精品解析：湖南省株洲市天元区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025年秋季义务教育质量监测初中九年级数学素养卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题） 1. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货4件应记作（ ） A. B. C. D. 4 2. 以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（ ） A. 中国移动 B. 中国电信 C. 中国网通 D. 中国联通 3. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 一个数的绝对值等于3，则这个数是（ ） A. B. C. 3 D. 5. 若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 7. 道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，连接，已知，则添加下列条件，还不能证明的是（ ） A. B. C. D. 10. 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 11. 的值是_________． 12. 关于的一元二次方程的其中一个解是_________． 13. 为激发青少年对科学知识探索热情，培养其动手实践能力和严谨的科学思维，某校成功举办了“杠杆平衡的条件”科学实验活动．下表是某小组记录的部分实验数据，由表中数据关系可知，动力F和动力臂x（）的函数关系是_________． 动力F（N） 24 12 8 6 …… 动力臂x（cm） 1 2 3 4 …… 14. 如图，中，，①以A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，②分别以E、F为圆心，以大于线段为半径画弧，两弧交于点P，③作射线交于点D．若，则_________． 15. 学校为选拔英才班选手，对甲、乙两名同学进行了4次模拟测试．已知两人成绩的方差分别为：，，且两人4次测试成绩如下：甲平均数乙平均数，根据平均数和方差，应选_________同学参赛．（填“甲”或“乙”） 16. 定义：若关于x的一元二次方程的两个解，满足，，且，则称这个方程为“量子m阶方程”．已知关于x的方程是一个“量子6阶方程”，则 ①用含k的代数式表示n为_________，的值是_________． 二、解答题（共8小题） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，孔明同学周末去神龙湖玩，他看见湖中一小块地上长有漂亮的水杉，旁边有一人问，能隔水测量出水杉的高度吗？孔明说：可以． 活动课题 隔水测量水杉的高度 背景示意图及抽象图 测量方案与测量数据 在水岸边点A处，测得树顶端D点的仰角为，再从A点出发沿斜坡走到达点B处，测得大树顶端D点的仰角为；测得斜坡的坡度．已知点A、B、C、D、M都在同一平面上，且在同一水平线上． 参考数据 ， 请帮助孔明同学求出水杉的高度（结果精确到）． 20. 2025年株洲市承办湘超期间对部分路段进行限行，免费提供中型、大型客车接送观众．已知1辆大型客车和1辆中型客车共可坐54人，1辆大型客车和3辆中型客车共可坐92人，每辆中型客车每天运营成本约800元，每辆大型客车每天运营成本约1000元． （1）求每辆中型客车和大型客车分别可以乘坐多少人？ （2）某日的湘超计划用两种型号的客车共200辆，且当天的运营成本不超过178000元，请问计划每天至少可以用中型客车多少辆？ 21. 孔明喜欢骑自行车玩，如图1是一辆自行车，图2是后轮及部分车架示意图：车架斜杆交车轮于点C，延长斜杆与交于另一点D，与地平线交于点A，连接，车架横杆与交于点E．已知，车轮与地平线是相切的，点B是切点． （1）若，求度数； （2）若，，①求自行车的半径；②求线段的长度． 22. 增强体质、促进身心健康，国家规定义务教育阶段中小学生每天在校体育活动时间不低于2小时．为检测成果，某校组织抽样测试九年级1分钟跳绳次数，其统计表和频数分布直方图如图所示． 九年级抽样测试学生1分钟跳绳次数频率分布表 组号 成绩x的范围 频率 A B C D a E （1）统计表中，_________，样本容量_________； （2）把频数分布直方图补充完整，注明频数；在频数分布直方图上画出频数分布折线图； （3）频数分布直方图的横轴上注明的是每个小组的“组中值”，在统计中，小组的平均成绩可以用这个“组中值”来估算．孔明按以下方法估算参加测试学生跳绳次数的平均数是：．请你判断孔明的算式是否正确，若不正确，写出正确的算式，并计算出结果． 23. 已知二次函数（的图像经过点，抛物线上两点，，满足，直线与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，，若，且，求线段的长度； （3）已知，，点P是直线下方抛物线上一点，作轴，交于点Q，若线段的最大值是8，求直线的解析式． 24. 作为几何三大变换的轴对称，平移和旋转，有着神奇魅力，它不仅考验学生的逻辑思维能力，更考验学生的空间思维能力． 如图1，是直角三角形，． 【初步研究】 （1）把图1中的沿线段的垂直平分线作轴对称变换后得到，与原图形组成了图2所示的图形；连接，请从下面两种方法中选择其中一种证明：四边形是矩形； 【法一】有一个角是直角平行四边形是矩形；【法二】对角线相等的平行四边形是矩形； 【继续探索】 （2）在图1中，已知，，把图2中的沿向右平移，得到，与交于点O，与交于点F，求线段的长； 【深度探索】 （3）把图2中绕点A逆时针旋转得到，如图3所示，分别取、的中点M、N，连接，，与交于点P．问：点P是否是线段的中点？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季义务教育质量监测初中九年级数学素养卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题） 1. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货4件应记作（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正数和负数，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴进货10件记作，那么出货4件应记作． 故答案为：C． 2. 以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（ ） A. 中国移动 B. 中国电信 C. 中国网通 D. 中国联通 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 4. 一个数的绝对值等于3，则这个数是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质即可求得答案． 【详解】解：∵一个数的绝对值等于3， ∴这个数是， 故选：B． 5. 若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”．用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．据此求解即可． 【详解】解：在数轴上表示如下： 故选：D． 6. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0即可得到答案． 【详解】解：由题意得，函数的自变量x的取值范围是， 故选：B． 7. 道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式．菱形面积（a、b是两条对角线的长度），由此即可计算． 【详解】解：四边形是菱形， 菱形的面积， 故选：B． 8. 如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证出可得，再用邻补角定义求解即可．本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 在和中，， ， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，四边形中，连接，已知，则添加下列条件，还不能证明是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理． 熟练运用三角形全等的判定定理，如、、、，以及直角三角形特有的证明定理．根据已知条件，结合全等三角形的判定定理，逐一分析每个选项是否能证明． 【详解】解：， ． A、，，，不可证，故A符合题意； B、，，，可证，故B不符合题意； C、， ． ，， ，故C不符合题意； D、，，，可证，故D不符合题意； 故选：A． 10. 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接，结合正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，同理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接， ， ， 四边形、、是正方形， ，， ，, ， ， ， ， （）， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 同理可证：四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，能添加恰当的辅助线，构建平行四边形是解题的关键． 二、填空题（共6小题） 11. 的值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12. 关于的一元二次方程的其中一个解是_________． 【答案】2（或9） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或， 解得或， 故答案为：2（或9）． 13. 为激发青少年对科学知识的探索热情，培养其动手实践能力和严谨的科学思维，某校成功举办了“杠杆平衡的条件”科学实验活动．下表是某小组记录的部分实验数据，由表中数据关系可知，动力F和动力臂x（）的函数关系是_________． 动力F（N） 24 12 8 6 …… 动力臂x（cm） 1 2 3 4 …… 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．由表中数据计算可得动力与动力臂的乘积为定值，该定值为24，故F与x的函数关系为反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：由表中数据：， ∴，即F与x的函数关系为反比例函数， 关系式为， 故答案为：． 14. 如图，中，，①以A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，②分别以E、F为圆心，以大于线段为半径画弧，两弧交于点P，③作射线交于点D．若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，由作图可知平分，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知平分， 即． 故答案为：． 15. 学校为选拔英才班选手，对甲、乙两名同学进行了4次模拟测试．已知两人成绩的方差分别为：，，且两人4次测试成绩如下：甲平均数乙平均数，根据平均数和方差，应选_________同学参赛．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，两人平均成绩相同，乙方差较小，成绩更稳定，即可求解． 【详解】解：甲和乙的平均成绩相等， ，，， 乙的成绩方差小，更稳定， 因此应选乙同学参赛． 故答案为乙． 16. 定义：若关于x的一元二次方程的两个解，满足，，且，则称这个方程为“量子m阶方程”．已知关于x的方程是一个“量子6阶方程”，则 ①用含k的代数式表示n为_________，的值是_________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解、根与系数的关系以及新定义的理解与应用．解题的关键在于根据“量子m阶方程”的定义，结合已知条件列出关于k和n的方程，进而求解．根据“量子m阶方程”的定义，首先利用条件得到n与k的关系式；再根据条件，结合根与系数的关系建立方程，解出k的值，并验证根的大小关系及判别式是否满足要求． 【详解】解：方程，则，，． ， ，简化得． 即． 由定义，，其中，， 代入得，即． 方程化为（因）． 设根为和， 由根与系数的关系，，． 将代入，得． 代入积的关系：，即． 去分母，得， 即． 解得或． 验证：当时， 判别式． ，， 则，且，满足． 当时，判别式． ，． 则，且，满足． 故或． 故答案为：；或． 二、解答题（共8小题） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、特殊角的三角函数值，先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂和三角函数，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的加减法法则把所给分式化简，然后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图，孔明同学周末去神龙湖玩，他看见湖中一小块地上长有漂亮的水杉，旁边有一人问，能隔水测量出水杉的高度吗？孔明说：可以． 活动课题 隔水测量水杉的高度 背景示意图及抽象图 测量方案与测量数据 在水岸边点A处，测得树顶端D点的仰角为，再从A点出发沿斜坡走到达点B处，测得大树顶端D点的仰角为；测得斜坡的坡度．已知点A、B、C、D、M都在同一平面上，且在同一水平线上． 参考数据 ， 请帮助孔明同学求出水杉的高度（结果精确到）． 【答案】的高为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质． 作交延长线于E，作交延长线于F，则，设，则，根据勾股定理求出，即，，证明四边形是矩形，得到，，设，则，，根据求解即可． 【详解】解：如图，作交延长线于E，作交延长线于F， 则． 设， ∵斜坡的坡度， ∴， ∵从A点出发沿斜坡走到达点B处， ∴ ∴， 解得：（负值舍去） ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴ ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 即的高为． 20. 2025年株洲市承办湘超期间对部分路段进行限行，免费提供中型、大型客车接送观众．已知1辆大型客车和1辆中型客车共可坐54人，1辆大型客车和3辆中型客车共可坐92人，每辆中型客车每天运营成本约800元，每辆大型客车每天运营成本约1000元． （1）求每辆中型客车和大型客车分别可以乘坐多少人？ （2）某日的湘超计划用两种型号的客车共200辆，且当天的运营成本不超过178000元，请问计划每天至少可以用中型客车多少辆？ 【答案】（1）每辆中型客车可以乘坐19人，每辆大型客车可以乘坐35人 （2）计划每天至少可以用中型客车110辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设每辆中型客车可以乘坐x人，每辆大型客车可以乘坐y人，根据1辆大型客车和1辆中型客车共可坐54人，1辆大型客车和3辆中型客车共可坐92人建立方程组求解即可； （2）设计划每天用中型客车m辆，则计划每天用大型客车辆，根据当天的运营成本不超过178000元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每辆中型客车可以乘坐x人，每辆大型客车可以乘坐y人， 由题意得，， 解得， 答：每辆中型客车可以乘坐19人，每辆大型客车可以乘坐35人； 【小问2详解】 解：设计划每天用中型客车m辆，则计划每天用大型客车辆， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为110， 答：计划每天至少可以用中型客车110辆． 21. 孔明喜欢骑自行车玩，如图1是一辆自行车，图2是后轮及部分车架示意图：车架斜杆交车轮于点C，延长斜杆与交于另一点D，与地平线交于点A，连接，车架横杆与交于点E．已知，车轮与地平线是相切的，点B是切点． （1）若，求度数； （2）若，，①求自行车的半径；②求线段的长度． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，由切线的性质可得，进而得到，再根据圆周角定理即可解答； （2）①设的半径为r，则，再根据勾股定理列方程求解即可；②由题意可得：，再判定，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 小问1详解】 解：如图：连接， ∵与是相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①设的半径为r，则， ∵， ∴，解得：； ②由题意可得：， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 22. 为增强体质、促进身心健康，国家规定义务教育阶段中小学生每天在校体育活动时间不低于2小时．为检测成果，某校组织抽样测试九年级1分钟跳绳次数，其统计表和频数分布直方图如图所示． 九年级抽样测试学生1分钟跳绳次数频率分布表 组号 成绩x的范围 频率 A B C D a E （1）统计表中，_________，样本容量_________； （2）把频数分布直方图补充完整，注明频数；在频数分布直方图上画出频数分布折线图； （3）频数分布直方图的横轴上注明的是每个小组的“组中值”，在统计中，小组的平均成绩可以用这个“组中值”来估算．孔明按以下方法估算参加测试学生跳绳次数的平均数是：．请你判断孔明的算式是否正确，若不正确，写出正确的算式，并计算出结果． 【答案】（1）；50 （2）图见解析 （3）算式不正确，正确过程见解析 【解析】 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息是解决本题的关键． （1）根据频率和为1计算得出a，再由直方图的数据结合频率求解得出m即可； （2）先计算出E组人数，再进行补充直方图并画出频数分布折线图即可； （3）利用加权平均数的算法进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 由直方图可得，A组的频数为， ∵A组的频率为， ∴样本容量为， 故答案为：，50； 【小问2详解】 解：由题意得，E组的学生人数为：（名）， 频数分布直方图补充如下： 【小问3详解】 解：孔明的算法不正确， 理由：他用了简单平均数，而应该用加权平均数； 正确算式：平均数 ． 23. 已知二次函数（的图像经过点，抛物线上两点，，满足，直线与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，，若，且，求线段的长度； （3）已知，，点P是直线下方抛物线上一点，作轴，交于点Q，若线段的最大值是8，求直线的解析式． 【答案】（1） （2）8 （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与角度综合、二次函数与线段的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接将代入求得a的值即可解答； （2）由题意可得、、，再运用待定系数法可得直线的解析式为，再结合点可得；再求得直线的解析式为，再根据对称性可得关于y轴的对称点在直线上，代入可得，易得，即，，再求线段的长度即可； （3）如图：设直线的解析式为，，则， ，易得，即当时，有最大值，再根据有最大值为8列方程求得k的值即可确定 直线的解析式． 【小问1详解】 解：将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵抛物线上两点，， ∴，， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线与y轴交于点C， ∴，即； 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴是的角平分线， ∴直线关于y轴对称， 设关于y轴的对称点在直线上， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴轴， ∴的长为． 【小问3详解】 解：如图： 设直线的解析式为，，则， ∴ ， ∴当时，有最大值， ∵有最大值为8， ∴，解得：， ∴直线的解析式为或． 24. 作为几何三大变换的轴对称，平移和旋转，有着神奇魅力，它不仅考验学生的逻辑思维能力，更考验学生的空间思维能力． 如图1，是直角三角形，． 【初步研究】 （1）把图1中的沿线段的垂直平分线作轴对称变换后得到，与原图形组成了图2所示的图形；连接，请从下面两种方法中选择其中一种证明：四边形是矩形； 【法一】有一个角是直角的平行四边形是矩形；【法二】对角线相等的平行四边形是矩形； 【继续探索】 （2）在图1中，已知，，把图2中的沿向右平移，得到，与交于点O，与交于点F，求线段的长； 【深度探索】 （3）把图2中的绕点A逆时针旋转得到，如图3所示，分别取、的中点M、N，连接，，与交于点P．问：点P是否是线段的中点？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）点P是线段的中点，理由见详解 【解析】 【分析】（1）证法一：根据轴对称变换的性质可得，则可得 ，，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得证；证法二：根据轴对称变换的性质可得，则可得 ， ，，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形” 即可得证； （2）根据勾股定理可得，根据平移的性质可得，进而可得，则可得．再根据平移的性质和轴对称的性质可得，，，，进而可得． （3）连接，根据三角形中位线的性质可得．连接并延长至F，使，连接、、，则可得四边形是平行四边形，则，，进而可得，．根据可得，则可得，，，进而可得，，则可得，，进而可得，，则可得． 【详解】（1）如图，连接， 证法一： ∵中，，且沿线段的垂直平分线作轴对称变换后得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 证法二： ∵中 ，且沿线段的垂直平分线作轴对称变换后得到， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． （2）∵中，，， ∴， 由平移的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵, ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 连接并延长至F，使，连接、、， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴P点是的中点． 【点睛】本题主要考查了几何三大变换的轴对称，平移和旋转．以及平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质．三角形中位线的判定和性质．不仅考验学生的逻辑思维能力，更考验学生的空间思维能力．熟练掌握变换前后的两个三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $