云南省曲靖市第一中学2026届高三上学期期末考试数学试题

数学参考答案 一、单项选泽题： 1.A【详解】依题意，a=2,c=√4+32=6，因为P=6<a+c=8,所以P在双曲线的左支上， 所以PF-P=2a=4,故PFl=4+6=10 6=xx=‘阳0≠u乐F的85'‘0=F田0=示【翅】d 因为AsB,故A={1}或A={3},此时m=3或1，所以m∈0,1,3}，故真子集个数为23-1=7 3.C【详解】由题意，得i=1+i)2-3i)5-i,故z=5-1-5i,所以H=P+5=V26. [2x-4<02-4>0 4.B【详解】因为函数f(x)的定义域为(0,3)，由(2-4)f(x)<0可得 )>0或行x)<0, 结合图形可得 <r3或ct<3 0<x<2 0<<1,解得1<x<2,不等式(2-4)fx)<0的解集为，2). 5.A【详解】由函数的最小正周期T满足兰<T<,得<行<，解得2<<3， 3 0 又因为函数图像关于点（经]对称，所以经®+子-e乙，且6=2，所以。=言ez,则a=子 -m2,所以m+-2 6.C【详解】由题知：圆C:x2+y2=4,圆心C(0,0),半径1=2；圆C2:(x-2)+(y-2)2=4,圆心C2(2,2), 半径2=2，易证得-<CC<片+？，故两圆相交，则其公共弦的方程为 x2+y2-4-(x-2)+0-2}°-4=4x+4y-8=0,即x+y-2=0,即有a+b=2, 则异轻+动a吾会- 当且仅当宁分即a-多b=号时等号成立，即后六的最小值为 7.A【详解】由于2nr=lnr2,故令t=x2,即t=nt+a有解，等价于a=t-lt,t>0有解， 令0=110，k)=1-t0,所以1>1时，k)>0k0单增：0<1<1时，k)<0k@)单减， 所以k(t)=k(I)=1,故a≥k(t)=1. 8.D【详解】设{a}的公差为d,因为4=2,4+4=10，所以 41=2 2a+6d=10’解得d=1, 所以a=2+(u-1x1=n+1,得么=20=2边+2，化得=-会+1且号-1， 所以 }是首项为1公差为1的等差数列，会1+1-m,得6n2, 所以S,=1×2+2×22+3×23++n×2”,2Sn=1×22+2×23+3×24++n×2+1, 两式相减得，-S。=2+22+2+…+2”-n×21=-S= 2(1-2" -n×2+1=（1-n)2+1-2, 1-2 所以Sn=(n-1)21+2 二、多项选择题： 9.ABD【详解】由已知得C的焦点F(2,O),准线方程为x=-2,A正确： 当1的斜率不存在时，A(2,4),B(2,4),AFBF=16,其中AF=4, 当1的斜率存在时，设其方程为y=k(x-2), 与抛物线方程联立，得t4(公+2+=0，则+=41+是)，=4， 2 由抛物线定义知，AF=x+2,BF=x,+2,若AF=8,则x=6,B正确： hB-+2(++4=8=81+)>16,所以4B的最小值为16，C错误： 由OA.0B=xx2+yw2=4+k2,-2)(2-2)=4+[xx,-2(化+x)+4=-12<0,得∠A0B为钝角，D正确. 10.AD【详解1已知asC分，因为c是三角形内角，即0<Cs,符：mC=cC写 余弦定理AB2=4C:+BC2-2AC-BC-c0sC=了+1P-2×5x1x)=25+1-5=21,所以AB=2 根妮正弦定晖9他，可得加A:cC. AB 14 ,所以A选项正确。 <4℃，根据大边达大角画知A<B,又因为smA:←且A是至角形内角，所以 那么B>4,同时B=R-4-C>t石号分，所以B选项错误。 根据三角形面积公式)4 C.BC.sinc-×5x1x5_55±，所以C选项错误 2 242 根据正弦定理-2R(为△4C外接圆半径)，可得外接圆直径R-品-3，所以D选项正确 sinC 11.AB【详解】对于A,正△ABC中，因为D为棱AB的中点，所以CD⊥AB,CD=√3， 因为正三棱柱ABC-AB,C1中，侧棱AA⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以AA⊥CD AA∩AB=A,AA,ABC平面ABBA,所以CD⊥平面ABB,A. 1 因为CDc平面CDE,所以平面CDE⊥平面ABB,A.所以A正确， 对于B,四面体ACDE中，DE⊥底面ABC 因为CD1AB,所以AMDC是直角三角形，所以其外接圆半径为r=4C-1. 所以四面体ACDE的外接球半径R DE 2 V1 2 外接球的表面积为4πR2=13π.所以B正确 2 , 对于C,因为侧棱AA⊥平面ABC,DE⊥底面ABC,所以AA平行于DE 因为D∈平面ABB,A,AAC平面ABB,A,所以E∈平面ABB,A.所以平面ABB,A⌒平面CDE=DE 若直线CE与直线A,B,相交，记交点为M,则MEDE,又CEDE=E,直线CE与DE有两个公共点， 所以重合，显然不成立，所以直线CE与直线AB不相交.所以C错误： 对于D,如图，记DEOA,B,=F,连接CF,交CE于点H连接AE,交AB,于点G,连接GH 四面体ACDE与正三棱柱ABC-AB,C的公共部分为三棱台FG-DAC 因为DB EF DE-DF1 V-HOH =VB-DAC -27X3X2XADX DCx DE=V3 DE 3 54 所以VaH-D4c= -135 27 27 四面体ACDB与正三棱柱ABC-A4BC的公共部分的体积为135故D错误 27 三、填空题： 12.3【详1由邀应，-与矿-g56-示-2al补45-示明网昌5-云5 af--m6F-244 +t8=后-2书°+怀=63-1+-i=6-1+9, 故当t=1时，a-矿的最小值为9，故a-最小值为3 13.5【详解】小球在下落的过程中，共10次等可能的向左或向右落下，则小球落入底部的格子号码 服从二项分布，且落入格子的号码即向右次数，即X~A0》所以 0x==c-c目 由二项式系数的对称性可知当k=5时，C。最大，即P(X=k)最大，所以k。=5.· 14.√2【详解】对于y=e+x,当x=0时y=1,又y'=e+1,所以yl-o=2,切线斜率为k=2,切点为(0,1)： 则曲线)=6+x在x=0处的切线为y=2+l,令g=h6+a,则g(e)a设切点(.血(6+@， 1 =2 x=1-h2 了o+a 解得 2 2+n2 则。=e2=e=V5 n(x+a)=2x。+1 a= 2 四、解答题： 15.【详解】(1)零假设H,:这次成绩是否优秀与性别无关1分 根据表中数据，计算得到x.50X20X5-15x10)-0397<2706,3分 35×15×30×20 根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H成立， 所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.5分 (2)X的可能取值0,1,2… 6分 P(X=0)= C27:Px=2)=c21 .10分 X的分布列为： 0 1 P(X) 3-7 10 21 2 X的数学期望E(X)=0×+1×1 7 +2x2 21 213 13分 16.【详解】（1)当n=1时，S=4=2a+1,解得4=-1； 1分 当n≥2时，由Sn=2a。+2n-1,可得Sn-1=2a-1+21-3, 两式相减得4=2an-2a1+2,所以a.-2=2(a-1-2), )5分 又因为4-2=-3，所以数列0-2号是首项为-3，公比为2的等比数列.7分 (2)由(1)可知a-2=-3x2,即a=2-3x2,则b=2-3x2m是奇数 2,n是偶数 9分 设数列{b}的前n项和为Ta,所以Tn=b+b2+b++bm=(亿+b+b++b2-1)+(亿，+b,+b。++bn） =(2-3×2°+2-3×22+2-3×2+.+2-3×22m-2)+(2+4+6++2) 29（1-2）n(2+20=r+3+1-4… =2n-3x 15分 1-4 2 17.【详解】(1)在正方形ADEF中，ED⊥AD, 平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,EDC平面ADEF,所以ED⊥平面ABCD,又 BCC平面ABCD,则ED⊥BC,在直角梯形ABCD中，AB=AD=1,CD=2,得BC=√2， 在△BCD中，BD=BC=√2，CD=2,BD2+BC2=CD2,则BC⊥BD, :ED∩BD=D,ED,BDC平面BDE, BC⊥平面BDB; (2)以D为原点，DA,DC,DE分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角 坐标系，因为AB=AD=1,CD=2,根据正方形ADEF得DE=1, 所以D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,0,1), 设平面BCE的一个法向量为m=(x,y,z),且EC=(0,2,-1),BC=(1,1,0), 所以 C.0卿2-=0 mEC=0 {-x+y=0,取y=1,则m=(41,2), …….11分 费cn与平面c所成角为，前反-Q20.则审u小o匹叶时店普 DC-m 26 所以CD与平面BBC所成角的正弦值为 .15分 6 18.【详解】（1)根据题意可得|MR|+|ME,=2a=8,所以a=4, 又e分所以2B,所以=G-16卫2=4,3分 所以c的方程为名苦1： 4分 (2)(i)设直线MN的方程为y=+b,点M(5,,w,》,则n-。产女-=。兰。 x,-8x-8 x2-8X2-8’ 因为∠M0=∠N0,所以ko+ko=上。+.。=0， x-8x2-8 整理得x2-8)+y,(x-8)=0,即(x+b)(x-8)+(,+b)(-8)=0, 化简并整理得：2x2+(亿-8k)3+)16b=0,①.6分 x2y2 联立6+41，消去y得Q+4x+8m+4b-16=0, y=kx+b △=(8b)2-41+4k2)(4b2-16)>0,化简并整理得16k2-b2+4>0, 8kb X+X2= 由韦达定理可得 1+4k2 4b2-16 ，② ￥x,=1+4 降②代入①得水6-8的6=0，化简并整理得：b2水，…9分 所以直线MN的方程为y=x-2k=k(x-2),即直线MN恒过x轴上的一个定点(2,0)；...10分 (ii)由(i)可知直线MN恒过点(2，o),当直线MN与x轴重合时，M、N、T三点共线，此时不 构成三角形；当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为x=y+2, 47m 胖立6+4=1，消去x得m2+y+4w-12=0,所以 y+y2=- m+4 -12 x=y+2 yy2=于 m2+4 所以4-=Vy+y2)2-4y= m+44(2 4）2 64m2+1928Vm2+3 Y(m2+4)2 m2+4’.13分 令m+3=t,则t≥3，m+4=+1,所以四-为P1心 1, 根据对勾函数的性质可知：t+}在5，+)上单调递增，所以t+之45 3 所以昌=26， i+ ,8w=8-2y-=g-为0.6W3， 综上所述，△MN面积的取值范围为(0,65]17分 19.【详解】(1)由a=0,得f(x)=xe.要证f四x+1,只需证e-x-1>0,x≠0.1分 令g(x)=e-x-1,则g(x)=e-1 当x∈(o,0)时，8(x)<0,则8(x)单调递减，当x∈(0，+o)时，g'(x)>0,则g(x)单调递增， 所以g(四>g(0)=0,放e>+1,因此f四>+14分 (2)f"(x)=(x+1)e+acosx,.令m()=f(),则l(x)=(x+2)e*-asinx,.5分 ①当a≥0时，由x∈(0，)，得xe*>0,ainx≥0，因此f(x)>0,满足题意.............6分 ②当a<0时，由x∈(0，π)，得(x+2)e>0,-asinx>0,因此m(x)>0,则f'(x)在(0，π)上单调递增 1若-1≤a<0,则'(x)>'(0)=1+a≥0，则f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0,满足题意： 2若a<-1,则f"(0)<0,f” π-2 0,因此了在0，存在唯一的零点。，且%0》 当0<x<x时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x。<x<π时，f(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)<f(0)=0,不合题意. .10分 综上，a的取值范围为[-1，+o).. ..11分 (3)由(2)知a<-1,设x。=x2,则f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x,π)上单调递增， 3 注意到f(0)=0,f(x2)<f(0)=0,f(π)=π>0，故f(x)在(0，π)上存在唯一的零点，x∈(x2,) 又，2x2∈(x2,),且f(x)在(x2,)上单调递增.故要证明x<2x,只需证f(x)<f(2x2), 因为f(x)=0,所以只需证f(2x2)>0,即证2x2e2+asin2x2>0................ 因为(+le+acs=0,即a-≤+1e,所以，只需证2xe_（+e sin2x2>0, cOSY, COSr2 只需证-(s+)m00写)( 由(1)得e>x2+1,因此xe-(x,+1)sinx,>x2+x-(x,+1)siny,=(x+1)(x,-inx), 设a(e)=x-ar,0<x<子，则()=1-co8r>0,所以（在(0到上单调递增， 所以h(x)>h(0)=0,从而h(x)>0,即x2-sinx>0,因此(*)得证， 从而<2x2.... .13分 .15分 .17分 数 学 试 卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。 4．本试卷共2页，共19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C上一点，若，则（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或14 2．已知集合，，若，则实数的所有取值构成的集合的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 3．已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 4．函数的定义域是，其图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 6．已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 7．设函数的图象有公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．等差数列满足，满足，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则（   ） A．的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 10．在中，，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．外接圆的直径是 11．如图，正三棱柱的每条棱的长度均为为棱的中点，底面，点在平面的上方，且，则（    ） A．平面平面 B．四面体外接球的表面积为 C．直线与直线相交 D．四面体与正三棱柱的公共部分的体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为 ． 13．如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则 . 14．曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）为了让老师更加重视人工智能在教学中的应用，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，经统计得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．（本小题满分15分）已知数列的前项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)已知，求数列的前项和． 17．（本小题满分15分）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图2. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 18．（本小题满分17分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为．点M是椭圆C上一点，满足，O为坐标原点． (1)求C的方程； (2)设，若C上的一点N与点M不关于x轴对称（N与M不在x轴同侧），且满足． （ⅰ）证明：直线MN恒过x轴上的一个定点； （ⅱ）求面积的取值范围． 19．（本小题满分17分）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 数学试卷 第 2 页 共 2 页 数学试卷 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $