11.1 一次函数 课件 2025--2026学年 青岛版 八年级数学 下册

青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 第11章 一次函数 11.1 一次函数 * 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1、掌握一次函数、正比例函数的概念； 2、能根据条件求出一次函数的关系式； 3、.理解和掌握用待定系数法求一次函数的解析式，了解待定系数法的思维方式与特点; 4、 明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数的基本事实. 教学目标 * 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） (2)你能写出y与x之间的关系吗？ y=3+0.5x 情景一：某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表： 3 3.5 4 4.5 5 5.5 课程导入 x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 情景二：某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L. (1) 完成下表： 60 54 48 42 36 30 (2) 你能写出y与x的关系吗? y=60－0.12x 课程导入 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量y/L 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 上面的两个函数关系式: (1)y=3+0.5x (2) y=60－0.12x 一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0）的函数，叫作y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）特别地，当b=0时，一次函数y=kx，也称y是x的正比例函数. 大家讨论一下,这两个函数关系式有什么关系? 新知探究 对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加 k，函数值的变化是“均匀”的。 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx; (6)y＝8x2＋x(1－8x) 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． 新知探究 等号右边如果不是最简形式需要化简整理成最简 是正比例函数一定是一次函数，是一次函数不一定是正比例函数。 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.判断一个函数是一次函数的条件： 等号右边的代数式是整式， 自变量的最高次数是1， 一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 等号右边的代数式是整式， 自变量的最高次数是1， 一次项系数不为零； 常数项为零． 方法总结 一次函数 正比例函数 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系; 由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的一次函数,也是x的正比例函数. 由圆的面积公式，得y=πx2,y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数. （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系. 新知探究 （3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3. 这个水池1h增加5m3水，x h增加5x m3水，因而 y=15+5x, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例2：已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1. (1)若它是一次函数，求m的值； 解：(1) 因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数， 所以 m2－24＝1且m－5≠0， 所以 m＝±5且m≠5， 所以 m＝－5. 所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数． 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例2：已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1. (2)若它是正比例函数，求m的值． 新知探究 解：(2)因为 y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是正比例函数， 所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0. 所以 m＝±5且m≠5且m＝－1， 则这样的m不存在， 所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数． 【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1. 当b＝0时，一次函数为正比例函数． 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 已知函数y=(m-1)x+1-m2 （1）当m为何值时，这个函数是一次函数? 解：由题意可得 m-1≠0，解得m≠1. 即m≠1时，这个函数是一次函数. （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数? 解：由题意可得 m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1. 即m=-1时，这个函数是正比例函数. 变式训练 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例3：我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元. (1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式. 解: y=0.03×(x-3500) (3500<x<5000) 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例3：我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元. 新知探究 解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）. (2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？ 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例3：我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元. (3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？ 新知探究 解:设此人本月工资是x元，则 19.2=0.03×(x-3500), x=4140. 答:此人本月工资是4140元. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 函数解析式y=kx+b 满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2) 一次函数的图象直线l 前面我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何画出它的图象？ 思考： 反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？ 新知探究 选取 画出 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例4：已知某一次函数，当自变量x=4时，函数值у=5；当自变量x=5时，函数值y=2．求出该函数的表达式，并画出它的图象. 关键：根据已知条件确定表达式y=kx+b中的系数k和b的值. 因为当x=4时，y=5；当x=5时，y=2； 所以(4，5)与(5，2)这两点的坐标必适合解析式. 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例4：已知某一次函数，当自变量x=4时，函数值у=5；当自变量x=5时，函数值y=2．求出该函数的表达式，并画出它的图象. 新知探究 解：因为 y 是 x 的一次函数，所以设其表达式为 y = kx + b (k，b为常数，且b≠0) . 解方程组得 所以该函数的表达式为 y=－3x+17. 其图象如图所示. (4，5) (5，2) 4k+b=5， 5k+b=2. 由题意得， k=－3， b=17. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 给两点可以确定一次函数的解析式，一点可以吗？更多点呢？ 从几何角度来看： 一点不够，因为两点确定一条直线. 两个及以上都可以，但是两点足够. 从代数角度来看： 一次函数的解析式中含有k，b两个待定系数，因此需要两个点的坐标，列两个方程，即得二元一次方程组. 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例5：如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1），Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的解析式呢？ 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 因为P（0，-1） 和Q（1，1）都在该函数图象上， 因此它们的坐标应满足y=kx+b ， 将这两点坐标代入该式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组： 所以，这个一次函数的解析式为 y = 2x- 1. 新知探究 像这样，通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法. k·0 + b = -1， k + b = 1. ｛ ｛ 解这个方程组，得 k=2， b=-1. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 思考1 确定正比例函数解析式 y=kx（k≠0），需要求出几个值？需要知道几个条件？ 正比例函数解析式 y=kx（k≠0）中 x、y 代表自变量和函数值，只要求出 k 的值即可确定正比例函数解析式. 需要求出 k 的值，知道 1 个条件即可. 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 思考2 确定一次函数解析式 y=kx+b（k≠0），需要求出几个值？需要知道几个条件？ 一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中x、y代表自变量和函数值，只要求出k、b的值即可确定一次函数解析式. 需要求出 k、b 的值，知道 2 个条件即可. 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 设： 设一次函数的一般形式 ； y=kx+b(k≠0) 代： 将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的 方程组； 二元一次 解： 解二元一次方程组得k，b； 写： 把k，b代入所设解析式中，写出解析式. 归纳总结 1 2 3 4 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 通过前面的学习，我们知道了函数解析式和图象可以相互转化. 函数解析式y=kx+b 满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2) 一次函数的图象直线l 从数到形 从形到数 数形结合 归纳总结 选取 画出 选取 解出 数学的基本思想方法： 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 温度计是利用水银或酒精热胀冷缩的工作原理制作的，温度计中水银柱的高度y是温度x的一次函数. 某种型号的实验用水银温度计能测量-20℃至100℃的温度，已知10℃ 时水银柱高10厘米，50℃时水银柱高18厘米，求这个函数的表达式. 跟踪训练 解：设所求的函数表达式为y=kx+b(k≠0),根据题意得 10k+b=10 k=0.2 50k+b=18 b=8 所以，所求的函数表达式是：y=0.2x+8 解得 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.判断: (1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数. （ ） (2)y=80x+100 ，y是x的一次函数. （ ） (3)y=2x-2（x+3） ，y不是x的一次函数. （ ） √ √ 2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m 时，y是x的一次函数；当m 时，y时x的正比例函数. ≠2 =-2 当堂练习 √ 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3.已知函数y=(m-1)x｜m︱+1是一次函数，求m值； 4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值； 解：根据题意，得∣m∣=1, 解得m=±1， 但m-1≠0,即m≠1, 所以m=-1. 解：根据题意，得m2-9=0, 解得m=±3， 但m-3≠0,即m≠3, 所以m=-3. 当堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 5.已知一次函数的图象经过两点（1，4）、（ -1，0），求这个一次函数的解析式. 解：设这个一次函数解析式为 y=kx+b（k≠0） ∵一次函数图象经过两点（1，4）、（ -1，0 ） ∴ 这个一次函数解析式为 y=2x+2. 当堂练习 k+b=4 -k+b=0 ∴ k=2 b=2 解得： 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 6.已知一次函数图象经过点（2，3）和（-4，-9），求一次函数与 x 轴、y 轴的交点. 解：设这个一次函数解析式为y=kx+b（k≠0） ∵一次函数图象经过点（2，3）和（ -4，-9 ） ∴ 这个一次函数的解析式为 y=2x-1. 当堂练习 2k+b=3 -4k+b=-9 ∴ k=2 b=-1 解得： 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 7．为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5 t的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水量x t，自来水公司应收的水费为y元. （1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式. （2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费多少元？ 解:（1）当x≤5时，y＝2x； 当x>5时，y＝10＋（x－5）×2.6＝2.6x－3; （2）因为x＝8>5 所以y＝2.6×8－3=17.8（元）. 当堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 8、（1）已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2）,则k=______. （2）已知函数y=2x+b的图象经过点（a，7）和（-2，a），则这个函数的表达式为____________. 3 y=2x+5 当堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1、如图，△ABC是边长为x的等边三角形. （1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值. 解: (1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线，所以，BD=x/2.在Rt△ABD中，由勾股定理，得 能力提升 即 所以h是x的一次函数，且 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1、如图，△ABC是边长为x的等边三角形. （2）当h= 时，求x的值. 能力提升 解得x=2. （2）当h= 时，有 . 解: 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.如图，△ABC是边长为x的等边三角形. （3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？ 能力提升 （3）因为 即 所以，S不是x的一次函数. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 能力提升 2.若 y 关于 x-2 成正比例函数，当 x=4时，y=-4. 试求出 y关于 x 的函数解析式. 解：因为 y 关于 x-2 成正比例函数，所以设 y=k(x-2)(k≠0). 当 x=4 时，y=-4. 所以 -4=k(4-2)，即 2k=-4，解得：k=-2. 则函数解析式为：y =-2(x-2)=-2x+4. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3.若一直线与另一直线y=-3x+2交于y轴同一点，且过（2，-6）， 你能求出这条直线的解析式吗？ 答案：y=-4x+2 . 分析：直线y=-3x+2与y轴的交点为(0,2)，于是得知该直线过点(0,2)，(2，-6)，再用待定系数法求解即可. 能力提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 4.已知一次函数y=kx+b（k≠0）经过（2，-1）和（-3，4）两点，则它的图象不经过第几象限？ 解：∵ 一次函数经过（2，-1）、（ -3，4 ）两点 ∴ 这个一次函数的解析式为 y=-x+1. ∵ k=-1<0， b=1>0 ∴图象不经过第三象限 能力提升 2k+b=-1 -3k+b=4 ∴ k=-1 b=1 解得： 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 一次函数 形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数 待定系数法 形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数 一次函数 正比例函数 课堂小结 形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数 用待定系数法求一次函数解析式的步骤：设、代、解、写 * $