卷13 二次函数的应用及二次函数代几综合题能力测试卷 【冲刺2026年】中考数学一轮复习江苏省2025年中考真题及模拟试题分类提优测试卷

卷13 二次函数的应用及二次函数代几综合题能力测试卷 （时间：90分钟 满分：100分 得分 ） 一．选择题（共6小题，每小题2分，共12分) 1．（2025•亭湖区校级三模）我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（　　） A． B．y＝﹣x+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝﹣（x﹣3）2+3 2．（2025•南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•惠山区一模）一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 4．（2025•秦淮区校级模拟）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 5．（2025•东海县三模）如果把小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，则小球离地面的高度h（单位：m）与经过的时间x（单位：s）的关系式为h＝10x﹣4.9x2.根据该物理规律，下列对方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88，x2≈1.16的解释正确的是（　　） A．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s B．小球经过的时间约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升 C．小球离地面的高度为5m时，经过的时间约为0.88s D．小球经过的时间约1.02s离地面的高度为5m 6．（2025•连云港二模）观察规律，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pn（n，0）（n＝1、2、…）作x轴的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn.则的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 7．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　 　 m． 8．（2025•南通三模）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 　 　 m． 9．（2025•泗阳县校级一模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为21m，则能建成的饲养室总占地面积最大为　 　 m2． 10．（2025•如东县校级模拟）如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平距离为　 　 米． 11．（2025•淮安校级模拟）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　 　 米． 12．（2025•连云港校级二模）如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 　 　 ． 13．（2025•梁溪区三模）图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是 　 　 ；此时杯体内液体的最大深度为 　 　 ． 14．（2025•锡山区校级二模）定义：在平面直角坐标系中，点P在直线y＝2x﹣1上．我们约定点Q（n，m）是点P（m，n）的反对称点． （1）若点P的反对称点为本身，则P点坐标为　 　 ； （2）若抛物线y＝2x2+ax+1上不存在点P的反对称点，则a的取值范围是　 　 ． 15．（2025•苏州二模）若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值为m，最大值为n，m+n的值为　 　 ． 16．（2025•姜堰区一模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为　 　 ． 三．解答题（共9小题，共56分） 17．（6分）（2025•徐州）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d2m，已知y＝d1+d2，d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m． （1）若骑行速度为26km/h，则d1＝ 　 　 m，d2＝ 　 　 m； （2）设骑行速度为xkm/h，求y关于x的函数表达式； （3）当刹车距离为2m时，停车距离为多少？（精确到0.1m，参考数据：，.73，） 18．（6分）（2025•南通）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动． 已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为450m2的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 19．（6分）（2025•海安市一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ （3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 20．（6分）（2025•盐城）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示． 【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55m，人与球网之间的距离OC＝1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F． （1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是　 　 m； （3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h＝5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 21．（6分）（2025•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该二次函数图象上． （1）用含a的代数式表示b； （2）当x1＝﹣4，x2＝5时，比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）当x1＝t+8，t≤x2≤t+2时，都有c＞y2＞y1，直接写出t的取值范围． 22．（7分）（2025•宿城区一模）在这个“大众创业、万众创新”的互联网和大数据时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取网络销售和门店销售两种方式．调查发现，门店的月销量y（单位：件）与门店售价x（单位：元/件，且12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下： x（元/件） 12 14 16 y（件） 1200 1000 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）若网络销售单价始终比门店销售单价便宜2元，且网络销售的月销量固定为400件． ①当x为多少时，两种销售方式的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； ②若门店销售的月利润与网络销售的月利润的差不低于800元．直接写出x的取值范围． 23．（7分）（2025•高新区校级二模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，﹣3），D（﹣1，﹣3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F． （1）如图①，若抛物线过点C，求抛物线对应的函数解析式和点F的坐标． （2）如图②，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE．若平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标． （3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围． 24．（7分）（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象（记为G1）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象（记为G2）经过点A，C．直线x＝t与两个图象G1，G2分别交于点M，N，与x轴交于点P． （1）求b，c的值． （2）当点P在线段AO上时，求MN的最大值． （3）设点M，N到直线AC的距离分别为m，n．当m+n＝4时，对应的t值有　 　 个；当m﹣n＝3时，对应的t值有　 　 个；当mn＝2时，对应的t值有　 　 个；当1时，对应的t值有　 　 个． 25．（7分）（2025•玄武区一模）A，B是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是该函数图象的顶点，顶点C到直线AB的距离为h，AB＝2h． （1）若顶点C的坐标为（0，0），AB＝2，则a的值为　 　 ； （2）当2≤h≤4时，求证：； （3）点A的坐标为（0，4），当0≤x≤4时，y的最小值为﹣1，则a的值是　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷13 二次函数的应用及二次函数代几综合题能力测试卷 （时间：100分钟 满分：100分 得分 ） 一．选择题（共6小题，每小题3分，共18分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C B C A D 一．选择题（共6小题，每小题2分，共12分） 1．（2025•亭湖区三模）我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（　　） A． B．y＝﹣x+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝﹣（x﹣3）2+3 【分析】根据从A到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后他与路灯的距离逐渐增加，可得答案． 【解答】解：由题意，得 从A到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后他与路灯的距离逐渐增加． A、y随x的增加而减少，与题意不符，故A错误； B、y随x的增加而减少，与题意不符，故B错误； C、当x＜3时，y随x的增加而减少；当x＞3时，y随x的增加而增加，故C正确； D、当x＜3时，y随x的增加而增大；当x＞3时，y随x的增加而减少，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的性质，熟记一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题关键． 2．（2025•南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知点的坐标特征和抛物线的对称性得到：点A、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上，然后分四种情况利用待定系数法求得a的值，即可判断． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0） ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2． ∵A（﹣1，5），E（5，5），且2， ∴点A、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上． 当抛物线过A、E、B时， 把B（1，2），A（﹣1，5）代入得， 解得a； 当抛物线过A、E、C时， 把A（﹣1，5），C（2，1）代入得， 解得a， 当抛物线过A、E、D时， 把A（﹣1，5），D（3，﹣1）代入得， 解得a， 当抛物线过B、C、D时， 把C（2，1）代入解析式求得k＝1， ∴y＝a（x﹣2）2+1， 把B（1，2）代入得a+1＝2，解得a＝1， 把D（3，﹣1）代入得a+1＝﹣1，解得a＝﹣2， ∴B、C、D三点不能同时在抛物线上， 综上，a的值可能为，，，不可能为， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的对称性，分类讨论是解题的关键． 3．（2025•惠山区一模）一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 【分析】根据二次函数的最值，以及解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：h＝﹣5t2+20t ＝﹣5（t2﹣4t） ＝﹣5（t2﹣4t+4﹣4） ＝﹣5（t﹣2）2+20， ∵a＝﹣5＜0， ∴当t＝2时，h最大＝20， ∴物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米； 当h＝0时，﹣5t2+20t＝0， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴在4秒时返回地面， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2025•秦淮区模拟）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一样 【分析】先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解． 【解答】解：设围成的图形的面积为ym2， 方案一：设与墙相邻的边长为x米，则另一边为（12﹣2x）米， 由题意得：y＝x（12﹣2x）＝﹣2（x﹣3）2+18， 当x＝3时，y有最大值为18； 方案二：∴等腰三角形的腰为6米， 当顶角为直角时，面积最大，为：6×6＝18； 方案三：设圆的半径为r米，则：πr＝12， 解得：r， ∴yπ（）223， ∵23＞18， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，计算图形的面积是解题的关键． 5．（2025•东海县三模）如果把小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，则小球离地面的高度h（单位：m）与经过的时间x（单位：s）的关系式为h＝10x﹣4.9x2.根据该物理规律，下列对方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88，x2≈1.16的解释正确的是（　　） A．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s B．小球经过的时间约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升 C．小球离地面的高度为5m时，经过的时间约为0.88s D．小球经过的时间约1.02s离地面的高度为5m 【分析】根据题意，方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88，x2≈1.16分别表示的是上升0.88s时，距离底面为5m，且继续上升；下降过程中，1.16s时，距离底面为5m，且继续下降，两次距离地面5m的时间间隔为1.16﹣0.88＝0.28s，解答即可． 【解答】解：方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88，x2≈1.16分别表示的是上升0.88s时，距离底面为5m，且继续上升；下降过程中，1.16s时，距离底面为5m，且继续下降，两次距离地面5m的时间间隔为1.16﹣0.88＝0.28s， 故A正确，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确理解方程根的意义是解题的关键． 6．（2025•连云港二模）观察规律，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pn（n，0）（n＝1、2、…）作x轴的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn.则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用解析式求得A1，B1，A2，B2•••An，Bn，进而求得线段A1B1，A2B2，••••••AnBn，将所求结果代入算式，利用题干中的方法解答即可． 【解答】解：由题意得：∵A1在y＝ax2（a＞0）上，B1在直线y＝﹣ax上， ∴A1（1，a），B1（1，﹣a）， ∴A1B1＝a﹣（﹣a）＝2a＝1×2a； 同理：A2（2，4a），B2（2，﹣2a）， ∴A2B2＝4a﹣（﹣2a）＝6a＝2×3a； A3（3，9a），B3（3，﹣3a）， ∴A3B3＝9a﹣（﹣3a）＝12a＝3×4a； ••••••， AnBn＝n（n+1）a． ∴ （） （1•••） ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，数字变化的规律，利用题干中的规律解答是解题的关键． 二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分) 7．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　8　 m． 【分析】由题得A（0，1.6），代入y＝a（x﹣3）2+2.5，得出抛物线的解析式为，令y＝0，求解即可， 【解答】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝﹣2， ∴OB为8m， 故答案为：8． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 8．（2025•南通三模）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 　45　 m． 【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论． 【解答】解：∵s＝﹣5t2+30t＝﹣5（t﹣3）2+45， ∴汽车刹车后到停下来前进了45m， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，求出二次函数的顶点式是解题的关键． 9．（2025•泗阳县一模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为21m，则能建成的饲养室总占地面积最大为　48　 m2． 【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为21+3﹣3x＝24﹣3x，表示出总面积S＝x（24﹣3x），最后利用配方法求解即可． 【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为21+3﹣3x＝24﹣3x． 则总面积S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，故饲养室的最大面积为48平方米． 故答案为：48． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大． 10．（2025•如东县模拟）如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平距离为　5　 米． 【分析】根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的左端点坐标为（0，1），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据两灯的纵坐标值，求横坐标，作差即可． 【解答】5解：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5， 把点（0，1）代入得： 1＝a（0﹣5）2+5，即a， ∴抛物线解析式为y（x﹣5）2+5． 令y＝4，得x1，x2， ∴盏景观灯之间的水平距离是5m． 故答案为：5． 【点睛】考查了二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题． 11．（2025•淮安模拟）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　0.5　 米． 【分析】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，运用待定系数法，设适当的函数解析式，代入求值即可解答函数解析式，进而求得函数的最小值即可． 【解答】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A（0，2.5），B（2，2.5），C（0.5，1）， 设函数解析式为y＝ax2+bx+c，则： 解得：， ∴y＝2x2﹣4x+2.5＝2（x﹣1）2+0.5． ∵2＞0， ∴当x＝1时，y最小＝0.5米． 故答案为：0.5． 【点睛】本题考查二次函数的应用．建立合适的平面直角坐标系，用待定系数法求出相应的函数解析式是解决本题的关键． 12．（2025•连云港二模）如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 　a　 ． 【分析】依据题意，先求其解析式，再根据条件即可求出a的取值范围． 【解答】解：∵EMm，ENm， ∴点E的坐标为（，﹣10）． ∴点M，N的坐标分别为（9，﹣10），（12，﹣10）． ∵A（1，）， ∴可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为y＝m（x﹣1）2． 又∵此时抛物线过（0，0）， ∴m0． ∴m． ∴运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为y（x﹣1）2． 令y＝﹣10， ∴﹣10（x﹣1）2． ∴x＝4或﹣2（舍去）． ∴B（4，﹣10）． ∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k， ∴当抛物线过点M（9，﹣10）时，顶点为（6.5，﹣15）． ∴此时y＝a（x﹣6.5）2﹣15，把M（9，﹣10）代入，得a． 同理，当抛物线过点N（12，﹣10）时，a， 由点D在MN之间得a的取值范围为a． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 13．（2025•梁溪区三模）图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，则液面GD到平面l的距离是 　10　 ；此时杯体内液体的最大深度为 　　 ． 【分析】以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式；将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线l的解析式和直线GD的解析式，过点M作MP⊥l于点P，用三角函数求得液面GD到平面l的距离；过抛物线最低点Q作QL∥l，再将QL的解析式与抛物线的解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由判别式求得q，最后用三角函数求得答案． 【解答】解：以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意得： A（0，0），B（0，9），C（﹣2，21），D（2，21）， 设抛物线的解析式为：y＝ax2+9， 将D（2，21）代入得： 21＝a9， 解得：a＝1， ∴y＝x2+9． 将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意得： A（0，0），F（，0），E（，0），B（0，9），C（﹣2，21），D（2，21）， 由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，GD∥l， ∵l经过点F（，0），且∠EFH＝30°， ∴设直线l的解析式为：yx+b， 将F（，0）代入，解得b＝﹣1， ∴yx﹣1， 又∵GD∥l， ∴kGD＝kl， ∴设直线GD的解析式为yx+p， 将D（2，21）代入，解得p＝19， ∴yx+19， ∴M（0，19），N（0，﹣1）， 过点M作MP⊥l于点P， ∵∠EFH＝30°，∠FAN＝90°， ∴∠ANF＝60°， ∴MP＝MN•sin60° ＝[19﹣（﹣1）] ＝10． 过抛物线最低点Q作QL∥l，L为QL于MP的交点， 设直线QL的解析式为yx+q， 由得： x2x+9﹣q＝0， ∵只有一个交点Q， ∴Δ＝0， ∴4（9﹣q）＝0， ∴q， ∴ML＝（19）×sin60° ． 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次函数及解直角三角形等知识点是解题的关键． 14．（2025•锡山区二模）定义：在平面直角坐标系中，点P在直线y＝2x﹣1上．我们约定点Q（n，m）是点P（m，n）的反对称点． （1）若点P的反对称点为本身，则P点坐标为　（1，1）　 ； （2）若抛物线y＝2x2+ax+1上不存在点P的反对称点，则a的取值范围是　　 ． 【分析】（1）由点P（m，n）在直线y＝2x﹣1上，且点Q（n，m）是点P（m，n）的反对称点，当点P的反对称点为本身时，即m＝n，从而代入求解即可； （2）先设出点P坐标，根据反对称点定义得到其反对称点坐标，再根据抛物线不存在点P的反对称点，转化为方程无解的问题． 【解答】解：（1）由条件可知n＝2m﹣1． 又∵点P的反对称点为本身， ∴m＝n， 将n＝m代入n＝2m﹣1，得到m＝2m﹣1． ∴2m﹣m＝1， 解得m＝1， ∴n＝1． ∴P点坐标为（1，1）． 故答案为：（1，1）； （2）设点P（x，2x﹣1）， ∴其反对称点Q（2x﹣1，x）． ∵抛物线y＝2x2+ax+1上不存在点P的反对称点， ∴方程x＝2（2x﹣1）2+a（2x﹣1）+1无解． ∴8x2+（2a﹣9）x+3﹣a＝0， ∴8x2+（2a﹣9）x+3﹣a＝0中，Δ＝（2a﹣9）2﹣4×8×（3﹣a）＜0， ∴4a2﹣4a﹣15＜0， 对于二次函数y＝4a2﹣4a﹣15，令y＝0， ∴求根公式（这里a＝4，b＝﹣4，c＝﹣15）可得： ， 解得，． ∴不等式4a2﹣4a﹣15＜0的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的点坐标性质、一元二次方程判别式与方程解的关系，以及函数与方程的转化思想．解题关键在于结合点在直线上的性质建立方程求解． 15．（2025•苏州二模）若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值为m，最大值为n，m+n的值为　﹣6　 ． 【分析】根据2a+b＝2，可得b＝2﹣2a，再根据b≥0，即可求得a的取值范围；根据b＝2﹣2a，可得2a2﹣4b＝2a2﹣4（2﹣2a）＝2（a+2）2﹣16，根据a的取值范围和二次函数的性质即可求得m和n的值，从而求得m+n的值． 【解答】解：∵2a+b＝2， ∴b＝2﹣2a， ∴2a2﹣4b＝2a2﹣4（2﹣2a）＝2（a+2）2﹣16， ∵b≥0， ∴2﹣2a≥0， ∴a≤1， ∵a≥0， ∴0≤a≤1， ∴当a＝0时，2a2﹣4b有最小值﹣8， 当a＝1时，2a2﹣4b有最大值2， ∴m＝﹣8，n＝2， ∴m+n＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，解答本题的关键是能够根据自变量的取值范围确定函数的最值． 16．（2025•姜堰区一模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为　3≤k＜4　 ． 【分析】由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点，求得直线与抛物线相切时和直线过点（3，0）时的k的值，结合图象即可求得． 【解答】解：由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点， 令y＝﹣x2+3x＝0，解得x＝0或3， ∴二次函数y＝﹣x2+3x的图象与x轴的交点为（0，0），（3，0）， 令﹣x2+3x＝k﹣x， 方程整理得x2﹣4x+k＝0， 当直线y＝k﹣x与抛物线相切时，Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0， 解得k＝4， 当直线过点（3，0）时，0＝k﹣3， 解得k＝3， ∴若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为3≤k＜4． 故答案为：3≤k＜4． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，数形结合是解题的关键． 三．解答题（共9小题，共58分） 17．（6分）（2025•徐州）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d2m，已知y＝d1+d2，d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m． （1）若骑行速度为26km/h，则d1＝ 　5.2　 m，d2＝ 　4　 m； （2）设骑行速度为xkm/h，求y关于x的函数表达式； （3）当刹车距离为2m时，停车距离为多少？（精确到0.1m，参考数据：，.73，） 【分析】（1）设d1＝k1xd_{2}＝k_{2}x^{2}结合题意可得d1＝0.2x，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为2m时，可得求解x，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．骑行速度为xkm/h，d1＝k1x，d2＝k2x2， ∵当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m， ∴13k1＝2.6， 解得：k1＝0.2，d1＝0.2x， 当x＝26时，d1＝0.2×26＝5.2（m）， ∵当骑行速度为13km/h时，刹车距离为lm， ∴1＝132×k2， 解得： ， 当x＝26时，； （2）设骑行速度为xkm/h，而d1． ∴y关于x的函数表达式为； （3）∵当刹车距离为2m时， ∴， 解得：（）， ∴y， ∴停车距离约为5.7m． 【点睛】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握相关知识的灵活运用． 18．（6分）（2025•南通）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动． 已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为450m2的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【分析】（1）设与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为 （60﹣2x）m，根据题意得到x（60﹣2x）＝450，解方程即可得到结论； （2）设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）设与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为 （60﹣2x）m， 根据题意得x（60﹣2x）＝450， 解得x1＝x2＝15， 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2， 根据题意得， ∴， ∵， ∴当t＝33时，S有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积公式，正确地理解题意列出函数解析式是解题的关键． 19．（6分）（2025•海安市一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ （3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）用图象法即可解答． 【解答】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740， ∴y＝﹣10x+740（44≤x≤52）， （2）w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890， ∵﹣10＜0， ∴当x＜57时，w随x的增大而增大， ∵44≤x≤52， ∴当x＝52时，w有最大值，最大值为w＝﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640元， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元； （3）∵利润不低于2250元， 且44≤x≤52，w随x增大而增大， 由﹣10（x﹣57）2+2890＝2250得x＝65或x＝49， ∴49≤x≤52． ∴纪念品的销售单价x的范围是49≤x≤52． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，熟知最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答是关键． 20．（6分）（2025•盐城）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示． 【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55m，人与球网之间的距离OC＝1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F． （1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是　（1.6）　 m； （3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h＝5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【分析】（1）以O为坐标原点，OF所在的中线为x轴，OA所在的中线为y轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点E坐标，则OE可求，利用CE＝OE﹣OC解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【解答】解：（1）以O为坐标原点，OF所在的中线为x轴，OA所在的中线为y轴，建立如图所示的坐标系， 则A（0，2.4），D（1.6，1.6）， 设直线AD的解析式为y＝kx+n， ∴， ∴， ∴扣杀球击球路线的函数表达式为yx+2.4； 设网前吊球击球路线的函数表达式为y＝ax2+2.4， ∴1.6＝a×1.62+2.4， ∴a， ∴网前吊球击球路线的函数表达式为yx2+2.4； （2）令y＝0，则x2+2.4＝0， ∵x＞0， ∴x， ∴E（，0）， ∴OE（m）， ∴CE＝OE﹣OC＝（1.6）m． 故答案为：（1.6）； （3）对于yx+2.4，令y＝0，则x+2.4＝0， ∴x＝4.8， ∴F（4.8，0）， ∴OF＝4.8， ∴AF5.52（m）， ∵扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s， ∴0.15（秒） ∵0.15＜0.5， ∴乙不能接到扣杀球的击球． ∵从A点击球，击球点是抛物线的最高点， ∴2.4＝5t2， ∵t＞0， ∴t＝0.68， ∵0.68＞0.5， ∴乙能接到网前吊球的击球． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 21．（6分）（2025•鼓楼区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该二次函数图象上． （1）用含a的代数式表示b； （2）当x1＝﹣4，x2＝5时，比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）当x1＝t+8，t≤x2≤t+2时，都有c＞y2＞y1，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）对称轴为直线x＝﹣1可得1，故b＝2a； （2）根据开口向下的二次函数图象上的点，距离对称轴越远的点函数值越小，反之越大这一性质，可立即比较出大小； （3）因为x1＝t+8，t≤x2≤t+2，所以x2＜x1，可分为x1、x2居于对称轴同侧或异侧两类情况画出图形分别讨论即可． 【解答】解：（1）由对称轴为直线x＝﹣1可得1， 故b＝2a． （2）∵开口向下的二次函数图象上的点，距离对称轴越远的点函数值越小，反之越大， 且， ∴y1＞y2． （3）∵x1＝t+8，t≤x2≤t+2， ∴x2＜x1， ∵c＞y2＞y1，如图1所示时， 故只需满足t＞0即可； 当x1、x2如图2所示时，x1的对称点横坐标为﹣t﹣10， ∵c＞y2＞y1， ∴，解得﹣5＜t＜﹣4， 综上，t的取值范围为﹣5＜t＜﹣4或t＞0． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，对称轴，增减性，根据题意画出图形分类讨论是解题关键． 22．（7分）（2025•宿城区一模）在这个“大众创业、万众创新”的互联网和大数据时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取网络销售和门店销售两种方式．调查发现，门店的月销量y（单位：件）与门店售价x（单位：元/件，且12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下： x（元/件） 12 14 16 y（件） 1200 1000 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）若网络销售单价始终比门店销售单价便宜2元，且网络销售的月销量固定为400件． ①当x为多少时，两种销售方式的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； ②若门店销售的月利润与网络销售的月利润的差不低于800元．直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法可以求得y与x的函数关系式； （2）①根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到当x为多少时，两种销售方式的月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润； ②根据题意，可以得到门店月利润与网络月利润的差和x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到x的取值范围． 【解答】解：（1）设y＝kx+b， 由表格信息可得， 解得， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣100x+2400； （2）设门店利润为w1元，网络利润为w2元， 根据题意，得w1＝y（x﹣10）＝（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100x2+3400x﹣24000， w2＝400（x﹣2﹣10）＝400x﹣4800， ①设网络和门店月利润总和为w元， 根据题意，得w＝w1+w2＝（﹣100x2+3400x﹣24000）+（400x﹣4800）＝﹣100x2+3800x﹣28800＝﹣100（x﹣19）2+7300， ∵﹣100＜0，12≤x＜24， ∴当x＝19时，w最大，最大值为7300元， 答：当x为19时，两种销售方式的月利润总和达到最大，最大利润为7300元； ②线下月利润与线上月利润的差为W元， W＝（﹣100x2+3400x﹣24000）﹣（400x﹣4800）＝﹣100（x﹣15）2+3300， 令W＝800，则800＝﹣100（x﹣15）2+3300， 解得x1＝10，x2＝20， ∴当10≤x≤20时，W的值不小于800， 又∵12≤x＜24， ∴门店销售的月利润与网络销售的月利润的差不低于800元时，x的取值范围是12≤x≤20． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质解答． 23．（7分）（2025•高新区二模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，﹣3），D（﹣1，﹣3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F． （1）如图①，若抛物线过点C，求抛物线对应的函数解析式和点F的坐标． （2）如图②，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE．若平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标． （3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围． 【分析】（1）把E（﹣2，0），C（2，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+c得：，即可求解； （2）运用待定系数法得到直线CE的表达式，根据平移的性质可知，四边形PQFC为平行四边形，所以FQ∥CE，从而可以求得FQ的解析式，联立抛物线解析式即可求出Q点坐标； （3）分类讨论，①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，或②如图，当抛物线与直线BC交点在点c下方，且与直线AD交点在点上D方时，与正方形有两个交点，联立不等式组，即可作答． 【解答】解：（1）把E（﹣2，0），C（2，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+c得：， 解得：， ∴y； 令y＝0， ∴0， ∴x2﹣2x﹣8＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， ∴F（4，0）； （2）设直线CE的表达式为y＝kx+b过点E（﹣2，0），C（2，﹣3）， ∴， 解得， ∴y， 由平移的性质可知，PQ＝CF，PQ∥CF， ∴四边形PQFC为平行四边形， ∴FQ∥CP，即PQ∥CE， ∴kFQ＝kCE， ∴直线FQ的解析式为：y（x﹣4）x+3， 联立直线FQ以及抛物线解析式： ， 解得：x＝±4， ∴Q（﹣4，6）； （3）∵四边形ABCD是正方形，C（2，﹣3）， ∴BC＝AB＝3，OB＝2， ∴OA＝AB﹣OB＝1， ∴点A和点D的横坐标为﹣1，点B和点C的横坐标为2， 将E（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），得c＝﹣8a， y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2﹣9a， ∴顶点坐标为（1，﹣9a）， ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ∴﹣3＜﹣9a＜0， ∴0＜a； ②如图，当抛物线与直线BC交点在点c下方，且与直线AD交点在点上D方时，与正方形有两个交点， ， ， ∴a， 综上，a的取值范围为0＜a或a． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合以及二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．（7分）（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象（记为G1）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象（记为G2）经过点A，C．直线x＝t与两个图象G1，G2分别交于点M，N，与x轴交于点P． （1）求b，c的值． （2）当点P在线段AO上时，求MN的最大值． （3）设点M，N到直线AC的距离分别为m，n．当m+n＝4时，对应的t值有　2　 个；当m﹣n＝3时，对应的t值有　0　 个；当mn＝2时，对应的t值有　4　 个；当1时，对应的t值有　无数　 个． 【分析】（1）先求出A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），再用待定系数法可求b，c的值； （2）由（1）知G2的表达式为y＝x2+4x+3，设P（t，0）（﹣3≤t≤0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3），故MN＝﹣t2﹣2t+3﹣t2﹣4t﹣3＝﹣2t2﹣6t＝﹣2（t）2，根据二次函数的性质即可得到MN的最大值； （3）作MS⊥AC于点S，RN⊥AC于点R，设MN交AC于点E，如图1所示，由待定系数法可知直线AC的表达式为y＝x+3，则∠CAB＝45°，∠MES＝∠NER ＝45°，MS＝m，RN＝n，从而ME，RN，即ME＝NE，进而得m＝n，①当m+n＝4时，即m＝n＝2，故MN，又﹣3≤t≤0时，MNmax，那么由图可知当t＜﹣3时或t＞1时，共2种情况满足题意；②当m﹣n＝3时，即m＝n+3，这与m＝n相矛盾，故不成立，对应的t值有0个；③当mn＝2时，由m＝n可知，m＝n，故ME＝2，故2，即t2+3t＝±2，可解得t有4个值； ④当1时，m＝n恒成立，所以对应的t值有无数个． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1）， ∴令y＝0，可得x＝﹣3或1， 即A（﹣3，0），B（1，0）， 把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c中，可得 ，解得， 故b的值为4，c的值为3； （2）由（1）知G2的表达式为y＝x2+4x+3， 设P（t，0）（﹣3≤t≤0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3）， 故MN＝﹣t2﹣2t+3﹣t2﹣4t﹣3＝﹣2t2﹣6t＝﹣2（t）2， 即MN的最大值为； （3）作MS⊥AC于点S，RN⊥AC于点R，设MN交AC于点E，如图1所示， 由待定系数法可知直线AC的表达式为y＝x+3， ∴∠CAB＝45°， ∴∠MES＝∠NER＝45°， ∵MS＝m，RN＝n， ∴ME，NE， ∵E（t，t+3）， ∴ME，NE， 即ME＝NE， 进而可得m＝n， ①当m+n＝4时， 即m＝n＝2，故MN， 当﹣3≤t≤0时，MNmax， 那么由图可知当t＜﹣3时或t＞1时，共2种情况满足题意， 故对应的t值有2个； ②当m﹣n＝3时，即m＝n+3，这与m＝n相矛盾，故不成立，对应的t值有0个； ③当mn＝2时，由m＝n可知，m＝n， 故ME＝2， ∴2，即t2+3t＝±2， 解得t＝﹣2或﹣1或或， 故对应的t值有4个； ④当1时， ∵m＝n恒成立， ∴对应的t值有无数个． 故答案为：2，0，4，无数． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数与坐标轴的交点的求法，二次函数与线段，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，难度不大，注意分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题关键． 25．（7分）（2025•玄武区一模）A，B是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是该函数图象的顶点，顶点C到直线AB的距离为h，AB＝2h． （1）若顶点C的坐标为（0，0），AB＝2，则a的值为　1　 ； （2）当2≤h≤4时，求证：； （3）点A的坐标为（0，4），当0≤x≤4时，y的最小值为﹣1，则a的值是　　 ． 【分析】（1）根据题意可设抛物线表达式为y＝ax2，再找出B点的坐标，代入解析式，即可求得a的值； （2）设顶点C的坐标为（m，n），则函数的表达式为y＝a（x﹣m）2+n，由题意可得B点坐标为（m+h，n+h），将点B（m+h，n+h）代入函数表达式，得：n+h＝a（m+h﹣m）2+n，即得a，即可解得a的范围； （3）抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+4﹣h（a＞0），代入点B（2h，4），得ah2﹣h＝0，故h.最后再根据对称轴和区间的不同位置展开分类讨论即可． 【解答】（1）解：∵顶点C的坐标为（0，0）， ∴设抛物线表达式为y＝ax2， 且A、B两点关于y轴对称，AB＝2， 故h＝1，点C到AB距离为1， ∴点B坐标为（1，1），代入y＝ax2中，可得a＝1； 故答案为：1． （2）证明：（法一）设顶点C的坐标为（m，n），则函数的表达式为y＝a（x﹣m）2+n， ∵点C到直线AB的距离为h，AB＝2h， 设A在B的左侧，则B点坐标为（m+h，n+h）， 将点B（m+h，n+h）代入函数表达式，得：n+h＝a（m+h﹣m）2+n， 故a， 当2≤h≤4时，则， 即； （法二）平移函数y＝ax2+bx+c的图象，使其顶点与原点O重合， 则新函数的表达式应为y＝ax2，顶点C的对应点即是原点O， 设点A的对应点为A'，点B的对应点为B'， 则A'B'＝AB＝2h，点O到直线A'B'的距离为h， 设点A在点B的左侧，则点B'的坐标为（h，h）， 将点B'（h，h）代入y＝ax2中，可得a， 当2≤h≤4时，则， 即； （3）解：∵点A的坐标为（0，4），AB＝2h，点C到直线AB的距离为h， ∴设B（2h，4），C（h，4﹣h）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+4﹣h（a＞0），代入点B（2h，4）， 得ah2﹣h＝0， 故h． 当0时，不成立，故舍去； 当时，即a时，此时当x时，ymin＝41，解得a（舍去）； 当4时，即时，此时当x＝4时，ymin＝a（4）2+41，解得a． 综上，a的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，包括顶点式，对称性，区间最值，掌握好以上知识点，特别注意分类讨论是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $