1．（2026·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】先根据平移性质得到的解析式．再求出两条直线与轴的交点，以及和的交点，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，得到的解析式为， 令，分别求两条直线与轴的交点坐标： 对，，解得 ， 即与轴的交点为； 对，， 解得， 即与轴的交点为； ∴三角形在轴上的底边长为． 联立与的方程求交点： 解得，即两直线交点纵坐标为，三角形的高为． ∴三角形面积． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．正比例函数与一次函数交于点，连接．求的面积． 【答案】15 【分析】先求出直线的解析式，联立两个函数的解析式，求出点坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∴的面积． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【详解】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解：，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 4．（25-26八年级下·山东日照·月考）在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象； (2)求（）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积． 【答案】(1)，画图见解析 (2) 【分析】（）根据垂直的定义设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，即可画出直线的图象； （）求出直线与轴和轴的交点坐标，画出直线的图象，再求出两条直线的交点坐标，最后结合图形，即可求出与轴所围的三角形的面积． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线过点， 画图如下： ； （2）解：由得，当时，；当时，； ∴直线过点和，如图， 由得，， ∴两条直线的交点坐标为， ∴两条直线与y轴所围的三角形的面积为． 题型二  一次函数开放性问题 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，一次函数与的图象的交点为M，下列选项中错误的是（   ） A．M可能在x轴的正半轴上 B．时，所有可能的M点形成的图形为一条射线 C．时，M不可能在x轴上 D．时，M可能在第四象限 【答案】B 【分析】先联立方程组，得到点，：取，时，满足，此时，据此判断A；根据可以取任意实数，可判断B；当时，，所以的纵坐标恒正，可判断C；取，（满足），此时，在第四象限，可判断D． 【详解】解：联立方程，解得， ， A选项：取，时，满足，那么，，此时M在x轴的正半轴上，A正确； B选项：当时，的横坐标恒为1，纵坐标，由且，可以取任意实数（b任意正，a任意负），所以的轨迹是直线，不是射线，B错误； C选项：当时，，所以的纵坐标恒正，不可能在轴上，C正确； D选项：第四象限要求，，的横坐标，只需，取，（满足），此时，在第四象限，D正确． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； B、方程的解是，原选项不符合题意； C、∵一次函数经过点，点， 解得： ∴一次函数解析式为，当时，， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； D、当时，，原选项不符合题意． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数与的图象，下列说法正确的有几个（    ） ①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点；④方程组的解是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质与图象可判断①②，根据一次函数解析式可判断③，根据二元一次方程组的解与一次函数的交点坐标之间的关系可判断④． 【详解】解：由图象可知：，故①正确； 由可知的图象，随自变量的增大而减少，故②正确； ∵， ∴当，即时，， ∴不论为何值，一次函数的图象总过定点，故③正确； ∵一次函数与的图象交于， ∴方程组的解是，故④正确； 综上，正确的有4个． 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图是函数与的图象，下列结论正确的是（   ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程组的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，两直线的交点坐标为，故关于x的方程的解为，故该选项不符合题意； B、关于x的方程组的解为，故该选项符合题意； C、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的下方，即， ∴关于的不等式的解集为，故该选项不符合题意； D、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的上方，即， ∴当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型三 根据两条直线的交点情况求字母值或范围 1．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于第三象限．则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】联立方程组，求出交点坐标，再根据第三象限点的特征进行计算即可． 【详解】解：联立方程组， 解得：， 交点在第三象限， ， 解得：， 的取值范围为． 2．（2022·河南安阳·模拟预测）把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据一次函数图象的平移规律得到，再联立方程组求解得到交点坐标，结合题意列不等式组求解即可． 【详解】解：直线向上平移m个单位后的解析式为， ∴， 解得，， ∴两直线的交点坐标为 ∵交点在第二象限， ∴， 解得，， ∴m可以取得的整数值有，共5个， 故选：D ． 题型一  根据函数值的大小情况求字母的取值范围 1．（2026·江苏南通·一模）已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的交点问题． 联立两个一次函数解析式求出交点横坐标，结合一次函数增减性和已知条件得到交点横坐标的范围，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：联立两个一次函数解析式得 令，解得， 即两函数交点的横坐标为， 一次函数中，，随增大而增大，一次函数中，，随增大而减小， 当大于交点横坐标时，， 又当时，， ， 不等式两边同乘得：， 移项得：． 2．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， 当时，， 将代入得， 当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，如图所示， ． 3．（25-26九年级下·北京大兴·月考）在平面直角坐标系中，函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)m的取值范围是． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）结合（1）可得为，为，然后在同一坐标系中画出，的图象，又当时，，则，且当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵函数的图象与直线平行，且经过点， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知，， 在同一坐标系中画出，的图象如下 当时，， 若经过，则， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 那么， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 则， 结合图象可得． 题型二 1．（25-26八年级下·北京延庆·期中）小亮根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是他的探究过程． … 2 3 4 5 … … 3 4 5 0 … (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______； (3)在下面的平面直角坐标系中，画出该函数图象： (4)根据函数图象，直接写出方程的解为_______． 【答案】(1) (2)0，1 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据分式的分母不能为0求解； （2）令求出的值，令求出的值； （3）将表格中的点在平面直角坐标系中描出来，用平滑的曲线连接即可； （4）的解为函数与交点的横坐标． 【详解】（1）解：， ． （2）解：令，则， ， ， ， ； 令，则， ． （3）解：如图所示． （4）解：函数的图象如图所示， 由图可得：交点坐标为，， ∴方程的解为或． 2．（25-26八年级上·山西运城·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 【答案】(1)m的值为4，n的值为0 (2)作图见解析 (3)①②③ (4)作图见解析；， 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）解：作图如图： （3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确； 由图可知当时，取得最小值，故③正确； 当时，，解得或，并非只有，故④错误； 综上，正确的是①②③； （4）解：作图如图： 当时，，解得， 当时，，解得， 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组的解为： 和 ． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3一次函数与方程、不等式 题型一  利用一次函数图像求方程的解   1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26八年级下·北京·月考）直线与直线如图，则下列结论： ①；②；③当时，；④方程的解是，，正确的有________． 题型二  利用一次函数图像求不等式的解集 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，直线经过点，，则关于的不等式的解集是________． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是________． 5．（2026九年级下·山东聊城·专题练习）已知一次函数（是常数）与的部分对应值如下表： 0 1 2 6 4 2 0 不等式的解集是______． 6．（25-26八年级下·上海·月考）一次函数和的图象如图所示，且，． (1)由图可知，不等式的解集是_____； (2)若不等式的解集是． 求点的坐标； 求的值． 题型三  利用一次函数图像求不等式组的解集 1．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 4．（25-26七年级下·山东东营·月考）【活动回顾】本册教材页中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． (1)【解决问题】如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． (2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是__________，不等式的解集是__________． (3)【拓展延伸】如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点，请你结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是_________． 题型四 利用一次函数图像求二元一次方程组的解 1．（2026·陕西西安·一模）已知一次函数（、为常数，）与（、为常数，）的图象交于点，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（19-20八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 3．（24-25九年级下·浙江杭州·月考）已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，方程组的解是，则________． 题型五 求两条直线的交点坐标 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为．如图，若直线（k，b为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为______． 2．（25-26八年级下·上海·月考）已知方程组无解，那么直线不经过第______象限． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)将该一次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个“V”字形的新图象．求新图象与直线的交点坐标； (3)设点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，直线与（2）中新图象交于点，，与直线交于点，如果，请结合图象直接写出的取值范围． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 5．（22-23七年级下·山东烟台·期中）已知在同一坐标系内，一次函数，与的图象相交于同一点，求k的值． 题型一 一次函数面积问题  1．（2026·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．正比例函数与一次函数交于点，连接．求的面积． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 4．（25-26八年级下·山东日照·月考）在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直，如直线与直线，因为，所以相互垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)求过点且与已知直线垂直的直线的函数表达式，并在如图所示的坐标系中画出直线的图象； (2)求（）问中的两条直线与轴所围的三角形的面积． 题型二  一次函数开放性问题 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，一次函数与的图象的交点为M，下列选项中错误的是（   ） A．M可能在x轴的正半轴上 B．时，所有可能的M点形成的图形为一条射线 C．时，M不可能在x轴上 D．时，M可能在第四象限 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数与的图象，下列说法正确的有几个（    ） ①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点；④方程组的解是． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图是函数与的图象，下列结论正确的是（   ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程组的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．当时， 题型三 根据两条直线的交点情况求字母值或范围 1．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于第三象限．则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 2．（2022·河南安阳·模拟预测）把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 题型一  根据函数值的大小情况求字母的取值范围 1．（2026·江苏南通·一模）已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 2．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 3．（25-26九年级下·北京大兴·月考）在平面直角坐标系中，函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 题型二 1．（25-26八年级下·北京延庆·期中）小亮根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是他的探究过程． … 2 3 4 5 … … 3 4 5 0 … (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______； (3)在下面的平面直角坐标系中，画出该函数图象： (4)根据函数图象，直接写出方程的解为_______． 2．（25-26八年级上·山西运城·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 11.3一次函数与方程、7 A 基础达标题 题型一利用一次函数图像求方程的解 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】①④ 题型二利用一次函数图像求不等式的解集 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】x>-3 4.【答案】x>2 5.【答案】x<1 6 【详解】(1)解：由图象可知不等式kx+b>0的解集是x>-2, 故答案为：x>-2; (2)解：①A0,4),C(-2,0)在一次函数1=kx+b上， b=4 -2k+b=01 k=2 解得： 1b=41 ·.一次函数y=2x+4, :不等式kx+b>-4x+a的解集是x>1, 点B的横坐标是x=1, 当x=1时，y=2+4=6, .点B的坐标是1,6； ②B(1,6, 6=-4x1+a,解得a=10, 即a的值是10 1/12 上好每一堂课 不等式 ● 可学科网·上好课 www.zxxk.com 题型三利用一次函数图像求不等式组的解集 1.【答案】D 2.【答案】A 3. 【详解】(1)解：由函数图象可知，直线y2=ax+b与x轴交于点(4,0) :关于x的方程ax+b=0的解是x=4; (2)解：由函数图象可知，关于x的不等式mx+n<1的解集是x<0; (3)解：由函数图象可知，当x≤2，y≤y2: (4)解：由函数图象可知，关于x的不等式ax+b>0的解集为x<4, 关于x的不等式mx+n>0的解集为x>-2, ax+b>0 关于x的不等式组 的解集为-2<x<4. mx+n>0 4. 【详解】(1)解：由函数图象可知，不等式kx+b>2的解集是x<3, 故答案为：x<3; (2)解：由函数图象可知，两条直线的交点坐标为2,3)，方程2x-1= 2x-1>x+1的解集是x>2, 故答案为：(2,3)，x=2,x>2: y=-x+1 x=2 少22解得 (3)解：由{1 y=-1 .A2,-1, 1 把0代入y=2-2,得x=4, .C(4,0, 由函数图象可知，当x>2时， 1 2x-2>-x+1;当x>4时， x-2>0, x-2>-x+1 不等式组 2 的解集是x>4. (2x-2>0 1 2/12 上好每一堂课 x+1的解是x=2,不等式 学科网·上好课 www zxxk.com 题型四利用一次函数图像求二元一次方程组的解 1.【答案】A x=2 2.【答案】 y=4 3.【答案】1 题型五求两条直线的交点坐标 1.【答案】(2,4) 2.【答案】一 3. 【详解】（1)解：将A(4,-1),B(1,2)代入y=c+b得， 4k+b=-1 由题意得 k+b=2 k=-1 解得b=3' 一次函数的表达式为y=-x+3; (2)解：y=-x+3 .当y=0时，0=-x+3 解得x=3 .y=-x+3与x轴的交点坐标为3,0) 点A(4,-1)关于x轴对称的点的坐标为4,1 设翻折后点3,0)右边的图象的表达式为y1=kx+b 4k+b=1 将4,1，(3,0)代入得， 3k+b=0 k=1 解得1b=3 乃=x-3 如图， 3/12 道系一母丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=一x+3y y=x-3 5 y= 2 22456789 2 3 1 1 当r≤3时，联立)=方x和y=-x+3得， y= y=-x+3 x=2 解得 (y=19 1 当x>3时，联立y=。x和=x-3得， y-2x y=x-3 x=6 解得 y=3 ·新图象与y=二x的交点坐标为2,1和6,3)； (3)解：如图，由(2)可得新图象与y=二的交点坐标为E(2,1和F(6,3), y=-x+3y y=x-3 5 4 y= P N GH -3-2123456789x :P(x,),Qx2,y2,N(x3,y3） :由图象可得，当直线1和线段EF有交点时，x<x<x 1<t<3. 【详解】1解：点80，)在直线F=+6上， 4/12 高学科网·上好课 www.zxx k.com .b=3, :直线B的表达式为y=-3 +3, y=2x-5 联立 2 43 3 y=- [x=2 解得3， y= 2 点2引 对于直线4：y=2x- 2, 令=0，则= 点0到 5 令y=0,则x= 41 .OD=5 ’ 3 对于直线l,:y=- x+3, 4 令y=0,则x=4, 点C(4,0), .0C=4, Sae-Sec+5.-DC(y-y-oc-0Dj[侵+引 ②》点F)在线段B上，点Q,,点42引 点G(1 +30≤1≤21，y=21-- 3 =21-9 1 3 -y2=- <0, 4 .-y2的值随t的增大而减小， 5/12 上好每一堂课 24 411 111 2 1,y2在直线y=2x 5 上， 2 学科网·上好课 0≤t≤2， 15 当1=0时，片-片取最大值，最大值为 5. 3 3 y=一x 2 2 【详解】解：由题意得： 1 y=- 2 x=2 解得： 3, y= 2 交点坐标为 把2引代入y=+2： 3=2k+2, 解得k-1 4 B 能力提升题 题型一一次函数面积问题 1.【答案】A 2. 【详解】解：：一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A(6,0),B(0, 设直线AB的解析式为y=c-3,把A6,0)代入，得6k-3=0, 解得k=2' 1 1 y2-3 1 y=二x-3 2 x=-4 联立 ,解得 y=-5’ 4 .C(-4,-5, 3. 【详解】(1)解：由图可知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1分别交 当x=0时，y=3,即A(0,3； b/1∠ 上好每一堂课 3)两点， y轴于点A、B, 函学科网·上好课 www zxxk com 当x=0时，y=-1,即B(0,-1; (2)解：：直线y=2x+3与直线y=-2x-1交于点C, y=2x+3 (y=-2x-1'解得 x=-1 y=1, 则C-1,1； (3)解：：A0,3,B(0,-1,C(-1,1, 1 Sc=2×3+1x1=2, 则ABC的面积为2： (4)解：如图，当2x+3>-2x-1时，x>-1 4. 【详解】(1)解：设直线1的解析式为y=-2x+b, 把P(1,2)代入得，2=-2+b, .b=4, 直线1的解析式为y=-2x+4, 直线1过点(0,4)， 画图如下： 7/12 系一母拼丁 可学科网·上好课 www.zxxk.com y=-2x+4、 2 -5-4-3-2-10 -4 > 5 (2)解：由y=0.5x-2得，当x=0时，y=-2;当y=0时，x=4; .直线y=0.5x-2过点(0，-2和(4,0)，如图， 2x+4W 3 v=0.5x-2 -5-4-3-2-1Q y=0.5x-2 x=2.4 由 y=-2x+41 得， y=-0.8’ .两条直线的交点坐标为2.4，-0.8)， :两条直线与y轴所围的三角形的面积为二×6×2.4=7.2. 题型二一次函数开放性问题 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】B 题型三根据两条直线的交点情况求字母值或范围 1.【答案】C 2.【答案】D 拓展培优题 题型一根据函数值的大小情况求字母的取值范围 8/12 酱系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com 1.【答案】b≤-4 2. 【详解】(1)解：函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点1,3)，(2,1， 「k+b=3 2k+b=11 [k=-2 b=5’ ∴k=-2,b=5; (2)解：由(1)得y=kx+b=-2x+5,y2=x-k=x+2, 当x=2时，y=-2×2+5=1, 将2,1代入y=mx(m≠0)得m=2 1 当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mxm≠0)的值大于函数y,= 如图所示， y=x+2 y=mx Nv=-2x+5 ≤m≤1， 3. 【详解】(1)解：：函数y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=-2x平行， .k=-2,3=-2×-1+b, .b=1: (2)解：由(1)知y=kx+b=-2x+1,y=-x-k=-x+2, 在同一坐标系中画出y=一2x+1,y=-x+2的图象如下 9/12 上好每一堂课 -2x+5的值，且小于y2=x+2的值， 且经过点(-1,3)， 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x+2 --xV 当x=-1时，y=-2x+1=3, -5-4-3-2-19 2345x 2 3 -5 若y=mxm≠0经过-1,3)，则m=-3, 当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值小于函数y=-2x+1的值， 那么-3≤m≤-2， 当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值小于函数y=-x+2的值， 则-3≤m≤-1， :结合图象可得-3≤m≤-2. 题型二一次函数图像探究题 1. 【详解】(1)解：：1-x≠0， .x≠1. (2)解：令y=3,则 1+2=3, 1- 1 1-x =1, .1-x=1, x=0, .m=0; 令x=2,则y=1-2 1 2=-1+2=1, .n=1. (3)解：如图所示. 10/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 6 5 3 2 1 $432-9 12345 (4)解：函数y=-2x+3的图象如图所示， 由图可得：交点坐标为(0,3)， :方程，1+2=-2x+3的解为x=0或x= 1-x 2 2. 【详解】(1)解：把x=-3代入y=2x+2, 得y=2×(-3)+2=-4=4, 故m=4; 把x=-1代入y=2x+2, 得y=2×(-1+2=0=0, 故n=0; (2)解：作图如图： A 8 7 6 5 1---- 3 -7-6-5-4-3-2-10 123456x -2 3 11/12 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：由图可知函数图象关于直线x=-1对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知当x≥-1时，y=2x+2,y随x的增大而增大，故②正确； 由图可知当x=-1时，y取得最小值0，故③正确； 当y=4时，2x+2=4,解得x=1或x=-3,并非只有x=1,故④错误； 综上，正确的是①②③； (4)解：作图如图： 8 1=x+4 7 6 5 3 -6 -3-2 -10 1 2345 y=2x+2 x=2 当x≥-1时， y=x+4’ 解得 y=61 当x<-1时， y=-2x-2 x=-2 y=x+4 解得 y=2’ 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组的解为： x=-2 x=2 和 y=2 y=6 12/12