卷12 二次函数的性质及二次函数与方程不等式 【冲刺2026年】中考数学一轮复习江苏2025年中考真题及模拟试题分类提优测试卷

卷12 二次函数的性质及二次函数与方程不等式 （时间：90分钟 满分：100分 得分 ） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分) 1．（2025•淮安区模拟）抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5） 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 2．（2025•淮安校级模拟）若二次函数y＝﹣x2+3的图象经过点（﹣3，y1）、（﹣4，y2），则y1、y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定 【分析】只要将x＝﹣3，x＝﹣4代入二次函数求出y值即可比较 【解答】解： 当x＝﹣3时，y1＝﹣32+3＝﹣6， 当x＝﹣4时，y2＝﹣42+3＝﹣13． 故y1＞y2 故选：C． 【点评】此题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，要进行比较，除了上述的代入法，也可用二次函数的增减性进行判断． 3．（2025•南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知点的坐标特征和抛物线的对称性得到：点A、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上，然后分四种情况利用待定系数法求得a的值，即可判断． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0） ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2． ∵A（﹣1，5），E（5，5），且2， ∴点A、E同时在抛物线上或同时不在抛物线上． 当抛物线过A、E、B时， 把B（1，2），A（﹣1，5）代入得， 解得a； 当抛物线过A、E、C时， 把A（﹣1，5），C（2，1）代入得， 解得a， 当抛物线过A、E、D时， 把A（﹣1，5），D（3，﹣1）代入得， 解得a， 当抛物线过B、C、D时， 把C（2，1）代入解析式求得k＝1， ∴y＝a（x﹣2）2+1， 把B（1，2）代入得a+1＝2，解得a＝1， 把D（3，﹣1）代入得a+1＝﹣1，解得a＝﹣2， ∴B、C、D三点不能同时在抛物线上， 综上，a的值可能为，，，不可能为， 故选：C． 【点评】本题综合考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的对称性，分类讨论是解题的关键． 4．（2025•泗洪县一模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，ab＞0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab＜0，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，对称轴位于y轴左侧，则ab＞0，故选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2025•泰州模拟）关于二次函数y＝（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．函数图象与y轴交点坐标为（0，3） C．函数图象的对称轴为直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 【分析】根据所给的表达式可得出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标，据此可解决问题． 【解答】解：由题知，因为二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2+3， 所以函数图象开口向上，故A选项不符合题意； 因为当x＝0时，y＝7，所以函数图象与y轴交点坐标为（0，7）故B选项不符合题意； 函数图象的顶点坐标是（2，3），所以对称轴是直线x＝2，故C选项符合题意； 因为抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝2， 则当x＞2时，y随x的增大而增大． 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，能根据所给表达式得出开口方向、对称轴和顶点坐标是解题的关键． 6．（2025•亭湖区校级三模）我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（　　） A． B．y＝﹣x+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝﹣（x﹣3）2+3 【分析】根据从A到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后他与路灯的距离逐渐增加，可得答案． 【解答】解：由题意，得 从A到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后他与路灯的距离逐渐增加． A、y随x的增加而减少，与题意不符，故A错误； B、y随x的增加而减少，与题意不符，故B错误； C、当x＜3时，y随x的增加而减少；当x＞3时，y随x的增加而增加，故C正确； D、当x＜3时，y随x的增加而增大；当x＞3时，y随x的增加而减少，故D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了函数的性质，熟记一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题关键． 7．（2025•江宁区校级二模）如图，二次函数y＝2x2与yx2的图象与过（0，10）且平行于x轴的直线分别交于A，B两点和C，D两点，则AB：CD的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 【分析】根据题意分别求出A，B，C，D的坐标，从而求得AB和CD的长，即可求得AB与CD的比值． 【解答】解：根据题意：分别求出A，B，C，D的坐标为： 2x2＝10， 解得：， ∴， ∴， 根据题意得：， 解得：， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2025•泗洪县一模）二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为（　　） A．3 B．﹣1或3 C．﹣3或1 D．﹣3或3 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝6时x的值，结合当a≤x≤a+2时函数有最小值6，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当y＝6时，有x2﹣2x+3＝6， 解得：x1＝﹣1，x2＝3． ∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）， 当x＜1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值6，分两种情况讨论： 若1＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是6， ∴a＝3， 若a≤x≤a+2＜2时，当x＝a+2时，y的最小值是6， ∴a+2＝﹣1， 解得a＝﹣3， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝6时x的值是解题的关键． 二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分) 9．（2025•徐州）二次函数y＝x2+x+1的最小值为　　 ． 【分析】先将二次函数解析式配成顶点式，再得出最小值． 【解答】解：∵y＝x2+x+1， ∴最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握顶点式是解题的关键． 10．（2025•盐城）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是　﹣4≤y≤5　 ． 【分析】根据自变量的取值范围利用二次函数的性质确定函数值的取值范围即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵当x＝1时，y＝﹣4， 当x＝4时，y＝（x﹣1）2﹣4＝5， ∴当0≤x≤4时，函数y的取值范围是﹣4≤y≤5， 故答案为：﹣4≤y≤5． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是能够确定二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标并能确定其增减性，难度中等． 11．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　8　 m． 【分析】由题得A（0，1.6），代入y＝a（x﹣3）2+2.5，得出抛物线的解析式为，令y＝0，求解即可， 【解答】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝﹣2， ∴OB为8m， 故答案为：8． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 12．（2025•淮安）若x2﹣3x+1+y＝0，则2x+y的最大值是　　 ． 【分析】根据x2﹣3x+1+y＝0，得到y＝﹣x2+3x﹣1，整体代入代数式，将代数式转化为关于x的二次函数，求最值即可． 【解答】解：由条件可得y＝﹣x2+3x﹣1， ∴； ∴当时，2x+y有最大值为； 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数求最值，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2025•徐州）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列代数式的值为负数的是　①②⑤　 （写出所有正确结果的序号）． ①a； ②2a+b； ③c； ④b2﹣4ac； ⑤a﹣b+c． 【分析】根据抛物线与x轴（y轴）的交点，开口方向，对称轴及特殊点的函数值，逐一判断符号． 【解答】解：由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0； 由图示知，对称轴x1，故2a+b＜0； 由图示知，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0； 由图示知，抛物线与x轴有2个交点，b2﹣4ac＞0． 由图示知，当x＝﹣1时，抛物线在x轴的下方， ∴y＝a﹣b+c＜0， 综上所述，代数式的值为负数的是①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是根据图象与坐标轴的交点，开口方向，对称轴，顶点坐标，特殊点的函数值进行判断． 14．（2025•苏州模拟）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为　8　 ． 【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM，QE，交AD于点M，E，得四边形PMEQ是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 【解答】解：通过点P、Q分别作出两条抛物线的对称轴PM，QE，交AD于点M，E，如图所示， ∴四边形PMEQ是矩形， ∴ME＝PQ， ∴， ， ∴， ∴PQ＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 15．（2025•苏州一模）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的图象以点A（1，m），B（3，m），C（0，﹣m），其中m为常数，且m≠0，则方程ax2+bx﹣2c＝0的解为 　2　 ． 【分析】列出方程组求出a、b、c的值，则方程ax2+bx﹣2c＝0为mx22m＝0，即可求解． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 则方程ax2+bx﹣2c＝0为mx22m＝0， 解得：x＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的求解是解题的关键． 16．（2025•无锡校级一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）若该抛物线与直线y＝x+1有且只有一个交点，则m的值为　　 ； （2）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH＝∠AHO，m的值为　﹣1或﹣2　 ． 【分析】（1）依据题意，令﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝x+1，从而x2﹣（2m﹣1）x+m2+m＝0，又抛物线与直线y＝x+1有且只有一个交点，从而Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2+m）＝0，进而可以判断得解； （2）分为点A在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况画出图形，然后过点A作AG⊥DH，垂足为G，由∠ADH＝∠AHO可得到，然后依据比例关系列出关于m的方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意，令﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝x+1， ∴x2﹣（2m﹣1）x+m2+m＝0． 又∵抛物线与直线y＝x+1有且只有一个交点， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2+m）＝0． ∴m． 故答案为：． （2）∵顶点D在第二象限， ∴m＜0． 当点A在y轴的正半轴上， 如图（1）作AG⊥DH于点G， ∵A（0，﹣m2﹣m+1），D（m，﹣m+1）， ∴H（m，0），G（m，﹣m2﹣m+1） ∵∠ADH＝∠AHO， ∴tan∠ADH＝tan∠AHO， ∴． ∴． ∴m2+m＝0． ∴m＝﹣1或m＝0（舍）． 当点A在y轴的负半轴上，如图（2）．作AG⊥DH于点G， ∵A（0，﹣m2﹣m+1），D（m，﹣m+1）， ∴H（m，0），G（m，﹣m2﹣m+1） ∵∠ADH＝∠AHO， ∴tan∠ADH＝tan∠AHO， ∴． ∴． ∴m2+m﹣2＝0． ∴m＝﹣2或m＝1（舍）． 综上所述，m的值为﹣1或﹣2． 故答案为：﹣1或﹣2． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的顶点坐标，平移与坐标变换、二次函数的性质，锐角三角函数的定义，依据锐角三角函数的定义列出关于m的方程是解题的关键． 17．（2025•灌南县校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是　﹣1＜x＜5　 ． 【分析】依据题意，由抛物线的对称轴是直线x＝2，且与x轴的一个交点为（5，0），从而另一个交点为（2﹣（5﹣2），0），即（﹣1，0），结合抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，进而不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，最后可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝2，且与x轴的一个交点为（5，0）， ∴另一个交点为（2﹣（5﹣2），0），即（﹣1，0）． ∵抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5． 故答案为：﹣1＜x＜5． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 18．（2025•盱眙县模拟）如图，二次函数y＝（x+m）2+k的图象与x轴交于A、B两点，顶点E的坐标为（﹣1，﹣4），线段BE与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC、AE．点F是抛物线上任意一点，若△FAE的面积与△ACE的面积相等，则点F的坐标为 　（﹣2，2﹣2）或（﹣2，2+2）　 ． 【分析】把抛物线的顶点代入可得抛物线的解析式，取y＝0，求得对应的x的值，即可求得点A的坐标，进而求得直线AE的解析式，根据△FAE的面积与△ACE的面积相等可得点F是过点C与AE平行的直线与二次函数的交点，判断出过点C与AE平行的直线，与二次函数联立可得点F的坐标． 【解答】解：∵y＝（x+m）2+k的图象与x轴交于A、B两点，顶点E的坐标为（﹣1，﹣4）， ∴二次函数的解析式为：y＝（x+1）2﹣4； 当y＝0时，0＝（x+1）2﹣4， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴点A的坐标为（﹣3，0）， 设直线AE的解析式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AE的解析式为：y＝﹣2x﹣6， ∵△FAE的面积与△ACE的面积相等， ∴点F是过点C与AE平行的直线与二次函数的交点， ∵点C（0，﹣2）， ∴过点C与AE平行的直线解析式为：y＝﹣2x﹣2， ∴， 解得：或， ∴点F的坐标为 （﹣2，2﹣2）或（﹣2，2+2）． 故答案为：（﹣2，2﹣2）或（﹣2，2+2）． 【点评】本题考查二次函数与x轴交点的相关知识．判断出点F是如何得到的是解决本题的关键． 三．解答题（共7小题，共46分） 19．（6分）（2025•连云港）已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． 【分析】（1）由二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，知函数的最小值小于2a2列式计算即可； （2）根据图象与x轴有交点，Δ≥0，列式计算即可； （3）根据当x＝0时，，即可证明． 【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点， ∴函数的最小值小于2a2， 则， 即2a2﹣4a+2＜2a2， 解得； （2）解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ＝4（a+1）2﹣4×1×（3a2﹣2a+3）＝﹣8a2+16a﹣8＝﹣8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2≤0， 又∵8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2＝0， 解得a＝1； （3）证明：∵当x＝0时，， ∴二次函数的图象不经过原点． 【点评】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，以及二次函数图象的性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 20．（6分）（2025•淮安）已知二次函数ymx+m﹣1（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，则m＝　2　 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围． 【分析】（1）将（2，﹣1）代入解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图象与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和单调性，确定p的取值范围． 【解答】解：（1）将（2，﹣1）代入， 得：， 解得m＝2， 故答案为：2； （2）由题可知， ∵（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2+1＞0， ∴Δ＞0， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴二次函数图象开口向上， ∵y1＜y2， ∴点A（m+1，y1）到对称轴的距离小于点B（m+p，y2）到对称轴的距离， ∴|m+1﹣m|＜|m+p﹣m|， 即|p|＞1， ∴p＞1或p＜﹣1． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．（6分）（2025•南京）（1）将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是　﹣2　 ． （2）平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上．设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m，与y轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化． ①若k＝2，当0≤m≤3时，求n的取值范围． ②设函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在线段AB上．当k取不同值时，下列关于n的变化趋势的描述：（a）n随m的增大而增大；（b）n随m的增大而减小；（c）n随m的增大先增大后减小；（d）n随m的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　（a）（b）　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新直线解析式，由解析式求得平移后的图象与y轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣m）2+km+2，则n＝﹣m2+km+2， ①若k＝2，则n＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【解答】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2， 令x＝0，则y＝﹣2，即平移后的图象与y轴交点的坐标为（0，﹣2）． 故答案为：﹣2； （2）∵平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上，设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m 则平移后的得到为（m，km+2）， ∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣m）2+km+2， 当x＝0时，与y轴交点的纵坐标n＝﹣m2+km+2， ①若k＝2，则n＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3， ∴n是关于m的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线m＝1， ∵m＝3时，n＝﹣（3﹣1）2+3＝﹣1，m＝1时，n＝3， ∴当0≤m≤3时，n的取值范围是﹣1≤n≤3； ②∵函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B， ∴A（，0），B（0，2）， ∴当k＜0时，0≤m， ∵n＝﹣m2+km+2， ∴对称轴为直线m0， ∴当m时，n随m的增大而减小， ∵m≥0， ∴n随m的增大而减小， 当k＞0时，m≤0， ∵n＝﹣m2+km+2， ∴对称轴为直线m0， ∵m≤0， ∴n随m的增大而增大， 故可能的序号是（a）（b）． 故答案为：（a）（b）． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 22．（6分）（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2． （1）OB＝ 　3　 ； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围． 【分析】（1）求出x＝0时，函数的函数值，得到B点坐标，即可得出结果； （2）根据点B′落在x轴正半轴上，得到点B向下平移了3个单位，进而得到点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同，进而求出C的纵坐标，代入函数解析式，求出C点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把D点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图象和性质，进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知B（0，3）， ∴OB＝3； 故答案为：3； （2）∵B（0，3），点B的对应点B′落在x轴正半轴上， ∴点B向下平移3个单位， ∴点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同， ∵点C′的纵坐标为﹣2， ∴点C的纵坐标为﹣2+3＝1； ∵点C在线段AB上，即点C在直线上， ∴当时，， ∴； （3）∵B（0，3），， ∴，把B（0，3）代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点B的对应点B′落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点D（3，y1）关于对称轴的对称点为D′（1，y1）， ∵对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立， ∴m+1＜1或m≥3， ∴m＜0或m≥3． 【点评】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 23．（6分）（2025•无锡）已知二次函数ym（m≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C． （1）若该函数图象经过点，求点A的横坐标； （2）若m＜3，点P（2，y1）和Q（4，y2）在该函数图象上，证明：y1＞y2； （3）若△ABC是等腰三角形，求m的值． 【分析】（1）解：由二次函数ym图象经过点可得m＝3，故3，即点A的横坐标为3； （2）求出y1＝﹣2+2mm，y2＝﹣8+4mm，根据m＜3，可得y1﹣y2＝﹣2+2mm﹣（﹣8+4mm）＝﹣2（m﹣3）＞0，知y1＞y2； （3）求出B（0，m），A（m，m），C（m，0），分三种情况列方程可解得答案． 【解答】（1）解：∵二次函数ym图象经过点，∴m， 解得m＝3， ∴yx2+3x， ∵3， ∴点A的横坐标为3； （2）证明：∵点P（2，y1）和Q（4，y2）在二次函数ym图象上， ∴y1＝﹣2+2mm，y2＝﹣8+4mm， ∵m＜3， ∴y1﹣y2＝﹣2+2mm﹣（﹣8+4mm）＝﹣2（m﹣3）＞0， ∴y1＞y2； （3）解：在ym中，令x＝0得ym， ∴B（0，m）， ∵ym（x﹣m）2m， ∴A（m，m），C（m，0）， 当AB＝AC时，m2+（mm）2＝（m）2， 解得m＝0（舍去）或m； 当AB＝BC时，m2+（mm）2＝m2+（m）2， 解得m＝0（舍去）或m或m（此时A，C重合，舍去）； 当AC＝BC时，（m）2＝m2+（m）2， 解得m＝0（舍去）或m＝﹣2或m； 综上所述，m的值为或﹣2． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形判定，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 24．（8分）（2025•镇江）在平面直角坐标系中，过点T（0，t）作y轴的垂线与二次函数（h、k为常数）的图象交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足PE+PF＝6时，我们称点P是该二次函数图象的T～6生长点． （1）二次函数的图象如图所示． ①在t的不同取值5中，使该函数图象有T～6生长点的t的值是 　2或　 ； ②已知P（m，n）是该函数图象的T～6生长点，猜想n的取值范围，并说明理由． （2）二次函数（h、k为常数）的图象经过点（6，1），若P（3，5）是该函数图象的T～6生长点，求该函数的表达式． 【分析】（1）①令，得到．，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点P在直线EF上，得到n＝t，由①可知，再根据y＝t与的图象有2个交点，得到n＞0，即可得出结果； （2）把（6，1）代入函数表达式，得到，令，得到，，分3种情况求解即可． 【解答】解：（1）①当时，， ∴，， ∴， ∴当t＝2时，EF＝4， 此时在线段EF的延长线上或线段FE的延长线上，存在点P使PE+PF＝6，满足题意； 当时，， ∴当点P在线段EF上时，PE+PF＝EF＝6，满足题意； 当t＝5时，， ∴直线EF上不存在点P使PE+PF＝6，不满足题意； 综上：使该函数图象有T～6生长点的t的值是2，； 故答案为：2或； ②猜想，理由如下： ∵点P在直线EF上， ∴n＝t， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，EF＞6，此时直线EF上不存在点P使PE+PF＝6， ∴； 又∵过点T（0，t）作y轴的垂线与的图象交于点E，F， 而的最小值为y＝0， ∴n＞0； ∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图象经过点（6，1）， ∴； ∵P（3，5）是该函数图象的T～6生长点， ∴t＝5， 当时，则（x﹣h）2＝2（5﹣k）， ∴， ∴，， ∴； ①当点P在线段EF上时，则， ∴， 解得， 把代入，得：h＝5或h＝7， 当h＝5时，E（2，5），F（8，5），满足题意； 当h＝7时，E（4，5），F（10，5）， 此时点P不在线段EF上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点P在点E的左侧时，则PE＝h﹣2（5﹣k）﹣3，， ∴， ∴2h＝12， ∴h＝6， 把h＝6，代入，得：k＝1， 此时，，5），符合题意； ∴y； ③当点P在点F的右侧时，则，， ∴， ∴h＝0， 把h＝0，代入，得：k＝﹣17， ∴， 此时，， 点P不在点F的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，新定义，是解题的关键． 25．（8分）（2025•宿迁）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于k的点叫“k阶近轴点”，所有的“k阶近轴点”组成的图形记为图形W．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． （1）下列函数图象上存在“1阶近轴点”的是 　①　 ； ①；②y＝﹣x+3；③y＝x2﹣2x+3． （2）若一次函数y＝2x+m的图象上存在“3阶近轴点”，求实数m的取值范围； （3）特别地，当点P在图形W上，且横坐标是纵坐标的k倍时，称点P是图形W的“k阶完美点”，若二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+2的图象上有且只有一个“2阶完美点”，求实数a的取值范围． 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数y＝2x+m的图象上“3阶近轴点”的坐标为（t，2t+m），根据题意列出不等式组，进而得出关于t的不等式组有解，列出关于m的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为（2c，c），由题意得﹣2≤2c≤2，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数y＝ax2﹣ax﹣2a+2与函数只有一个交点，设函数，则函数y1与x轴的交点的横坐标有且只有一个满足﹣2≤x≤2，根据函数y1与x轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）经过点（1，1），点（1，1）是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设y＝﹣x+3存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为（m，﹣m+3）， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴y＝﹣x+3图象上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2． ∴函数y＝x2﹣2x+3的最小值为2， ∴函数y＝x2﹣2x+3图象上的点到x轴的距离大于等于2， ∴函数y＝x2﹣2x+3不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图象上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）设一次函数y＝2x+m的图象上“3阶近轴点”的坐标为（t，2t+m）， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数y＝2x+m的图象上存在“3阶近轴点”， ∴关于t的不等式组有解， ∴或， 解得：3≤m≤9或﹣3＜m＜3或﹣9≤m≤﹣3，即﹣9≤m≤9， ∴实数m的取值范围为﹣9≤m≤9； （3）设“2阶完美点”的坐标为（2c，c）， 由题意得，﹣2≤2c≤2， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+2的图象上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数y＝ax2﹣ax﹣2a+2与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数， 则函数y1与x轴的交点的横坐标有且只有一个满足﹣2≤x≤2， 当x＝2时，， 若函数y1与x轴有2个交点，则当x＝﹣2时，有y1≤0， ∴， 解得：； 若函数y1与x轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则y1与x轴的交点的横坐标为， ∵， ∴，符合题意； 当，则y1与x轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为或． 【点评】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，理解“k阶近轴点”和“k阶完美点”的定义是解题的关键．本题属 于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷12 二次函数的性质及二次函数与方程不等式 （时间：90分钟 满分：100分 得分 ） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分) 1．（2025•淮安区模拟）抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5） 2．（2025•淮安校级模拟）若二次函数y＝﹣x2+3的图象经过点（﹣3，y1）、（﹣4，y2），则y1、y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定 3．（2025•南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•泗洪县一模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•泰州模拟）关于二次函数y＝（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．函数图象与y轴交点坐标为（0，3） C．函数图象的对称轴为直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 6．（2025•亭湖区校级三模）我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（　　） A． B．y＝﹣x+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝﹣（x﹣3）2+3 7．（2025•江宁区校级二模）如图，二次函数y＝2x2与yx2的图象与过（0，10）且平行于x轴的直线分别交于A，B两点和C，D两点，则AB：CD的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 8．（2025•泗洪县一模）二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为（　　） A．3 B．﹣1或3 C．﹣3或1 D．﹣3或3 二．填空题（共10小题） 9．（2025•徐州）二次函数y＝x2+x+1的最小值为　 　 ． 10．（2025•盐城）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是　 　 ． 11．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　 　 m． 12．（2025•淮安）若x2﹣3x+1+y＝0，则2x+y的最大值是　 　 ． 13．（2025•徐州）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列代数式的值为负数的是　 　 （写出所有正确结果的序号）． ①a；②2a+b；③c；④b2﹣4ac；⑤a﹣b+c． 14．（2025•苏州模拟）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为　 　 ． 15．（2025•苏州一模）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的图象以点A（1，m），B（3，m），C（0，﹣m），其中m为常数，且m≠0，则方程ax2+bx﹣2c＝0的解为 　 　 ． 16．（2025•无锡校级一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）若该抛物线与直线y＝x+1有且只有一个交点，则m的值为　 　 ； （2）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH＝∠AHO，m的值为　 　 ． 17．（2025•灌南县校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是　 　 ． 18．（2025•盱眙县模拟）如图，二次函数y＝（x+m）2+k的图象与x轴交于A、B两点，顶点E的坐标为（﹣1，﹣4），线段BE与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC、AE．点F是抛物线上任意一点，若△FAE的面积与△ACE的面积相等，则点F的坐标为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 19．（6分）（2025•淮安）已知二次函数ymx+m﹣1（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，则m＝　 　 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围． 20．（6分）（2025•连云港）已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． 21．（6分）（2025•南京）（1）将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是　 　 ． （2）平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上．设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m，与y轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化． ①若k＝2，当0≤m≤3时，求n的取值范围． ②设函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在线段AB上．当k取不同值时，下列关于n的变化趋势的描述：（a）n随m的增大而增大；（b）n随m的增大而减小；（c）n随m的增大先增大后减小；（d）n随m的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　 　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 22．（6分）（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2． （1）OB＝ 　 　 ； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围． 23．（6分）（2025•无锡）已知二次函数ym（m≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C． （1）若该函数图象经过点，求点A的横坐标； （2）若m＜3，点P（2，y1）和Q（4，y2）在该函数图象上，证明：y1＞y2； （3）若△ABC是等腰三角形，求m的值． 24．（8分）（2025•镇江）在平面直角坐标系中，过点T（0，t）作y轴的垂线与二次函数（h、k为常数）的图象交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足PE+PF＝6时，我们称点P是该二次函数图象的T～6生长点． （1）二次函数的图象如图所示． ①在t的不同取值5中，使该函数图象有T～6生长点的t的值是 　 　 ； ②已知P（m，n）是该函数图象的T～6生长点，猜想n的取值范围，并说明理由． （2）二次函数（h、k为常数）的图象经过点（6，1），若P（3，5）是该函数图象的T～6生长点，求该函数的表达式． 25．（8分）（2025•宿迁）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于k的点叫“k阶近轴点”，所有的“k阶近轴点”组成的图形记为图形W．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． （1）下列函数图象上存在“1阶近轴点”的是 　 　 ； ①；②y＝﹣x+3；③y＝x2﹣2x+3． （2）若一次函数y＝2x+m的图象上存在“3阶近轴点”，求实数m的取值范围； （3）特别地，当点P在图形W上，且横坐标是纵坐标的k倍时，称点P是图形W的“k阶完美点”，若二次函数y＝ax2﹣ax﹣2a+2的图象上有且只有一个“2阶完美点”，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $