精品解析：上海宝山区世外学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

上海宝山区世外学校高中(国内部) 2025-2026 学年第一学期 高一 期末评估 数学 试卷 满分:150 分 时间:120 分钟 班级:_____ 学号:_____ 姓名:_____ 注意事项: 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题(共 12 题，第 1 分 答明函 4 分，第 7 ~12 题每题 5 分，满分 54 分) 1. 已知集合，，则＝______. 【答案】 【解析】 【分析】利用并集的意义求解即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 2. 已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】圆心角转换为弧度制，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】因为，所以扇形面积. 故答案为：. 3. 已知，，且，则xy的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，，且，得， 当且仅当取等号，所以xy的最大值为1. 故答案为：1 4. 已知，且，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】求出，利用换底公式化简即可求出. 【详解】因为，所以， 当时，，不符合题意；故且， 所以，则. 故答案为： 5. 函数 的图像恒过定点_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算性质，即可得到定点. 【详解】令，解得, 则, 所以函数图像恒过定点. 故答案为：. 6. 若幂函数为偶函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的定义得，解出，并根据为偶函数，进行检验，得到的值. 【详解】因为为幂函数，则，解得或. 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，所以. 故答案为：. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 【答案】 【解析】 【分析】当时，，求出，再根据奇函数的定义求出. 【详解】当时，， 则当时，，有， 因为是定义域为的奇函数，所以， 故 在时的解析式是. 故答案为： 8. 化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 9. 已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，再将不等式有解转化为最值问题即可. 【详解】关于的不等式在区间有解， 则，使得不等式成立，即， 令，则， 令，函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 10. 已知函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列出关于的不等式组求解即可. 【详解】因为函数是上的严格减函数， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 11. 设函数.若关于x的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有，然后利用函数单调性求解范围即可． 【详解】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 可得， 因为，可得，即，所以， 由图可知点、关于直线对称，则， 可得，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 则，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 12. 在锐角中，若，则的最小值是________ 【答案】8 【解析】 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，于是得到，再利用基本不等式即可推得，从而得到的最小值. 【详解】由，得， 因为为锐角三角形，所以均大于0， 所以， 又 ， 所以， 解得，当且仅当，即，即时取等号，解得或， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 二、选择题(共 4 题， 第 13、14 题每题 4 分， 第 15、16 题每题 5 分， 满分 18 分) 13. 下列表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，则它们是同一函数，对选项逐一判断即可． 【详解】对于A，定义域为，定义域为，定义域不同，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为，定义域不同，故B错误； 对于C，定义域为，定义域为，且，故C正确； 对于D，定义域为，定义域为，定义域不同，故D错误； 故选：C． 14. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等关系结合充分与必要条件判断即可. 【详解】当时，满足，但是此时； 当，满足，但此时； 故“是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 15. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先由奇偶性求得在上的解析式，把不等式转化为等价不等式组，结合指数函数单调性，求解不等式组的解集即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，且当时，， 当时，，可得，所以， 又因为为上的奇函数，则， 则可转化为或，解得或， 故不等式的解集为. 故选：C. 16. 如图，等边的边长为4，把的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为的一段，然后分别以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为，则该圆弧六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式列出方程求参数值，再由扇形的面积公式计算即可得. 【详解】由题意，圆弧六边形的面积， 圆弧六边形的周长，即， 所以. 故选：A 三、解答题(共 5 题， 满分 78 分) 17. 已知. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系即可求解， （2）根据同角关系以及正弦的差角公式即可求解. 【小问1详解】 由于故 因此 【小问2详解】 由于则，结合，故 ， 故 ， 由于则， 故， 18. 已知集合，集合 . （1）若，全集，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 时，，故或， ， 故或； 【小问2详解】 命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的值； （2）判断函数的单调性，并加以证明. 【答案】（1） （2）函数在上单调递减，证明如下： 设， 则， 因为指数函数在上单调递增，且，，即， 又，，即， 故函数在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据定义域为R的奇函数满足求出的值，再验证即可； （2）利用函数单调性的定义可证得结果. 【小问1详解】 由题意得，函数的定义域为，又函数为奇函数，， ，解得. 当时，，， ，所以当时，函数为奇函数. 综上，的值为. 【小问2详解】 函数在上单调递减，理由略. 20. 已知函数 . （1）当时，解不等式； （2）求在上的最小值； （3）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可； （2）利用对称轴分为三类区间来讨论二次函数的单调性，然后求出最小值； （3）利用分离参变量思想，构造对勾函数来判断单调性求最大值，即可求解参数的范围. 【小问1详解】 当时，， 则，解得：或， 即不等式的解集为：； 【小问2详解】 因为二次函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上可得：； 【小问3详解】 由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则，令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 21. 著名的布劳威尔(Brouwer)不动点定理是代数拓扑的早期成就之一，也是泛函分析中广泛使用的一个重要结果，它可应用到欧式(Euclid)空间，并推广至巴拿赫(Banach)空间、希尔伯特(Hilbert)空间，研究空间结构的连续映射特性，简单来说就是对于函数，若存在使得，我们称为函数的一个一阶不动点；进一步地，若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点.其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点. （1）若，求的不动点； （2）已知函数在定义域内严格递增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）若函数，记全体不动点构成的集合为，全体稳定点构成的集合为，要使，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）充分性：若为函数的不动点，则， 所以，所以是函数的稳定点； 必要性：若是函数的稳定点，则， 假设，则， 若，由函数在定义域内严格递增，有， 又，与矛盾； 同理，也不成立. 综上，假设不成立，即，所以，必要性成立. 所以“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义，构造函数，利用导数判断其单调性，结合即可得解； （2）根据不动点定义证明充分性，根据稳定点定义，结合单调性，利用反证法证明必要性； （3）构造函数和，将因式分解为，将问题转化为方程存在不满足方程的根，利用判别式求解可得. 【小问1详解】 由不动点的定义可知，求函数的不动点，即求的根， 记，则转化为求函数的零点. ，， 令，解得，在上单调递增； 令，解得，在上单调递减. 所以函数最多有两个零点， 又，所以的零点为，， 即函数的不动点为，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若为函数的不动点，则， 所以，所以是函数的稳定点. 即的不动点必是其稳定点，即是的子集. 令，则的不动点为的根， 记， 令，则的稳定点为的根， 记 要使，则存在不满足方程的根. 记的判别式为，两根为， 方程的判别式为，两根为， 当时，，此时，不满足题意； 当时，两个方程的根必然不全相同，满足题意， 解得或， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海宝山区世外学校高中(国内部) 2025-2026 学年第一学期 高一 期末评估 数学 试卷 满分:150 分 时间:120 分钟 班级:_____ 学号:_____ 姓名:_____ 注意事项: 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题(共 12 题，第 1 分 答明函 4 分，第 7 ~12 题每题 5 分，满分 54 分) 1. 已知集合，，则＝______. 2. 已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为______________． 3. 已知，，且，则xy的最大值为______. 4. 已知，且，则 _____. 5. 函数 的图像恒过定点_____. 6. 若幂函数为偶函数，则__________. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 8. 化简：______. 9. 已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为___________. 10. 已知函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是_____. 11. 设函数.若关于x的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是_______． 12. 在锐角中，若，则的最小值是________ 二、选择题(共 4 题， 第 13、14 题每题 4 分， 第 15、16 题每题 5 分， 满分 18 分) 13. 下列表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 14. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，等边的边长为4，把的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为的一段，然后分别以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为，则该圆弧六边形的面积为（ ） A. B. C. D. 三、解答题(共 5 题， 满分 78 分) 17. 已知. （1）求； （2）求. 18. 已知集合，集合 . （1）若，全集，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的值； （2）判断函数的单调性，并加以证明. 20. 已知函数 . （1）当时，解不等式； （2）求在上的最小值； （3）若时，恒成立，求实数的取值范围. 21. 著名的布劳威尔(Brouwer)不动点定理是代数拓扑的早期成就之一，也是泛函分析中广泛使用的一个重要结果，它可应用到欧式(Euclid)空间，并推广至巴拿赫(Banach)空间、希尔伯特(Hilbert)空间，研究空间结构的连续映射特性，简单来说就是对于函数，若存在使得，我们称为函数的一个一阶不动点；进一步地，若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点.其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点. （1）若，求的不动点； （2）已知函数在定义域内严格递增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）若函数，记全体不动点构成的集合为，全体稳定点构成的集合为，要使，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $