11.3一次函数与方程、不等式 第一课时 课件 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

第11章 一次函数 11.3一次函数与方程、不等式 第一课时 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1 1、理解一次函数与一元一次方程、不等式的关系； 2、根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，进一步发展数形结合的意识； 3、通过对一次函数与一元一次方程、不等式关系的探究，认识事物部分与整体的辩证统一关系. 教学目标 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 2 我们学习了平面直角坐标系，请同学们回顾一下：对点P(x，y)，当y=0、y>0、y<0时，点P位于坐标平面内什么位置？ y＞0 y = 0 y＜0 x y O ①当y=0时，点P在x轴上； ②当y＞0时，点P在x轴上方； ③当y＜0时，点P在x轴下方. 课程导入 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） (2) 当 y = 0 时 ，即 2x + 6 = 0 2x =－6 x =－3 解：(1) 2x + 6 = 0 2x =－ 6 x =－3 思考①：这两个问题有什么关系？ 从“函数值”的角度看： 求一元一次方程2x+6=0的解，可转化为求一次函数y=2x+6中y=0时x的值. 新知探究 例1 (1)解方程： 2x + 6 = 0； (2)已知一次函数 y = 2x + 6，x 取何值时，y = 0？ 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 思考②：方程2x+6=0的解(x=－3)与一次函数y=2x+6的图象又有什么关系？ 直线 y=2x +6 与 x 轴交点坐标为(___，___)，这说明方程 2x＋6＝0 的解是 x＝_____. -3 0 -3 从“函数图象”的角度看： 求一元一次方程2x+6=0的解，就是求直线y=2x+6与x轴交点的横坐标. 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式，因此： 求一元一次方程 kx + b = 0 的解 一次函数 y = kx + b中，y = 0 时 x 的值 求直线 y = kx + b与 x 轴交点的横坐标 从“函数图象”看 从“函数值”看 归纳整理 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.已知：一次函数y=0.8x-2与x轴的交点为（2.5，0），你能说出0.8x-2=0的解吗？ 2.已知：一次函数y=kx-5与x轴的交点为（3，0），那么你能说出kx-5=0的解吗？ 3.已知：关于x的一元一次方程mx+n=0的解是-3，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是_______. x=2.5 x=3 （-3，0） 跟踪练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 下面3个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？ (1)2x + 1 = 3；(2)2x + 1 = 0；(3)2x + 1 = -1 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 2x+1 = 3 的解 y = 2x + 1 2x+1 = 0 的解 2x+1 =－1 的解 ★从函数值看： 解这3个方程⟺一次函数y=2x+1，当y分别为3，0，－1时，求自变量x的值. ★从函数图象看： 在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3，0，－1的点的横坐标. 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 求一元一次方程 kx+b=0的解． 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y= kx+b 中，y=0时x的值． 从“函数值”看 求一元一次方程 kx+b=0的解． 求直线y= kx+b 与 x 轴交点的横 坐标． 从“函数图象”看 归纳整理 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 你能把得到的结论推广到一般情况吗？ 一般地，一元一次方程ax+b=c(a、b、c为常数，a≠0)的解就是当函数 的函数值为 时的自变量 的值. y=ax+b c x 归纳整理 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 归纳整理 二元一次方程与一次函数的区别 二元一次方程 一次函数 字母表示的意义 不同 字母表示未知数. 字母表示变量. 表示方法不同 只能用等式表示. 可以用表达式、表格和图 象表示. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例2 根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？ 2x+6>0，就是函数y=2x+6中函数值y>0. 直线y=2x+6在x轴上方时，它上面的点的纵坐标y>0. 故2x+6>0的解集为x>－3. 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？ 2x+6<0，就是函数y=2x+6中函数值y<0. 直线y=2x+6在x轴下方时，它上面的点的纵坐标y<0. 故2x+6<0的解集为x<－3. 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 任何一个一元一次不等式都可以转化为kx+b＞0或kx+b＜0(k，b为常数，且k≠0)的形式，因此： 求 kx + b＞0 (或＜0)(k ≠ 0)的解集 y = kx + b 的值大于(或小于) 0 时，x 的取值范围 确定直线 y = kx + b在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x取值范围 从“函数图象”看 从“函数值”看 归纳整理 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？ (1)3x + 2＞2；(2)3x + 2＜0；(3)3x + 2 ＜ -1 ★从函数值看： 解这3个不等式⟺在一次函数 y = 3x + 2的函数值分别大于2、小于0、小于－1时，求自变量 x 的取值范围. 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 3x + 2 y = 2 (1)3x + 2＞2；(2)3x + 2＜0；(3)3x + 2 ＜ -1 y = 0 y = -1 ★从函数图象看： 解这 3 个不等式⟺在直线 y = 3x + 2 上取纵坐标分别满足大于 2、小于 0、小于－1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件. y＞2 x＞0 y＜0   y＜-1 x＜-1 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 你能总结出利用图象求一元一次不等式kx+bc或kx+bc的解集方法吗？ 在同一直角坐标系中作出直线y= kx+b 和直线y=c； 直线y= kx+b在直线y=c下方的部分所对应的x的取值范围就是一元一次不等式kx+bc 的解集； 直线y= kx+b在直线y=c上方的部分所对应的x的取值范围就是一元一次不等式的解集. 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 画出函数 y = -3x + 6 的图象，并结合图象求： (1) 方程 -3x + 6 = 0 的解； (2) 不等式 -3x + 6＞0 和 -3x + 6＜0 的解集. 解：如图，画出函数у=－3x+6的图象. (1)由图象可知，图象与x轴交点的坐标为(2，0).所以，方程－3x+6=0的解为x =2. (2)由图象可知，y>0时x的取值范围是 x<2； y<0时x的取值范围是 x>2. 所以，不等式－3x+6>0的解集是 x<2； 不等式－3x+6<0的解集是 x>2. 跟踪练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 新知探究 利用一次函数图象解一元一次方程的步骤： (1) 转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2) 画图象：画出一次函数的图象； (3) 找交点：找出一次函数图象与x轴的交点的横坐标，即为一元一次方程的解. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 方程 kx+b=n (k≠0) 的解 ⇔ 函数 y=kx+b (k≠0) 中， y=n 时 x 的值. 方程 kx+b=n (k≠0) 的解 ⇔ 函数 y=kx+b (k≠0) 的图象与直线 y=n 的交点的横坐标. 拓展 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.已知一元一次方程 ax+b=0 的解为 x=4，则一次函数 y=ax+b的图象与 x 轴的交点坐标为 . 解：∵ 一元一次方程 ax+b=0 的解为 x=4 ∴ 当 x=4 时，一次函数 y=ax+b 的函数值为 0 ∴ 一次函数图象与 x 轴的交点坐标为（4，0） （4，0） 跟踪训练 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 2.已知一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为（-3，0），一元一次方程 kx+b=0 的解为 . 解：∵ 一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为（-3，0） ∴ 当 x=-3 时，一次函数 y=kx+b 的函数值为0，也即 kx+b=0 的解. x=-3 跟踪训练 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） y x O y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 直线 y1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2 的交点的横坐标即是方程 k1x+b1=k2x+b2的解；不等式 y1>y2（或 y1<y2）的解集就是直线 y1=k1x+b1 在直线 y2=k2x+b2上（或下）方部分对应的 x 的取值范围. 拓展 P 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3.请同学们观察一次函数y=2x+6和y=3的图象，你能说出2x+6=3的解和2x+6>3的解集吗？ y=2x+6 y=3 -1.5 1 2 3 -1 -2 -3 -4 1 3 4 5 7 O A(0,6) B(0,-3) 2 6 4 -1 x y x=-1.5, x＞-1.5 跟踪练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） A. x<2 B. x>2 C. x<1 D. x>1 D 跟踪训练   青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.根据下列一次函数的图象，直接写出一元一次不等式的解集.     x>-2 x<-2 y x O 1 -2   跟踪训练 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 2.函数 y=-x+3 的图象如图所示，请正确填写以下空格. （1）当x取 时，函数图象在 x 轴下方. （2）当x取 时，函数图象在 x 轴上方. x>3 x<3 y x O 3 3 y=-x+3 跟踪训练 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.已知函数 y=2x+3，当 x= 时，函数的值为 0； 当x 时，函数的值 ≥0；当 x 时，函数的值 <0.         跟踪练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例3 函数y=2x+6的图象如图，利用图象：若-1≤y≤3，求x的取值范围. 新知探究 由图象可得：函数图象过F(1.5，3)，G(-3.5，-1)两点， 当-3.5≤x≤-1.5时，函数y=2x+6的函数值满足-1≤y≤3， ∴x的取值范围是-3.5≤x≤-1.5. 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 例4 利用图象法解方程 6x-3 = x+2. 解：将方程 6x-3=x+2 变形为 5x-5=0， 画出函数 y=5x-5 的图象. 由图象可知：直线 y=5x-5 与 x 轴的交点为（1，0） 即 x=1 是方程的解. y x O 1 -5 新知探究 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.一次函数y=-x+2的图象如图，你能说出-x+2<0的解集吗？ x y 0 y=-x+2 2 x>2 随堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 2.一次函数y=kx+b的图象如图，你能说出kx+b<0的解集吗？ x y 0 y=kx+b -4 x < -4 随堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3.若一次函数 y=kx+b 的图象经过点（2，0）和（0，-3），则方程 kx+b=0 的解为（ ）. A. x=0 B. x=2 C. x=-3 D. 不能确定 B 随堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 4.一次函数 y=kx+b 的图象如图，则方程 kx+b=0 的解为 ，方程 kx+b=2 的解为 . 解析：∵直线 y=kx+b 与 x 轴的交点坐标是 (-1，0)，与 y 轴的交点坐标为(0，2)，即当y=0 时，x=-1；当 y=2 时，x=0. ∴方程 kx+b=0 的解是 x=-1，方程 kx+b=2 的解是 x=0. x=-1 x=0 随堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 5.画出函数y=3x一9的图象，并结合图象回答下列问题： (1)求方程3x－9=0的解； (2)求不等式3x－9≤0的解集； (3)当y=3时，求x的值； (4)当у>3时，求x的取值范围. O x y 1 2 3 4 5 6 -3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y3x－9 解：(1) x =3. (2) x ≤3. (3) x =4. (4) x >4. 随堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） C. x<-2 A D. x≤-2 A. x>-2 B. x≥-2 随堂练习   青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 7.用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10. 解:原不等式化为3x -6<0, 画出直线y = 3x -6(如图). 可以看出,当x<2 时这条直线上的点在x轴的下方, 即这时y = 3x -6 <0, 所以不等式的解集为x<2. y=3x-6 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -3 -4 -5 2 O -2 1 4 -6 x y 即5x+4 ＜2x +10的解集为x<2. 随堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 37 解：画出两个函数y=5x−1 和y=2x+5的图象． 由图象知，两直线交于点 (2，9)，所以原方程的解为 x=2． O y=5x−1 y=2x+5 9 2 x y 8．利用函数图象求x的值: 5x−1= 2x+5. 随堂练习 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 1.一次函数 y=kx+b 的图象如图所示,则方程 kx+b=1 的解为（ ）.   C 拓展提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 2.如图，已知直线 y=kx+b，求关于 x 的方程 kx-2=-b 的解. y x O 1 2 解：由图可知：一次函数 y=kx+b 经过点（1，2），也即当 x=1时，kx+b=2. 因为关于 x 的方程 kx-2=-b 可以化简为 kx+b=2，所以方程的解为 x=1. y=kx+b 拓展提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 3.画出函数 y=2x-1 的图象，利用图象求： （1）方程 2x-1=0 的解； （2）不等式 2x-1<0 的解集； （3）当 -1≤y≤1 时，x 的取值范围. 解析：（1）利用两点法画出函数图象； （2）函数图象在x轴下方区域对应的x的取值范围； （3）观察-1≤y≤1时，函数图象对应的x的取值范围. 拓展提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） y x O y=2x-1 A B 1 1   -1 拓展提升     青岛版 数学 八年级下册（2026年春） y x O y=2x-1 A B 1 1   -1 拓展提升   青岛版 数学 八年级下册（2026年春） （3）如图，过点（0，1）作x轴的平行线交直线y=2x-1于点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点D，则点D的坐标为（1，0）. 观察图象可知，当-1≤y≤1时，x的取值范围是0≤x≤1. y x O y=2x-1 A B 1 1   -1 C D 拓展提升 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） 一次函数与方程、不等式 关系 与一元一次不等式求解步骤 ①从“数”的角度； ②从“形”的角度. ①一元一次不等式看函数图象与x轴的交点； ②一元一次不等式组看两个函数图象交点横坐标. 与一元一次方程求解步骤 ①转化； ②画图象； ③找交点. 课堂小结 青岛版 数学 八年级下册（2026年春） $