精品解析：陕西省西安市未央区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025－2026学年第一学期九年级期末检测 数学试卷 （满分：120分 时长：120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记角的余弦值． 根据特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 2. 公园广场上有一处供游客休息的石凳如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，解题关键是理解俯视图就是从上面看物体所得到的图形．根据俯视图的定义和画法进行判断即可． 【详解】解：从上面看，可得俯视图为： 故选：D． 3. 若点A（a，b）在反比例函数的图像上，则代数式ab-4的值为（ ） A. 0 B. -2 C. 2 D. -6 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：∵点（a，b）反比例函数上， ∴b=，即ab=2， ∴原式=2-4=-2． 故选B． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 4. 已知平行四边形中，对角线、相交于O，则下列说法一定正确的是（ ） A. 当时，平行四边形为菱形 B. 当时，平行四边形为矩形 C. 当时，平行四边形为菱形 D. 当时，平行四边形为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题关键．根据对角线相等的平行四边形是矩形、一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、两条相邻的边互相垂直的平行四边形是矩形逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，平行四边形为矩形，则此项错误， 不符合题意； B、当时，平行四边形为菱形，则此项错误，不符合题意； C、当时，平行四边形为菱形，则此项正确，符合题意； D、当时，平行四边形为矩形，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得的长，再根据线段和差求解即可得． 【详解】解：∵图中两条直线被三条平行线所截，且，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；根据题意可得，且，计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：且， 故选：A． 7. 如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4， 连接OA， 根据垂径定理，得：BM=AB=3， 根据勾股定理，得：OA==5， 即⊙O的半径为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值． 8. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图像可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在到之间， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时，， 而当时，， ∴ ， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是， 故答案为：． 10. 如图，中，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，由可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是_______m． 【答案】12． 【解析】 【分析】根据“如果它的长减少2，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】设原菜地的长xm，则原菜地的宽是（x－2）m，根据面积是120m2， 可得：x（x－2）=120， 解得x=12或x=－10（不合题意舍去）， 所以x=12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系． 12. 如图，已知反比例函数的图象上有一点A，过点A作轴于点B，若的面积为，则此反比例函数的解析式为_______ 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查根据图形面积求反比例函数的值．根据反比例函数值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵双曲线在二、四象限， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由圆内接四边形的性质可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形内接于， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 14. 将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 三、解答题：本题共12小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：原式 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 解得． 17. 在平面直角坐标系中，设二次函数（为常数，且）．若时，求该二次函数图像与轴的交点坐标． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．将a的值代入题目中的函数解析式即可得到该函数的解析式，然后令并求得x的值，从而可以得到二次函数图像与x轴的交点． 【详解】解：将代入二次函数， 可得， 当时，可有， 解得， 所以，二次函数图像与x轴的交点坐标为，． 18. 如图，为矩形的对角线，点F是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂直平分线，相似三角形的判定，作的垂直平分线交与点E，交与点F，根据平行线的判定可知，即可得出． 【详解】解：如图所示，点E即为所求．（答案不唯一） 19. 如图，在菱形中，连接，点、分别是、上的点，连接，，，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定；根据菱形的性质可得，，，根据已知，得出，进而证明，根据全等三角形的对应边相等，即可得证． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 花钿（）是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，在唐代比较流行．王欣和张敏都是汉服妆造爱好者，两人买了四种不同的花钿（如图所示），由于每个花钿都很漂亮，一时不知道该选哪个来装扮，因此用抽卡片的方式来决定，将这四种花钿分别画在四张背面完全相同的不透明卡片上（卡片大小、形状、质地均相同），将背面朝上洗匀，王欣先从这四张卡片中随机选择一张不放回． （1）王欣选中的花钿恰好是的概率是______； （2）张敏将剩下的三张卡片洗匀后，再从这三张卡片中随机选择一张，请用列表或画树状图的方法求两人选择的花钿恰好是和的概率．（不分先后顺序） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可； （）画出树状图，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵一共有、、、四种花钿， ∴选中的花钿恰好是的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种， ∴两人选择的花钿恰好是和的概率． 21. 2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为的河床斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，求桥墩的高（结果保留1位小数）．（，，，） 【答案】桥墩AB的高约为72.4米． 【解析】 【分析】延长DC交AB于点E，利用直角三角形BCE计算出BE，利用直角三角形ADE计算出AE，从而AB可求． 【详解】解：如图所示，延长DC交AB于点E，则ED∥BM． ∴∠AED=∠ABM=90°，∠ECB=∠CBM=30°． 在中， ∵∠ECB =30°，BC=48米， ∴（米）． （米）． ∴（米）． 在中， ∵， ∴（米）． ∴（米）． 答：桥墩AB的高约为72.4米． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，熟知解直角三角形的方法和步骤是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证： （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及等角的补角相等， 根据题意得和，进一步可得即可； 由得，结合平行四边形的性质可得即可求得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，解得． 23. 2025年10月23日是二十四节气中的霜降，民间有霜降吃柿子的习俗，这是因为这时候的柿子皮薄肉鲜味美，营养价值高．某水果店在霜降之前以3.5元/千克的价格购进了一批柿子进行售卖．经市场调研发现，当柿子的售价为10元/千克时，平均每天可售出60千克，当每千克的售价每降低0.5元时，平均每天会多售出10千克．若该水果店想在霜降之前尽可能多地将这批柿子售出，并且平均每天售出柿子获得440元的利润，则应将柿子的售价定为多少？ 【答案】应将柿子的售价定为7.5元/千克 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——销售利润问题，设应将柿子的售价定为x元/千克，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设应将柿子的售价定为x元/千克， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵水果店想在霜降之前尽可能多地将这批柿子售出， ∴． 答：应将柿子的售价定为7.5元/千克． 24. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD=4，，求AB的长． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵OA=OC ∴∠OAC＝∠OCA ∵∠OAC＝∠DAC ∴∠DAC＝∠OCA ∵AD⊥CE ∴ ∴· 即 ∵C为⊙O上一点 ∴CE是 的切线· （2）9 【解析】 【分析】（1）连接OC．只要证明OC⊥DE即可解决问题； （2）证明△CDA∽△BCA，利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接 ． ∵AB是的直径， ， ， ∵∠BAC＝∠CAD ∴△CDA∽△BCA ∴ ∴AC= AB=． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键． 25. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】（1）抛物线的表达式为y＝ （2）石块不能飞越城墙 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的应用． （1）由抛物线的顶点坐标是可设石块运行的函数关系式为，把点C坐标代入即可解答； （2）由得到点D的横坐标为75，将代入函数，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，又，即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设石块运行的函数关系式为， ∵ ∴点C的坐标为， ∵抛物线过点， ∴，代入，得， 解得： ∴抛物线的表达式为， 即； 【小问2详解】 ∵， ∴点D的横坐标为75， 将代入函数，得， 即石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为， ∵，， ∴， ∴石块不能飞越城墙． 26. 【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键． （1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可求解； （2）根据题意得点的轨迹在以为直径的圆上部分，连接，交圆于点，此时的即为的最小，然后根据正方形的性质及勾股定理即可求解； （3）连接，根据题意得：，以为直径作圆Q，，得出点E在以为直径作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： 由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变， 可知此时最大， 最大值为， 故答案为：12； （2）根据题意得是定值，， ∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图， 连接，交圆于点， 此时的即为的最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）如图，连接， 根据题意得：， 以为直径作圆Q，， ∴点E在以为直径作圆Q上， 连接， 当点Q、E、C三点共线时，取得最小值， ∵，，． ∴，， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期九年级期末检测 数学试卷 （满分：120分 时长：120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 公园广场上有一处供游客休息的石凳如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若点A（a，b）在反比例函数的图像上，则代数式ab-4的值为（ ） A. 0 B. -2 C. 2 D. -6 4. 已知平行四边形中，对角线、相交于O，则下列说法一定正确的是（ ） A. 当时，平行四边形为菱形 B. 当时，平行四边形为矩形 C. 当时，平行四边形为菱形 D. 当时，平行四边形为正方形 5. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 7. 如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到抛物线的解析式是______． 10. 如图，中，若，，，则________． 11. 一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是_______m． 12. 如图，已知反比例函数的图象上有一点A，过点A作轴于点B，若的面积为，则此反比例函数的解析式为_______ 13. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，，则的度数为________． 14. 将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则________． 三、解答题：本题共12小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 在平面直角坐标系中，设二次函数（为常数，且）．若时，求该二次函数图像与轴的交点坐标． 18. 如图，为矩形的对角线，点F是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在菱形中，连接，点、分别是、上的点，连接，，，且．求证：． 20. 花钿（）是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，在唐代比较流行．王欣和张敏都是汉服妆造爱好者，两人买了四种不同的花钿（如图所示），由于每个花钿都很漂亮，一时不知道该选哪个来装扮，因此用抽卡片的方式来决定，将这四种花钿分别画在四张背面完全相同的不透明卡片上（卡片大小、形状、质地均相同），将背面朝上洗匀，王欣先从这四张卡片中随机选择一张不放回． （1）王欣选中的花钿恰好是的概率是______； （2）张敏将剩下的三张卡片洗匀后，再从这三张卡片中随机选择一张，请用列表或画树状图的方法求两人选择的花钿恰好是和的概率．（不分先后顺序） 21. 2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为的河床斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，求桥墩的高（结果保留1位小数）．（，，，） 22. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证： （2）若，，，求的长． 23. 2025年10月23日是二十四节气中的霜降，民间有霜降吃柿子的习俗，这是因为这时候的柿子皮薄肉鲜味美，营养价值高．某水果店在霜降之前以3.5元/千克的价格购进了一批柿子进行售卖．经市场调研发现，当柿子的售价为10元/千克时，平均每天可售出60千克，当每千克的售价每降低0.5元时，平均每天会多售出10千克．若该水果店想在霜降之前尽可能多地将这批柿子售出，并且平均每天售出柿子获得440元的利润，则应将柿子的售价定为多少？ 24. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD=4，，求AB的长． 25. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙． 26. 【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $