精品解析：广东省揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

惠来一中2025—2026学年度第一学期期末质检考试 八年级数学试题 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列代数式中，属于单项式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 老师拿着一个装有某几何体的盒子，并描述了这个几何体的两个特征： 特征①：它由五个面组成，这些面中只有三角形和长方形； 特征②：它一共有9条棱． 则盒子里面放的几何体是（　　） A. 长方体 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 五棱锥 4. 若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. 50 B. 45 C. 11 D. 43 6. 已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（ ） A. 4 B. C. 或4 D. 或 7. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 6 D. 24 8. 若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A. 18 B. 20 C. 22 D. 25 9. 已知一次函数，当时，，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. m的值不存在 10. 已知动点以每秒厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（ ） ①动点的速度是； ②的长度为； ③当点到达点时的面积是； ④的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，，且，则的值是______． 12. 若设的整数部分为a，则a的值是______． 13. 若点和点关于y轴对称，则的值为________． 14. 如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______． 15. 设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，则的值_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题．每小题7分，共21分． 16. 解方程组：． 17. 先化简，再求值：．其中， 18. 如图，在四边形中，，点在上，连接． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的情况下，若，，求． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）连接，试判断的形状，并写出证明过程； （2）求这块空地的面积． 20. 春节是中国的传统节日，民间有春节吃汤圆的习俗，在春节来临之际，某校七、八年级，开展了“包汤圆”实践活动，对学生的包汤圆情况按10分制进行评分，成绩为不低于6的整数分，为了解这次活动的效果，从这两个年级各随机抽取了10名学生的成绩作为样本，整理并绘制成如图的统计图表，已知八年级10名学生成绩的中位数为8.5分，请完成下列问题： 八年级10名学生成绩统计表 成绩（分） 人数（人） （1）样本中，七年级成绩为7分的学生有______人，七年级成绩的众数为______分；统计表中，______，______； （2）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，通过计算判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高？ 21. 列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元． （1）若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗各多少棵？ （2）若购进A种树苗a棵，所需总费用为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进A种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 23. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F． （1）求点A，B的坐标； （2）设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； （3）在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠来一中2025—2026学年度第一学期期末质检考试 八年级数学试题 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列代数式中，属于单项式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握由数字与字母的乘积组成的式子是单项式是解题的关键，还要注意分母中不能有字母．根据单项式的定义，逐一判断即可． 【详解】∵、含有加法运算，不是单项式； 、分母中含字母，不是单项式； 、是数字与字母的乘积； 、含有加法运算，不是单项式． ∴选项是单项式 故选：． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法和二次根式的运算，需运用平方差公式、指数法则、二次根式加减和完全平方公式进行判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 老师拿着一个装有某几何体的盒子，并描述了这个几何体的两个特征： 特征①：它由五个面组成，这些面中只有三角形和长方形； 特征②：它一共有9条棱． 则盒子里面放的几何体是（　　） A. 长方体 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 五棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体，熟练掌握各基本几何体的特征是解题的关键． 根据题干中几何体的两个特征，对四个选项逐一分析判断，即可得出答案． 【详解】解：A．长方体有六个面，故此选项不符合题意； B．三棱锥有四个面，故此选项不符合题意； C．三棱柱有三个侧面，都是长方形，上、下底面都是三角形，有三条侧棱，上、下底各有三条棱，共有9条棱，故此选项符合题意； D．五棱锥的侧面是三角形，底面是五边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定符合此函数的解析式是解答此题的关键． 先把点代入正比例函数，求出k的值，可得出此函数的解析式，再把各点代入此函数的解析式进行检验即可解答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴正比例函数的解析式为． A．由当时，，则不在正比例函数的图象上，故本选项错误； B．由当时，，则不在正比例函数的图象上，故本选项错误； C．由当时，，则不在正比例函数的图象上，故本选项错误； D．由当时，，则在正比例函数的图象上，故本选项正确． 故选：D． 5. 已知，，则（ ） A. 50 B. 45 C. 11 D. 43 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用以及幂的乘方的逆用，解题的关键是熟练掌握运算法则． 由于，所以分解为，再代入计算即可． 【详解】解：，， ． 故选B． 6. 已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（ ） A. 4 B. C. 或4 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标系中点的坐标、解一元一次方程，根据题意得，，再分类讨论即可求解． 【详解】解：∵点M到两坐标轴的距离相等， ∴，即， 当时，， 当时，， 故选：C． 7. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 6 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 8. 若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A. 18 B. 20 C. 22 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，将解代入方程组，得到关于m和n的方程，解出m和n后计算的值． 【详解】∵是方程组的解， ∴ 解得， ∴． 故选：D． 9. 已知一次函数，当时，，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. m的值不存在 【答案】B 【解析】 【分析】结合一次函数的性质，对m分类讨论，当时，一次函数y随x增大而增大，此时，且，；当时，一次函数y随x增大而减小，此时，且，；最后利用待定系数法求解即可． 【详解】当时，一次函数y随x增大而增大， ∴当时，且当时，， 把，代入，解得， 把，代入，解得， ∴此时m的值不存在， 当时，一次函数y随x增大而减小， ∴，且，， 把，代入，解得， 把，代入，解得， ∴符合题意， ∴故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键． 10. 已知动点以每秒厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（ ） ①动点的速度是； ②的长度为； ③当点到达点时的面积是； ④的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，     ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，     ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示，     ，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故①正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故②错误， 时，当点H在上，三角形面积逐渐减小， ∴动点H由点C运动到点D共用时， ∴， ∴， 在D点时，的高与相等，即， ∴，故③正确， ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故④错误． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时，故⑤正确． 综上分析可知，正确的有①③⑤，共计3个，故B正确． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，，且，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的乘法运算，已知字母的值求代数式的值，根据绝对值的性质确定a的值，结合b的符号和的条件，选择符合条件的a值，再计算． 【详解】解：因为， 所以或， 又因为，且， 所以a与b同号， 故， 则， 故答案为． 12. 若设的整数部分为a，则a的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，通过估算的范围，确定的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即 ， ∴整数部分． 故答案为 3． 13. 若点和点关于y轴对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，求代数式的值，根据关于轴对称的点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得出，，代入所求代数式计算即可得出结果，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，结合三角形内角和定理 ，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ∵直角三角形纸片中，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15. 设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，则的值_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据题意求出三角形面积的式子是解答此题的关键． 根据直线的解析式求出直线与两坐标轴的交点坐标，进而用含k的式子表示出直线与两坐标轴围成的三角形的面积，并将式子变形，最后令k分别等于进行求解即可． 【详解】解：当时， ， 当时， 解得， ∴三角形面积 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题．每小题7分，共21分． 16. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．先化简，再利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】解：原方程组可化为， 即， 得，， 解得：． 得，， 解得：． 所以原方程组的解为． 17. 先化简，再求值：．其中， 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式的加减乘除运算法则以及完全平方公式即可化简，再将，代入化简后的式子即可解答． 【详解】解：原式= = 当，时，． 【点睛】本题考查了整式乘除的混合运算，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则． 18. 如图，在四边形中，，点在上，连接． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的情况下，若，，求． 【答案】（1） 解：如下图即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线，角平分线的有关计算，三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法作图即可． （2）由三角形内角和定理得出，由平行线的性质得出，再根据角平分线的定义即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）连接，试判断的形状，并写出证明过程； （2）求这块空地的面积． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的判定方法是关键． （1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解； （2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 20. 春节是中国的传统节日，民间有春节吃汤圆的习俗，在春节来临之际，某校七、八年级，开展了“包汤圆”实践活动，对学生的包汤圆情况按10分制进行评分，成绩为不低于6的整数分，为了解这次活动的效果，从这两个年级各随机抽取了10名学生的成绩作为样本，整理并绘制成如图的统计图表，已知八年级10名学生成绩的中位数为8.5分，请完成下列问题： 八年级10名学生成绩统计表 成绩（分） 人数（人） （1）样本中，七年级成绩为7分的学生有______人，七年级成绩的众数为______分；统计表中，______，______； （2）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，通过计算判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高？ 【答案】（1）1，8，2，3 （2）本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，中位数，众数，平均数，明确相关概念的定义，能从统计图中获取信息是解题的关键． （1）将七年级活动成绩为7分的比例乘以10即可得到成绩为7分的学生数；根据众数的定义可知七年级活动成绩的众数；根据八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，可知成绩由低到高排列第5位的成绩为8分，第6位的成绩为9分，由此可确定，的值； （2）分别求出七，八年级的平均分和优秀率，再比较即可． 【小问1详解】 解：，（人， 七年级活动成绩为7分的学生有1人； 七年级活动成绩中8分出现的次数最多， 七年级活动成绩的众数为8分． 八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分， 成绩由低到高排列第5位的成绩为8分，第6位的成绩为9分， 即，． 故答案为：1，8，2，3； 【小问2详解】 解：不是，理由如下： 结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为，八年级的优秀率为， 七年级的平均成绩为（分， 八年级的平均成绩为（分， ，， 本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高． 21. 列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元． （1）若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗各多少棵？ （2）若购进A种树苗a棵，所需总费用为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进A种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1）购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵 （2）①；②购进A种树苗9棵，B种树苗8棵时费用最省，此时费用为1200元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，能够根据一次函数的性质得出最省方案是解题的关键． （1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗棵，根据“若购进A，B两种树苗刚好用去1220元”列出方程求解即可； （2）①根据所需总费用种树苗的费用种树苗的费用列式可得； ②根据“若购进A种树苗的数量不低于9棵”列出不等式，求出x的取值范围，利用一次函数的性质可得x的值，进而可得最省方案． 【小问1详解】 解：设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗棵，根据题意得： ， 解得， ， 答：购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵； 【小问2详解】 ①根据题意得： ； ②， ，且a为正整数， ， 随a的增大而增大， 当时，w最小，且最小值为元， 此时， 答：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵时费用最省，此时费用为1200元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 【答案】(1)，； (2) (3) 证明：延长至点，使，连接， 由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； （3）延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴，， ∴， 解得． （3）略 23. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F． （1）求点A，B的坐标； （2）设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； （3）在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】（1）， （2） （3）28 【解析】 【分析】（1）令，得以关于的一元一次方程，令，得到的值，解方程后即可得出点，的坐标； （2）确定的解析式为，表示出，再根据定值的条件即可得解； （3）分①当时，②当时两种进行讨论即可． 【小问1详解】 解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B， ∴当时，得：， 解得：， 当时，得：， ∴，； 【小问2详解】 解：设的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴的解析式为， ∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，， ∴，， ∴， ∵为定值，即为定值， ∴， 解得：； 【小问3详解】 ①当时， （定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即， ∴长方形周长的最大值：， ②当时， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∴， ∴长方形的周长为：， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，长方形周长的最大值为：， 综上所述，长方形周长的最大值为． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数的解析式，两点之间的距离，长方形的周长，一次函数的图像与性质等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $