精品解析：四川省绵阳外国语学校2025-2026学年高二上学期期末复习学卷（一）12.22

绵阳外国语学校高2024级高二上期末复习综合卷（一） 一、单选题 1. 已知，分别为椭圆的左、右焦点.过点的直线与相交于，两点，则的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用椭圆定义计算即可 【详解】的周长为. 故答案为：12 2. 已知数据的平均数为1，方差为0，则数据，的方差为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均数和方差的公式求解. 【详解】,的平均数为1，方差为0，， ，， ， ， 方差为 故选：B. 3. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线为，利用点求得，进而确定正确答案. 【详解】由题可设双曲线方程为且， 又在双曲线上，所以， 则双曲线的方程是，即． 故选：B． 4. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图像，可得答案. 【详解】由，则，由为的中点，则. 所以 . 故选：A. 5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，设椭圆与双曲线的离心率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，进而可判断各选项的正误. 【详解】设、，由已知可得， 所以，，则，即，变形可得， 故选：C. 6. 如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与互斥 C. D. 事件与相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】对A，根据容斥原理判断；对B，根据互斥定义判断；对C，由古典概型概率计算公式计算；对D，由相互独立的定义判断. 【详解】对于A：由可得，A正确； 对于B：由可知，事件与不互斥，B错误； 对于C：由图知，，所以，C错误； 对于D：因为， 所以，D错误； 故选：A. 7. 已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解. 【详解】由题在方向上的投影向量为. 故选：B 8. 已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 二、多选题 9. 某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验，其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目，已知该卫星连续7天内观测到的低轨行星数目分别为：9，13，12，12，14，10，14，则这组样本数据的（ ） A. 极差是5 B. 众数是12 C. 均值是12 D. 50%分位数是12.5 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据极差的定义分析判断，对于B，根据众数的定义分析判断，对于C，根据平均数的定义计算判断，对于D，根据百分位数的定义计算判断. 【详解】对于A，这7个数的极差为，所以A正确， 对于B，这7个数的众数为12和14，所以B错误， 对于C，这7个数的均值为，所以C正确， 对于D，这7个数从小到大排列依次为9，10，12，12，13，14，14， 因为，所以这组数的50%分位数是12，所以D错误. 故选：AC 10. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】CD 【解析】 【分析】由互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号, 记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 , 但是 选项A错误; 对于选项B，如果 , 那么 ，选项B错误; 对于选项C， 如果与互斥，那么 , 所以选项C正确; 对于选项D，如果与相互独立，那么 ，所以选项D正确。 故选：CD 11. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 若N为线段GH上的中点，则 B. 不存在点N，使得. C. 存在，，使得 D. 异面直线CE与BH所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间距离公式求解判断A；利用空间向量法证明线线垂直判断B；利用空间向量的线性坐标运算列式求解判断C；利用空间向量法求解异面直线夹角余弦值判断D. 【详解】在三棱锥中，平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A，由N为线段GH上的中点，则， 又，所以，正确； 对于B，由是线段上的动点，设，则，， 由，则不存在点，使得，正确； 对于C，由，得， 则，方程无解，因此不存在，，使得，错误； 对于D，，，则， 所以异面直线CE与BH所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由直线与平面平行得出直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用垂直向量数量积为0构造方程求解． 【详解】，是平面的一个法向量，是直线的一个方向向量， ， ，解得． 故答案为：2． 13. 已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型及事件的互斥性质进行求解． 【详解】记事件：摸出的是红球，事件 ：摸出的是白球，事件：摸出的是黑球，则 因为从口袋中有放回地摸球两次，两次摸球是相互独立的，两次摸出的球的颜色相同的事件可以表示为， 所以， 故答案为:. 14. 已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义结合已知条件可得的关系，再根据结合斜率的坐标表示可求解出的值. 【详解】如图所示，过作准线的垂线，垂足为，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 四、解答题 15. 某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； （2）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 【答案】（1），分位数为 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，结合分位数的性质进行求解即可； （2）先计算成绩在，内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得 【小问1详解】 因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 所以. 成绩小于分的占比，成绩小于分的占比， 所以参加挑战赛的学生成绩的分位数在小组中， 而，所以分位数为； 【小问2详解】 成绩在，内的人数分别为，． ． 设学生成绩在区间内的数据记为，，…，，学生成绩在内的数据记为，，…，，所以 . 16. 直线与直线垂直，且经过点. （1）求的方程； （2）若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； （3）若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂直可得斜率，利用点斜式可求直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案； （3）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把的坐标代入可求轨迹方程. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. 【小问2详解】 圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. 【小问3详解】 设线段MN中点的坐标为，，则，即 因为点在圆上运动，所以， 所以， 即，所以线段MN中点的轨迹方程为. 17. 甲、乙两人组成“监利一中队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“监利一中队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． （2）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“监利一中队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算可得； （2）利用计算可得. 【小问1详解】 设表示甲两轮猜对个成语的事件，表示乙两轮猜对个成语的事件．， 根据独立事件的性质，可得 ，， 设A=“两轮活动‘监利一中队’猜对3个成语”， 则，且与互斥，又甲乙的作答相互独立， 所以， 因此，“监利一中队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是． 【小问2详解】 “`监利一中队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号” ， 所以“监利一中队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率. 18. 如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 【答案】（1）由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面 ， 又平面 ，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面 ，平面 ，则， 而， ，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 又， ， ，， 则，，，，，， ，，， 设平面 的法向量为，则，令，得， 设平面 的法向量为，则，令 ，得， 因此， 所以平面 与平面 夹角的正弦值为. 【小问3详解】 设，依题意，， 即，，， 即，则， 由平面 ，得是平面 的一个法向量，于是， 即，解得，， 因此，所以. 19. 设，为双曲线的左、右顶点，的渐近线方程为，且经过点.直线与分别相交于，两点（异于点，）. （1）求双曲线的方程； （2）若直线经过点，且斜率为1，求的面积； （3）若轴，直线与直线相交于点，求点的轨迹方程. 【答案】（1）； （2）； （3）（且）. 【解析】 【分析】（1）由渐近线的方程结合双曲线的方程得到，将点代入双曲线，联立方程组求解； （2）求出直线的方程，设，，直线和双曲线联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到和，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离求出点到直线的距离为，利用三角形面积得到的面积. （3）写出和的坐标，设，，由轴得到的坐标， 由，，三点共线利用斜率相等建立等式，由，，三点共线利用斜率相等建立等式，这两个等式相乘得到一个等式，代入双曲线方程，从而得到. 【小问1详解】 由双曲线的渐近线方程为可知，，① 又经过点，所以，② 由①②解得，， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 易知直线的方程，设，， 由，整理得， 则，， 所以， 又点到直线的距离为， 故的面积 【小问3详解】 易知，， 设，，因为轴，所以， 因为，，三点共线，所以；① 因为，，三点共线，所以；② 由①×②，得， 又，所以， 所以，整理得， 当时，，此时，与矛盾，故， 故点的轨迹方程为（且）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳外国语学校高2024级高二上期末复习综合卷（一） 一、单选题 1. 已知，分别为椭圆的左、右焦点.过点的直线与相交于，两点，则的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 2. 已知数据的平均数为1，方差为0，则数据，的方差为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，设椭圆与双曲线的离心率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与互斥 C. D. 事件与相互独立 7. 已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验，其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目，已知该卫星连续7天内观测到的低轨行星数目分别为：9，13，12，12，14，10，14，则这组样本数据的（ ） A. 极差是5 B. 众数是12 C. 均值是12 D. 50%分位数是12.5 10. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 11. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 若N为线段GH上的中点，则 B. 不存在点N，使得. C. 存在，，使得 D. 异面直线CE与BH所成角的余弦值为 三、填空题 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则__________． 13. 已知一个口袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，这6个球除颜色外完全相同，先从这个口袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是_____________. 14. 已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 四、解答题 15. 某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； （2）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 16. 直线与直线垂直，且经过点. （1）求的方程； （2）若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； （3）若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 17. 甲、乙两人组成“监利一中队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求“监利一中队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． （2）若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“监利一中队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 18. 如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 19. 设，为双曲线的左、右顶点，的渐近线方程为，且经过点.直线与分别相交于，两点（异于点，）. （1）求双曲线的方程； （2）若直线经过点，且斜率为1，求的面积； （3）若轴，直线与直线相交于点，求点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $