精品解析：甘肃兰州新区贺阳高级中学2026届高三上学期1月月考数学试题

贺阳教育集团兰州校区高中部高三1月月考 高三数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前请填好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再求交集可得答案. 【详解】集合或， 所以 故选：D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的向量坐标运算列式求得或，再根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】向量，，由，得， 解得或，由能推出或成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出定义域，再求出内层函数在定义域内的单调区间，然后由复合函数“同增异减”判断单调性的方法可得答案 【详解】令，解得， 令，则， ∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增， ∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是 故选：C 4. 若，则=（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出. 【详解】由，得，所以. 故选：B 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性及特殊点函数值即可判断. 【详解】由，可得定义域为， 又， 函数为偶函数，故排除D， 又，结合图像可排查BC， 故选：A 6. 已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可． 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出，则 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以 则； 故选B 8. 的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的对称性，作出图形，结合对称性与三角形的面积公式可求得所求区域的面积. 【详解】由得，解得，即函数的定义域为， 因为， 所以， 所以函数的图象关于点对称， 因为，，记点、， 如下图所示： 结合对称性质可知，的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积等于的面积， 所求区域的面积等于. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. 的虚部为 D. 若复数满足，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先化简复数，再根据复数的模，复数的几何意义，复数的运算及虚部的概念可判断A、B、C；由，根据复数的几何意义得到复数的轨迹，从而得到复数的取值范围即可判断D. 【详解】由题意，得. 对于A，，故A正确； 对于B，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B不正确； 对于C，的虚部为，故C正确； 对于D，由知，的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离， ，，即，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知在处取得极小值，与该极小值点相邻的一个对称中心为，则（ ） A. B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数的图象性质以及图象的平移变换即可一一判断求解. 【详解】对于A，的极小值为， 的最小正周期，又， ∴， ， 解得：， ，故A错误； 对于B，由的图象向左平移个单位长度得到，故B正确； 对于C，由得，则在区间上单调递减，故C正确；对于D，， 在区间上的值域为，故D错误. 故选：BC 11. 已知 是抛物线 的焦点，不过原点的直线 与抛物线相交于 、 两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线过点，则的最小值为2 B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为 C. 若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2 D. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，联立方程组，求得，由，可判定A错误；根据抛物线的焦半径公式，求得，结合斜率和倾斜角的定义，可判定B正确；分析直线过抛物线的焦点和直线不过抛物线的焦点，两种情况讨论可求得到轴的距离，可判定C正确；根据抛物线的定义过点作，得到以为直径的圆与准线相切，可判定D正确. 【详解】由抛物线的焦点，准线方程为，设， 对于A，根据抛物线的定义，可得， 则， 设，联立方程组，整理得， 则，所以， 所以，所以的最小值为，所以A错误； 对于B，由抛物线的定义，可得，解得，则. 因为点在第一象限，可得，即，所以， 设的倾斜角为，可得，所以，所以B正确； 对于C，当直线过抛物线的焦点时，则， 可得，因为是线段的中点，所以， 所以到轴的距离为； 当直线不过抛物线的焦点时，可得， 所以，解得. 因为是线段的中点，所以，即到轴的距离大于， 综上可得，所以到轴的距离的最小值为，所以 C正确； 对于D，由直线过抛物线的焦点，过分别作，垂足分别为， 根据抛物线的定义，可得，且 在过点作，垂足为，可得， 所以以为直径的圆与准线相切. （几何直观）由图可知，为钝角，所以，所以原点在以为直径的圆的圆内. （代数证明）设，由A可知，，， ，， ，所以， 故原点在以为直径的圆的圆内，所以D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.） 12. 已知点在直线上，当时，的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】因为点在上，所以. 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 13. 已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出切线方程，然后利用导数几何的意义求得曲线的切点坐标，即可求解. 【详解】设，则，又，所以， 则切线方程为， 设，则，令，解得， 所以. 故答案为：2 14. 在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积. 【详解】如图： 在中，，，所以. 取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为. 连接，因为，所以. 又（）. 所以，即. 又平面，，所以平面. 所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，, 由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求A； （2）若，点D在边BC上，，求AD． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求解作答. （2）利用（1）的结论，结合同角公式及和角的余弦公式求出三角函数值，再利用正弦定理求解作答. 【小问1详解】 在中，由，得：，由余弦定理得， 即，整理得，由余弦定理得， ，而， 所以. 【小问2详解】 因为，即，而，则，， 所以， 又，则，显然是锐角三角形， 由， 所以， 所以在中， 16. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为， 所以当时，，解得； 当时，， 所以，即， 所以，又． 所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案； （2）由（1）可得的通项，利用错位相减法，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，．所以， 则，① ，② —②有． 所以 17. 四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD． （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值． 【答案】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以 ，因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面PBD，因为平面PBD， 故 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直和面面垂直的条件可得线面垂直，故得线线垂直； （2）由（1）的结论，结合题设条件，建立空间直角坐标系，分别求出相关点的坐标，计算两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设，则O为AC、BD的中点， 由可得， 又因为平面PBD，平面PBD，所以， 因为，AC、平面ABCD， 所以平面ABCD， 故可以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 且为PA与平面ABCD所成角， 由于四边形ABCD为边长为，的菱形， 所以， 则，，，，， 由，∴， 得，且 设平面的法向量为， 则，,故可取， 又平面BCD的一个法向量为， 所以， 所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为 18. 已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （i）由题意可知，直线斜率存在且不为，则设， 故， 联立，得，， 设， 则，， 则，， 则，， 则直线的斜率的倒数为， 则直线的方程为 ， 则直线恒过定点； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组即可求出； （2）（i）设，，联立方程组求出两点坐标，根据坐标求出直线的方程即可； （ii）根据（i）可得，再令，通过求导研究其最值即可. 【小问1详解】 由题意可得，，，， 解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）略； （ii）由（i）可得， ， 令，则，求导得 令，则 对称轴为，，故存在使得， 则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 因， 则当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 因此，当时，的面积有最大值. 19. 已知函数． （1）当时，求证：单调递增； （2）若在上不单调，求的取值范围； （3）当时，证明：在上的最小值为1．（参考数据：） 【答案】（1） 当时，，， 令，， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 则，即恒成立， 故单调递增. （2） （3） 由（2）知，当时，在单调递增，所以； 当时，由（2）知，在单调递增，在单调递减，如图， 则时，有两个根， 又，，所以不妨取， 当，，即， 同理可得或，，所以时，，单调递增， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以， 令，， 所以时，，单调递减，又， 所以在上恒成立，即，又， 故此时的最小值为1， 综上,当时，在上的最小值为1. 【解析】 【分析】（1）求导，令，继续求导，根据导数确定单调性，可得，即，故得证； （2）求导，又，发现，若在上单调，即，即，令，利用导数得到最值，结合即可得到不单调时的范围； （3）由（2）知，当时，易得在单调递增，所以，当，结合（2）中的单调性，可得有2个解，且 ，由此可得，令，利用导数可证，即，结合即可证明. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，因为，所以， 若在上单调，则有解，即在恒成立， 即，令，， 所以时，，单调递增，时，，单调递减， ，则时，在上单调， 所以若在上不单调，则. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺阳教育集团兰州校区高中部高三1月月考 高三数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前请填好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则=（ ） A. B. 5 C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 8. 的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. 的虚部为 D. 若复数满足，则的取值范围为 10. 已知在处取得极小值，与该极小值点相邻的一个对称中心为，则（ ） A. B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的值域为 11. 已知 是抛物线 的焦点，不过原点的直线 与抛物线相交于 、 两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线过点，则的最小值为2 B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为 C. 若，线段的中点为，则到轴的距离最小值是2 D. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.） 12. 已知点在直线上，当时，的最小值为______． 13. 已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 14. 在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求A； （2）若，点D在边BC上，，求AD． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 17. 四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD． （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 19. 已知函数． （1）当时，求证：单调递增； （2）若在上不单调，求的取值范围； （3）当时，证明：在上的最小值为1．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $