重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高二上学期数学周练（十八）

周练18 命题人吴子轩审题人龚小花 一、单选题 1上数列时号号司是，的-个通项公式是a() A. 2n-3 B. 2n-1 C. 2n+1 D.2n+3 2n-1 2n+1 2n+3 2n+5 2.若两平行直线x+my+2=0与2x-4y+n=0(n>0)之间的距离是√5，则m+n=（) A.-2 B.-12 C.12 D.14 3.已知函数(x)的部分图象如图所示，则() A.f(3)<f'(4)<f(4)-f3) B.f(4)>f(4)-f(3)>f'3) C.f(4)<f3)<f(4)-f3) D.f4)-f3)<f(3)<f(4) 4.在等比数列{an}中，若4，a,是方程x2+5x+4=0的两个根，则a的值是（) A.2 B.-2 C.2 D.4 5.已知P为抛物线C:y2=-8x上的动点，F为C的焦点，点A(-4,2),则PF+PA的最小值为() A.4 B.5 C.6 D.7 6.若定义在(-∞，0)(0，+∞)上的函数f(x)的导数为f'(x),且满足：①f(x)为奇函数；②对任意的 xe(0,+∞)，都有寸'(x)-f(x)<0,则称函数f(x)具有性质P.已知函数f(x)具有性质P,则不等式 x-)<-山的解集为() x+1 A.(0,1) B.(0,1)U(1,+∞) C.（-∞，-2)U(0,1)U(1,+∞) D.（-0,-2)U(0,1) .x2,y2 7.如图，椭圆G。+尽a>b>0,双曲线与C:。。6,>0,6>0),G与C有类同的焦点， B,它们在第一象限的交点为P且co∠RPR=号，若C的离心率6= ,则C,的离心率e2=（) A.2N2 B.2 C.25 D.3 国国 8.已知定义域为R函数f(x)gx),满足f(x)-g(x)=2,f(x-)+g(5-x)=2,其中g'()是g(x)的 导函数，若g(x)为偶函数，则f()+(2)+f(3)+…+f(35)=（) A.74 B.72 C.70 D.68 二、多选题 9.已知函数(x)=2x-x,则下列说法正确的是（) A.f(x)在(-∞，0)上单调递增 B.f(x)的极大值为0 C.f(x)有三个零点 D.曲线y=∫(x)在x=1处的切线方程为4x-y+3=0 10.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产 物，只有失型的分形特征，共操作过据如下：将树区同Q小均分为三取，去掉中间的区间段们引记为 第1次操作：再将到下的两个区间0，行力分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2发 操作：“；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的 区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”若第”次操作去掉的区间长度记为 p(n),则() A写 p(n+1)2 p(n)3 c.ln[p(n]+1>0 D.p(n)+p(3n)>2o(2n 11.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的L0G0(如图所示)，设计师的灵感来 源于曲线c+ + =1(n>0,n∈R).当n=4,a=3,b=2时，下列结论中正确的是（) A.曲线C关于原点对称： B.曲线C所围成的封闭图形的面积小于24： C.曲线C上的点到原点O的距离的最大值为3： D.设MN5,0,直线x-y+V5=0交曲线C于P,2两点，则aP2M的周长大于12. 巴 三、填空题 B 12.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的弧BE的长为2π，DE=1,则矩形在圆 外部分的面积为一 13.已知函数f(x)=sin(x-l)+2,数列{a}为等比数列，an>0,且ao9=e, 利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，则f(血a)+∫(na2)+.+f(血ao)=一 14.若函数f()-号+（口-刂x-2血在定义域内有零点，则实最a的取值范围为 四、解答题 15.已知数列{an}的首项a=6,且满足a1+2m1=4an (1)求证：{a,-2”}是等比数列： (2)求数列{a,}的前n项和Sn 16.已知函数f(x)=x2-2alnx-2a(a∈R). (1)讨论f(x)的单调区间和极值. (2)若a>0,不等式f(x)>-2alna+e2的解集为(0，+∞)，求a的取值范围. I7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD,且PD=AD=4,E是PC的 中点，平面ABE与线段PD交于点F. (1)求证：AB/FE; (2)若CF=2√5，求直线BE与平面BCF所成角的正弦值. 餐巴日情全柱 18.已知函数f(x)= ae'+2x,x≤0 ae*-2xx>0'其中a>0. (1)当a=1时，求曲线y=(x)在点(1，f()处的切线方程. (2)若（x)有3个不同的零点，x,为(：<为2<)， )证明：0<a< ()若为，本，为成等差数列，求该数列的公差. 19.已知双曲线C过点B(4,3),且直线√3x-2y=0为其一条渐近线. M (1)求双曲线C的标准方程： (2)如图，由R作双曲线的切线交两条渐近线于M,N。,过M,N。分别作 两条渐近线的平行线交于点P,过P作直线MN。的平行线交两条渐近线于 M,N,过M1,N,分别作两条渐近线的平行线交于点P,重复以上操作，得到一串点列，R,P,·,Pn. ①求证：，R,,,Pn在一条直线上，并求该直线的方程： ②对任意n2l,设8，为aPM,N,的面积，S,的前n项和记为，求证：二+人+ -< T 9 器田王重庆市巴蜀中学2027届高二上数学周练（十八) 参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 x 5 6 7 答案 B C B D A c 【解析】 1.数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第n项的分子为2n-1,对应的分母为2n+1, 所以a.= 2n-1 2n+1 故选：B. 2.因为直线x+w+2=0与2x-4y+n=01>0)平行， 所以}”，即m=2 2-4 因为直线x-2y+2=0与直线2x-4y+n=001>0)的距离为V5, 所以 2 =√5，即n-4=10,解得n=14或n=-6<0(舍去)， V2+(-2)2 故m+n=-2+14=12. 故选：C. 3.根据题意，由f(x)的图象，函数f(x)在(1,3)上单调递减，在区间(3，+o)单调递增 f'(3)为f(x)在x=3处切线的斜率，则f'(3)=0；f'(4)为f(x)在x=4处切线的斜 率，则'(4)>0： 又有在区间3,4上为下凸函数，则(4>4)-f3(3)=0,即 4-3 f'(4)>f(4)-f(3)>'(3). 故选：B 4.由于4，a是方程x2+5x+4=0的两个根，故4,4，=4,4+a=-5, 因此4<0，a<0,从而4<0， 数学参考答案·第1页（共13页） ■■■■☐ 又{a}是等比数列，故4，=4=4,4=-2 故选：B 5.抛物线C:y2=-8x的准线方程为x=2. 设P到准线的距离为d,A到准线的距离为h, 则PF+PA=d+PA≥h=2-（-4)=6, 则P+PA的最小值为6. 故选：C A 6.设8)回，则当x>0时，g国)-矿f固国 x2 因为xf(x)-f(x)0,x2)0,所以g'(x)<0, 所以g(x)在(0，+o)上单调递减， 又fs)为奇函数，所以f(9=-fm,所以8=fD=f@=8, -x 所以g(x)在(-o,0)U(0,+o)上是偶函数， 所以8(x)在(-o,0)上单调递增， 当x-1>0时，即x>1时，有x2-1>0, 由fx-D<f,D可得fx-D<f-D x+1 x-1x2-1 所以x-1>x2-1,解得0<x<1,此时无解： 当x-1<0时，即x<1时，由fK-D<D可得-少，fx-D, x+1 x-1x2-1 所以x-1<x2-1,解得x>0或x<-2,所以0<x<1或x<-2, 数学参考答案·第2页（共13页） [x-1≠0 由不等式有意义可知{x2-1≠0，即x≠±1， x+1≠0 综上可得，不等式fx-D<,D的解集为(m,2U0,D. x+1 故选：D 7.设∠RPR=0,则m0=,故cos0= 5 a42-b2=c2 由题意，椭圆、双曲线半焦距为c,故 la+=c2' 在△PE中，令P=m,P引=n,则 m+n=2a,故 =4+a2 m-n=2a, n=4-a2 由余弦定理得：FF'=P'+PF-2 PFPF cos.∠RPF2, 4c2 =m2+n2-2mn cos0=2a2+2a2-2(a:-a2)cos0, 两边同除以2c2并整理得： 1-cos61+cos8=2, 把c0s6,6￥代入求得g=25, 3 故选：A. 8.由函数8(x)为偶函数，所以8(x)=8(-x),所以8(x)=-g'(-x), 可得g(x)是奇函数，所以g'(0)=0, 因为f(x)-8'(x)=2,所以f(0)-8'(0)=2,所以f(0)=2, 令z=5-x,可得x=5-z, 因为f(x-1)+8'(5-x)=2,可得f(4-2)+g'(z)=2, 用x代替二，可得f(4-x)+g(x)=2, 又因为f(x)-8(x)=2,两式相加得f(4-x)+f(x)=4, 令x=1,可得f(1)+f(3)=4;令x=2,可得f(2)+f(2)=4,所以f(2)=2, 因为f(4-x)+g(x)=2,用-x代换x,可得f(4+x)+g(-x)=2,即f(4+x)=2-8(-x), 又因为函数8(x)是奇函数，可得8'(-x)=-g(x) 由f(x)-8(x)=2,所以f(x)=2+8(x)=2-g'(-x)=f(x+4), 数学参考答案·第3页（共13页） 所以函数f(x)是周期为4的一个周期函数，则f(4)=f(0)=2, 所以f(1)+(2)+f(3)+f(4)=8, 则f(1)+f(2)+.+f(35)=8×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)门+f(1)+f(2)+f(3)=70 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 AB BD ABD 【解析】 9.函数f(x)=2x3-x2,f'(x)=6x2-2x=2x(3x-1), 由了()>0得x>或x<0,所以J)的单调蜡区间为(a,0)(行 A选项正确： 当x=0时，f(x)有极大值f(0)=0,B选项正确： 当写时，了)有授小值 1 27 ,又f(2)=12>0, 3 所以∫(x)的图象与x轴有两个交点，C选项错误： '(1)=4,f(1)=1,所以切线方程为y-1=4(x-1), 即4x-y-3=0,D选项错误. 故选：AB 10.设第n次操作前有4n条等长的线段，则第n+1次操作前，有a1条等长的线段， 因为每次操作之后，每段都变为2段， 所以a+1=2an，即{an}为公比为2的等比数列， 又4=1，所以a,=2-1, 设第n次操作每段去掉的区间长度为b,,则第n+1次操作每段去掉的区间长度为b+1, 因为每次操作去掉的每段区间长度都是前一次提作去掉的每段区何长度的；， 所以么m-,即和，}是以为公比的等比数列， 1 1 又么=3所以6，=， 数学参考答案·第4页（共13页） ■■■■☐ 環A:因为meN,且0回( 单调递减， 所以切≤故A错误： p(n+1) 2 选项B: 故B正确： o(n) 选项C:1 =nlh2-n2+1, 3 因为n<0,所以h[pm]+1=n子-h2+1单调递减， 又当=1时，n[p]+1=h?-h2+1=1-n3<0, 所以lnp(n]+1<0,故C错误； 达项D:创B训-2p(-)-2) --. 所以p(n)+p(3n)>2p(2n,故D正确. 故选：BD 11.曲线C: xy=1, 8116 对A:取曲线上点Nx,),则(-x,-)满足+二少-+广=1在曲线上， 81168116 故曲线C关于原点对称，正确： 对B:取x=0,y=±2，取y=0,x=3,故曲线在一个长为6，宽为4的矩形内部， 故其面积小于6×4=24，正确： 数学参考答案·第5页（共13页） 团C:改曲线一点为Mc少，则g+G1,设r=9os日 y2 4sin 0' M到原点的距离的平方为x2+y2=9cos8+4sim6=√97sim(0+p),9∈0,2， 、9 =4,当血(+9=1时，距离平方有最大值为V7,故距离的最大值为g7,错误； tan = 对D:对于曲线C:+=1和椭圆+少=1，设点(x,y)在+二=1上， 8116 9 4 8116 点(x,)在+二=1上，则≤1， 0 4 9 对对)啡引 1-+号-1引-号r-0,2.m以 81+6=1上，点)在号+平-1上，则上1， 设点(，)在+上 9 4 对对))=)】 所以x≥x,即≥， 故椭圆+上=1在曲线C:+=1内（除四个交点外），如图： 94 8116 设直线x-y+5=0交椭圆父+=1于A,B两点，交x轴于心5,0)， 94 M,V为椭圆二+少=1的两个焦点， 94 由椭圆的定义可知：|AN|+|AM=2a=6,|BW|+|BM=2a=6, 所以△ABM的周长为12，由图可知，△PQM的周长大于12，正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 数学参考答案·第6页（共13页） 题号 12 13 14 答案 20-4π 4034 3 e 【解析】 12.设圆4的半径为r,由题有BE=亚1=2π，解得r=4, 又DB=1,所以AD=5,又点a在圆上，∠ABC-分，则AB==4 所以矩形ABCD的面积为S=4×5=20, 又扇形B4B的面积为S=1B亚=)×4×2=4抓，所以矩形在圆外部分的面积为20-4m, 1 2 故答案为：20-4π 13.令f(n4)+f(ha2)+.+f(nao17)=S① 则也有f(hao17)+f(hao16)+..+f(hna)+f(na)=S② 由f(x)+f(2-x)=sin(x-1)+2+sin(1-x)+2=4, aao17=a4og=e2,即有lna+lnao17=lne2=2, 可得：f(na2o1z)+f(na)=f(lnao16)+f(na☑2)=..=4， 于是由①②两式相加得2S=2017×4, 所以S=4034. 故答案为：4034. 14.函数的定义域为(0，+o) 令f)-+a-x-2hr=0→二+m-hx=rt 三ea-hx+m-lnx=nx+x, 令m-nx=t,于是有e+t=lnx+x→e+t=ex+lnx, 设函数F(s)=e+s→F'(s)=e+1>0,因此函数F(s)是实数集上的增函数， 所以由e+t=ex+nx→F(t)=F(lnx)→t=lnx, 由-nx=t→ar-lnx=lnx→=2nx, 当x∈(0，+0)时，由m=2nx→a=2nx 设g国)=26>0)→g)-20-h型， x2 数学参考答案·第7页（共13页） ■■■■■■口 当x∈(0，e)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(e,+o)时，g'(x)<0,8(x)单调递减， 风此808e)名且g0-0,当x>1时，8(>0，当0<x<1时，8(<0， 函数f-气+口-小x-2hx在定义减内有零点， 转化为函数g(x)在x∈(0，+o)时，与直线y=a有交点，如下图所示： 根据数形结合思想可知：当a≤二时，函数8(x)在x∈(0，+o)时，总与直线y=a有交点， e 2 所以实数a的取值范围为 -00,一 e y=g(x) e y=a 故答案为： 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.解：(1)(1)因a1+2*1=4a,则a1-2H=4a。-2+2=4(a。-2“）, 又4-2=4，所以4-2”>0， 从而21 。一24，则红-2号是以4为首项，公比为4的等比数列 （2)由(1)可得：4-2”=4”→0=2”+4” 则Sn=a1+a2+…+an=(2+4)+(22+42)+…+(2”+4"） =-*+24+f++2肾周 1-4 -21-2+4”-4-4+2-10 3-3=3 16.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， M()=2x-2a_2(x'-a) xx (i)当a≤0时，f"(x)>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增，无极值. (i)当a>0时，令f"(x)<0,得0<x<√a, 数学参考答案·第8页（共13页） 令f"(x)>0,得x>√a ∴f(x)在(0，√a)上单调递减，在(Wa,+o)上单调递增， ∴.f(x)在x=√a处取得极小值 f(Ja)=a-2ama-2a=-a-alna, 综上，当α≤0时，f()在(0，+o)上单调递增，无极值 当a>0时，fx)在(0，√@上单调递减，在(Wa,+o)上单调递增， 极小值为-a-alna,无极大值 (2):f(x)的定义域为(0，+)， ∴.f(x)>-2alna+e2在(0，+o)恒成立， a>0,由(1)知f(x)在(0，√a)单调递减，在(a,+o)单调递增， .f(x)mm=-a-aha,所以-a-ana>-2ana+e2即a-ana+e2<0 ①当0<a<1时，不等式a-ana+e2<0不成立，不符合题意： ②当a>1时，设g(x)=x-xlnx+e2(x>1),则g'(x)=-nx<0,所以g(x)在(L,+)单调递减， 又：g(e2)=0, ∴a-ana+e2<0等价于g(a)<g(e2), .a>e2: 综上，a的取值范围是a>e2. 17.解：(1)在矩形ABCD中，ABIIDC, 又ABa平面DCP,DCC平面DCP, 所以AB∥平面DCP, 又因为ABC平面ABE,且平面ABEO平面DCP=FE, 所以AB∥FE (2)由(1)可知FE/DC, 又因为E是PC的中点，所以F是PD的中点， 因为PD⊥平面ABCD,AD,DCC平面ABCD, 所以PD⊥AD,PD L DC 因为CF=2√5，DF=2,即VCD2+DF2=2√5，故CD=4. 又在矩形ABCD中，AD⊥CD, 所以DA,DC,DP两两垂直. 如图以D为坐标原点，以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-z, 数学参考答案·第9页（共13页） 则B(4,4,0),C(0,4,0),P(0,0,4),E(0,2,2),F(0,0,2), 所以BE=（-4,-2,2),BF=(-4,-4,2),BC=(（-4,0,0), 设平面BCF的一个法向量为1=(x,y,z). BF.=0 「-4x-4y+2z=0 由 ,得 BC.n=0 -4x=0 令y=1,得n=(0,1,2), 设直线BE与平面BCF所成角为0， BE.n 则sin0= cos(BE,i〉 2V30 BE园2W6×V530 故直线BE与平面BCP所成角的正弦值为y30 30 e+2x,x≤0 18.解：(1)当a=1时，f(x)= e*-2x,x>01 当x>0时，f'"(x)=e-2,所以'()=e-2. 又f(1)=e-2, 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=(e-2)(x-1)+e-2,即y=(e-2)x, (2)(i)当x≤0时，f(x)=ae+2x单调递增，且f(0)=a. 当x>0时，f(x)=ae-2, 若a22,因为e>1,所以f'"(x)>0, 即f(x)在(0，+o)上单调递增，且ae°-2×0=a, 从而f(x)在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意， 若0<a<2,令f"()=0,可得x=n2 a 数学参考答案·第10页（共13页）