2025-2026学年高三上学期第二次诊断性模拟考试数学试题一

高2023级第二次教学质量诊断性模拟考试一 数学试题 第I卷 选择题 58分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,则 A. B. C. D. 2.命题:“,”的否定是 A., B., C., D., 3.已知等差数列的前n项和为,若,则 A.20 B.25 C.30 D.35 4.在平行四边形中,为的中点.记,则 A. B. C. D. 5.函数在上的图象可能是 A. B. C. D. 6.若点绕着坐标原点按逆时针方向旋转角到达点,则 A. B.0 C. D. 7.若正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 8.设椭圆的左、右焦点分别为,P是椭圆C上一点,若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P,且,则C的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设是互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,其中正确的命题是 A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 10.下列说法中正确的是 A.若,则 B.若,则 C.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后,标准差变大 D.基于小概率值的检验规则是:当时,我们就推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过 11.设数列的前n项和为,若数列满足对任意,均存在,使得,则称数列为T数列.下列命题中正确的有 A.若则为T数列 B.若(其中a为常数),则为T数列 C.若均为T数列,,则为等差数列 D.若为等差数列,则存在两个T数列,,使得 第II卷 非选择题 92分 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知复数z满足(其中i为虚数单位),则复数z的虚部为 . 13.已知的三个顶点都在球的球面上,且,若三棱锥的体积为,则球的表面积为 . 14.已知正数、满足,则的最小值为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知等比数列满足,且是与的等差中项. (1)求的通项公式; (2)若,求数列的前n项和. 16.(15分) 某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法,为了解两种宣传方法的宣传效果,该小组在人群中随机对84人进行了宣传(宣传前所有人均未了解过),其中42人采用宣传方法一,其余采用宣传方法二,宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现,采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”,采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”. (1)以频率估计概率,现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化(宣传前均未了解过),记宣传后“比较了解”的人数为,求的分布列和数学期望; (2)列出列联表,并依据的独立性检验,是否可以认为宣传效果与宣传方法有关? (3)若按照宣传方法进行分层抽样,从这84人中随机抽取14人,再从这14人中等可能依次抽取2人,求在第一次抽到“有点了解”的人的情况下,第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人的概率. 附:,. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(15分) 已知多面体ABCDEF如图所示,其中四边形ABCD为矩形,,平面ABCD. (1)求证:平面BCF; (2)若,点A到平面BDF的距离为,求的值. 18.(17分) 已知函数 (1)当,求的极值; (2)若,,求的取值范围; (3)若有两个极值点,求证: 19.(17分) 已知双曲线的焦距为,分别为其左、右焦点,为双曲线上任意一点,且的最小值是. (1)求双曲线的方程 (2)记双曲线的左、右顶点分别为,直线与的右支交于两点. (i)求实数的取值范围 (ii)若直线的斜率分别为,证明:是定值. 第1页,共2页 第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $高2023级第二次教学质量诊断性模拟考试一 数学试题参考答案 一.单选题 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 A C C A B C B A BC BD 题号 11 答案 ABD 二.多选题 题号 9 10 11 答案 BC BD ABD 三.填空题 12.2 13. 32π 3 14.2-2ln2 15.解：(1)设等比数列{an}的公比为g(q≠0)， 因为242是a,与a4-2的等差中项， 所以4a2=a1+(a3-2),所以8q=2g2,因为9≠0，所以9=4， 所以{a}的通项公式为a=22m (2)由(1)可得b.=3"10g2an=3"1g222m-1=(2n-13”, 则Sn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-13”,① 3S,=1×32+3×33+5×3+…+(2n-131,② ①-②得-2Sn=3+2×32+33+…+3”）-(2n-13m =3+2x32-301 13-(2m-小3=6-2m-2-3m. 则Sn=(n-131+3. 305 16.解：(1)依题意可得，采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解的概率为 4271 所以X~2引 P(X=2= 52 25 7 49 所以X的分布列为 第1页，共2页 X 0 1 2 4 20 25 P 49 49 49 510 则E(X)=2×2= 77 (2)由题意，2×2列联表如下： 了解程度 宣传方法 合计 有点了解 比较了解 方法一 12 30 42 方法二 24 18 42 合计 36 48 84 零假设H。:宣传效果与宣传方法无关 坠计算得2=84×12×18-30×24=726.635=X7 42×42×36×48 所以依据α=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立， 即可以认为宣传效果与宣传方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. (3》14人中，采用宣传方法一宜传且了解程度为有点了解的有7×2=2人， 42 采用宣传方法二宜传且了解程度为有点了解的有7×24=4人， 42 记事件A表示“第一次抽到有点了解的人”， 事件B表示“第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为有点了解'的人”， A-g9.所以P81=P_9_10 10 则r-2-房P川48-CCCC-9 P(A339 7 17.解：(1)因为∠FCD=∠FCB=90°，所以FC⊥CD,FC⊥CB, 又CDCB=C,CD,CBc平面ABCD,则FC⊥平面ABCD, 而AE⊥平面ABCD,所以FC∥AE, 又AE不在平面BCF内，FCc平面BCF,所以AE∥平面BCF, 因为ADIIBC,且AD不在平面BCF内，BCc平面BCF,所以AD∥平面BCF, 第1页，共2页 又ADO AE=A,AD,AEC平面ADE,故平面ADE∥平面BCF, 因为DEc平面ADE,故DEI∥平面BCF. (2)解法一：连结AF,如图所示， 设AB=a(a>0),BC=元，则BC=CF=Aa, AB BD=DF=aV+12,BF=√21a,在BDF中， B 以BF为底，则高h=,DF2- S.BDE=7v2a-a1+x VA-BDF=3 2 5 30 因为SAABD= ,V-AD= 2 31 -32 12a2, 庙等体税法待，，即a片a,解特5BA0 30 6 AB 解法二：由AB⊥AD,AE⊥面ABCD,以AB,AD,AE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设AB=1,BC=1(2>0), 则A0,0,0),B(1,0,0,D0,2,0,C(1,2,0),F(1,2,1), ZA 则BD=(-1,,0),BF=(0,2,入)， -x+λy=0 设面BDF的法向量i=(x,y,z,则 2y+2z=0 B [x=2 取y=1,则i=(a,l-,又B=,00,d=4B列。 5 z=-1 元V22+1+15 解得1=V5,即8C V3. AB 18.解：(1)当a=0,f(x)=xln(2x+),x>- ·f'()= 2x+n(2x+),f'0)=0, 2x+1 当x分0时，了<因单词還减。 当x∈(0，+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， :f(x)的极小值为fO)=0,无极大值； 第1页，共2页 (2)若x≥0，f(x)≥2x,即f(x)≥2x20, .a≥0（若a<0,取x=-a>0,则f(-a=0,而2x=-2a>0,不满足f(x≥2x), 由f9≥2x得c+a)ln(2x+1)≥2x,即n(2x+l)≥2x, x+a 记g()=ln(2x+1)-2x, x+a 则ga)=,22x+a0-2x-20r2+a2-a 2x+1(x+a)2(x+a)2(2x+1) 当a≥1时，g'(x)≥0，g(x)单调递增，g(x)≥g(0)=0,·f(x)≥2x, 当0<a<1时，x∈(0，√a-a2)时，g(x)<0,g(x)单调递减，则g()<g(0)=0, :f(x)<2x矛盾，当a=0时，fI)=ln3<2,矛盾，综上所述，a的取值范围为[山，+oo); (3)若F(x)=f(x)-2x有两个极值点x,x2, F'=2+a+1hn(2x+l)-2有两个零点x,, 2x+1 令2x+1=t,则方程F'(x=0等价于1-2a=tlnt-t有两个解， 不妨令x<x2,4=2x+1<52=2x2+1, 记h(t)=1ln1-t,则h')=lnt,令h(t)<0得0<t<1,令ht)>0得t>1, 则h()在(0,1)单调递减，(1，+∞)单调递增，.2>1>4>0， 要证x1+x2>0台4+12>2台2>2-4>1， 由h(t)在(1，+o∞)递增，只要证h(4)=h()>h(2-4), 令G()=h(t)-h(2-),(0<t<1),则G'(t)=h'(t)+h(2-)=ln(2t-t)<ln1=0, 则Gt)在(0,1)递减，G()>G(I)=0,.G()>0,即h(4)>h(2-t),h(t2)>h(2-),又h()在(1，+o∞)递 增，22-41∈(1，+0)，t2>2-4,即1+t2>2,x1+x2>0 19.解：(1)(1)设Px,y),F-c,0,Fc,0), 则PE=(-c-x,-y以，PE=(c-x,-y, 所以PF·PE=(-c-x)(c-x)+y2=x2+y2-c2, 医为P川在双面俊C上，所以号茶-山 第1页，共2页 所以r=:) 又因为y∈R,所以当y=0时，PF·PF,取得最小值，为-b2, 所以-b2=-1,因为b>0,所以b=1, 又因为焦距为2V5,所以c=√5，即c2=5, 由c2=a2+b2,和b2=1,可得a2=4, 所以双角线C的方程为聋-少-士 (2)(i)设Mx,),N(x2,y2, 2-4y=4得：(m2-4小y2+6my+5=0, x=my+3 由 由直线l与双曲线的右支交于M,N两点， △=36m2-4×m2-4×5>0 可得{m2-4≠0 5 hm-4<0 解得-2<m<2,所以m的取值范围是(-2,2)； 6m (ii)由(i)可得为+y2=- m44m2-4 5 将yy2乘以m得：my2=m m2-4 将出+为=- 6m 变形为 1 m2-4 m2-4 =-+,代入上式： 6m 则：my2=m5· -y+2-5 =-（y+y2) 6m 6 因为A-2,0),A2（2,0), 则直线4M的斜率=本2，直线4N的斜率人，=上 3-2 =出x2-2_(x2-2 因此：店x+2方⅓(+2列 第1页，共2页 将x=my+3,x2=my2+3代入上式，得： k=(my+3-2_片(my2+ k2y2(my+3+2)y2y+5) 5 =m业+y= 6+5+y m+5%-++5列 15 6-6为 1 =-5 所以=+2-(x-2=y(my+1.1 k少。(x+22(my+5)5 t3-2 即是定值， 来 第1页，共2页