精品解析：安徽省合肥市第八中学2026届高三上学期数学统一作业16

合肥八中2026届高三统一作业16 数学 2026年1月 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应区域.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 3. 已知向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 若数列满足，其前项和为，则（ ） A. 既无最大值，又无最小值 B. 当且仅当时，取得最小值 C. 当且仅当时，取得最小值 D. ， 5. 若，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. 的平均数为 B. 的方差为 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，函数的部分图象与直线交于两点，且，点在曲线上，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 11. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为60° D. 若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则实数_____ 13. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是___________． 14. 如图，在的方格中，每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）.玩家从起点方格出发，每次可以向右或向下移动一格到达下一格.若遇到含有设置陷阱的方格，则被重置回起点，然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战，直至到达终点.若重置若干次以后始终未能到达终点，则挑战失败.该玩家挑战失败的概率为__________. 四、解答题：本题共4小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，为坐标原点，函数 （1）求的解析式及最小正周期 （2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积 16. 已知数列满足. （1）若为递增数列，求的取值范围； （2）当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积. 17. 如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心． （1）证明：平面平面； （2）已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面．，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且．求满足条件的点轨迹的长度． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，证明：函数有3个零点； （3）当时，对任意的，满足，证明：． 19. 已知椭圆，为坐标原点，点分别在直线与上，是上一点，四点构成平行四边形． （1）证明是定值，并求该值； （2）求平行四边形面积的最大值； （3）一族直线与交于点，证明每条弦被定直线平分，并求该直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2026届高三统一作业16 数学 2026年1月 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应区域.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求解不等式得到集合，再根据交集的定义进行运算即可得解. 【详解】要使函数有意义，须满足，即， 即，解得，所以. 因为，所以，即. 故选：C 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数、虚部的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为3. 故选：C 3. 已知向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】应用平面向量的投影向量结合数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以． 故选：A． 4. 若数列满足，其前项和为，则（ ） A. 既无最大值，又无最小值 B. 当且仅当时，取得最小值 C. 当且仅当时，取得最小值 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】分析数列的单调性，可知当时，；当时，，且，逐项判断即可. 【详解】因为数列、均为递增数列，所以，数列为递增数列， 因为，， 故当时，；当时，. 无最大值，但有最小值，且最小值为、，即. 所以，D对，ABC均错. 故选：D. 5. 若，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用点到直线的距离公式可求的最小值. 【详解】令，由，可得， 原点到直线的距离为， 所以， 联立，可得， 所以当，时，取最小值，最小值为. 故选：D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用导数研究单调性得，进而判断大小，令，利用导数研究单调性得，即可比较大小，进而求解. 【详解】令，所以，令有， 当，所以在单调递增，在单调递减， 所以，即，所以，即； 令，所以，当， 所以在单调递增，在单调递减，所以， 所以，即； 综上所述，. 故选：B. 7. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则， 因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知4是的一个周期，赋值求相应的函数值，可得，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 可得，可知4是的一个周期， 又因为当时，，则，， 对，令，可得， 令，可得； 令，可得； 则，，， 可得，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. 的平均数为 B. 的方差为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意结合平均数的定义判断AC；对于BD：举反例说明即可. 【详解】由题意可知：，，即，， 对于选项A：因为， 所以的平均数为，故A正确； 对于选项C：若， 则，即，故C正确； 对于选项BD：例如两组数据分别为和， 则，，，， 数据的平均数为，方差为，故B错误； 且满足，，但，故D错误； 故选：AC. 10. 如图，函数的部分图象与直线交于两点，且，点在曲线上，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据，列方程求出判断A；将代入求出，进而求出判断B；由，求出，取，即可判断C；由，，可求出当时，取得最小值，即可判断D. 【详解】解：根据题意，设，， 由得， 由图象可知，，， 两式相减得，，所以，所以，A错误； 则，将点代入得，， 由知，，所以， 所以， 故， 令，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，B正确； 令，解得，， 取，则在上单调递减， 因为是的真子集， 所以在上单调递减，C正确； 令，，解得，， 令，解得， 所以当时，取得最小值， 所以，D正确； 故选：BCD. 11. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为60° D. 若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明判断A，若，点在直线，可得体积为定值判断B；上求得直线与直线所成角的最小值判断C；确定外接球的球心，进而轨迹的周长判断D. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以， 所以，即 ， 所以，又， 所以， 所以，所以，故A正确； 因为，，所以点在直线上， 又因为，，所以四边形是平行四边形， 所心，又平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离为定值，又的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 点为的中点，坐标为，点的坐标为 ， 向量，向量， 设直线与直线所成的角为， ， 又因为，当 时，， 即直线与直线所成角的最小值为，故C错误； 因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形， 过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心， 因为平面，所以，又， 所以三棱锥外接球的半径， 因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上， 所以 的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆， 又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为， 所以 的轨迹的周长为 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则实数_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 13. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】解：由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得，所以， 所以该球的体积的最大值是． 故答案为： 14. 如图，在的方格中，每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）.玩家从起点方格出发，每次可以向右或向下移动一格到达下一格.若遇到含有设置陷阱的方格，则被重置回起点，然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战，直至到达终点.若重置若干次以后始终未能到达终点，则挑战失败.该玩家挑战失败的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题知，玩家从起点方格出发，每次向右或向下移动一格，可以顺利到达终点，即为挑战成功，反之挑战失败. 用表示第行第列含有陷阱的方格， 则第1行含有陷阱的方格为， 第2行含有陷阱的方格为， 第3行含有陷阱的方格为， 所以每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）共有个基本事件， 具体如下： ，，，， ，，，， ，，，， 玩家挑战失败的基本事件有，，， ，，，，共个， 所以玩家挑战失败的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共4小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，为坐标原点，函数 （1）求的解析式及最小正周期 （2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积 【答案】（1），最小正周期为 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果； （2）由，结合的范围可求得或；当时，根据余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，根据正弦定理可求得，结合两角和差正弦公式和三角形面积公式可求得. 【小问1详解】 ，， ， 则的最小正周期. 【小问2详解】 ，， ，，则或， 或； 当时，，， ，，，， 又为的角平分线，，， ，， ； 当时，，，， 为的角平分线，， 在中，由正弦定理得：， ，在中，由正弦定理得：， ， . 综上所述：的面积为或. 16. 已知数列满足. （1）若为递增数列，求的取值范围； （2）当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积. 【答案】（1）； （2）由题设，则，又， 所以是首项为，公比为2的等比数列， . 【解析】 【分析】（1）由题设，恒成立，利用二次函数性质求右侧最大值，即可得参数范围； （2）根据已知可得，结合等比数列定义证明结论，进而可得，应用等比数列的前n项和公式求. 【小问1详解】 由题设，即，恒成立， 而在上单调递减，则， 所以； 【小问2详解】 ， 所以，则， 所以 . 17. 如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心． （1）证明：平面平面； （2）已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面．，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且．求满足条件的点轨迹的长度． 【答案】（1）连接并延长交于点，连接，取的中点为， 连接， 因为点在底面的投影是的重心，则平面，， 因为为中点，为中点，则， 由题得，，，所以， 所以四边形是平行四边形，则， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，取的中点为，连接，由题意得平面，由几何性质可证得，从而得平面，由面面垂直的判定定理即可得结论； （2）建立空间直角坐标系，从而可得点轨迹表示球心在，半径的球面，计算可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系， 则，，设， 由，得， 整理得， 所以点轨迹表示球心在，半径的球面， 又是棱台表面上的点，所以点轨迹是球面与棱台表面的交线， 由题得，，则， 所以， 又，，则，，， 所以球面只与棱台侧面，侧面，底面相交， 因为 所以， ， ， 从而可得，，， 因此所求交线长度为． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，证明：函数有3个零点； （3）当时，对任意的，满足，证明：． 【答案】（1） （2）的定义域是，， 若，令，得或，且． 当时，，单调递增： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在处取得极大值，在处取得极小值． 因为，所以，又， 所以，使得，即在上有1个零点； 因为，所以，则， 所以， 所以，使得， 即在上有1个零点；又， 所以，使得， 即在上有1个零点． 综上，当，有3个零点． （3）在处的切线方程为， 设，下面证明：当时，． 设，则， 设，则， 显然，时，，所以递增，则，即， 所以递减，则，从而，即． 所以， 得 ． 即． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）通过求导分析函数单调性，结合特殊点的值确定零点个数； （3）在处的切线方程为，设，利用导数证明：当时，．进而得到，证得不等式. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，．因此曲线在处的切线方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆，为坐标原点，点分别在直线与上，是上一点，四点构成平行四边形． （1）证明是定值，并求该值； （2）求平行四边形面积的最大值； （3）一族直线与交于点，证明每条弦被定直线平分，并求该直线的方程． 【答案】（1）设，，，又， 四边形是平行四边形，则，， ， 在椭圆 上，，， 是定值，且该定值为 . （2） （3）设，，联立得：， 则，， ，中点为， 任取不同于的弦，同理可得：中点为， 直线的斜率， 直线的方程为：，即， 任意弦的中点均在直线上，即每条弦均被定直线平分． 【解析】 【分析】（1）根据四边形为平行四边形可构造方程组，利用 点坐标表示出，结合两点间距离公式化简可得结果； （2）根据正余弦齐次式可求得，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式可求得结果； （3）将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和中点坐标公式可表示出线段中点坐标，由此可求得斜率和中点所在直线方程，化简得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线 的倾斜角为 ，则， ，， 或，，， 由（1）知：在中，由余弦定理得：， （当且仅当时取等号）， ，则当时，取得最大值 ， 平行四边形面积的最大值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $