精品解析：广东省广州市增城区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025学年第一学期期末质量检测卷 九年级 数学 （本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．） 1. 2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线顶点坐标的求法是解题的关键． 根据抛物线的顶点式直接可得到顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线为 ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：B． 3. 在函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数．由反比例函数图象上的点满足进行逐项验证即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，的直径为，弦，垂足为，，则的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】连接，则，根据垂径定理可得，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，则， ，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 5. 小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 038 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（ ） A. 540 B. 555 C. 570 D. 585 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到附近， ∴估计“钉尖着地”的概率为， ∴抛掷1500次时，估计次数为． 故选：D． 6. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 7. 设，，是反比例函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数在每个象限内的增减性是解题关键． 根据反比例函数的图象与性质对三个点的值进行排序． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∴在第二象限，， ∴，在第四象限，，， ∵在第四象限，越大，越大， ∴，则， ∴． 故选：． 8. 某数学兴趣小组学习了相似三角形的知识后，在同一时刻的太阳光线下，利用标杆测量树的高度．移动标杆向树靠近，让标杆的影子顶端与树的影子顶端重合于点，如图，已知标杆，测得，，则树高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，比例式的计算与求解，识别相似三角形模型是解题关键． 利用平行投影性质，推出，再通过相似三角形的比例关系代入已知线段长度，算出树高． 【详解】解：由同一时刻太阳光的平行投影性质，可知太阳光线平行， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得． 故选：． 9. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：，求出即可求解； 【详解】解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：A 10. 如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（ ） A. 玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B. 直线的解析式为 C. 点到杯口的距离为 D. 点到点的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，涉及待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰三角形的判定，直线与抛物线的交点问题，难度较大，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． 由题意得，，，，可求抛物线的解析式为，再求出直线的解析式，联立即可求出点坐标，继而可判断结论． 详解】解：由题意得，，，， 设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入得 ，解得：， ∴，故A说法正确； ∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把、代入得： ，解得：， ∴直线：，故B说法正确； 由，解得，（舍） 当，， ∴， 此时点P到杯口的距离为，故C说法不正确； ，故D说法正确； 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 已知，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形性质的应用．在中利用三角形内角和定理计算出的度数，再根据相似三角形对应角相等得，可得答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 12. 已知，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，， 由根与系数的关系，得． 故答案为：． 13. 如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据题意证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 15. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 16. 如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论： ① ②当时， ③ ④ 则所有正确结论的序号是_____________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理即可求出，即可判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征即可求出，当时，即可求出k的值，即可判断②正确；将点代入直线，即可求出m的值，即可判断③正确；再根据底乘高即可计算，继而判断④错误． 【详解】直线， 当时，， ， ， 四边形是菱形， ， A与B关于x轴对称，设AB交x轴于点D， 在中，， ，故①错误； 在双曲线上， ， ， 当时，，故②正确； ， ， 点B在直线上， ， ， ，故③正确； ，故④错误； 综上，正确结论的序号是②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、反比例函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用求根公式解方程 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，主要公式运用的条件是首先确定二次项系数，一次项系数，常数项的值，计算判别式的值确定方程是否有解，若有解即可代入求根公式计算． 【详解】解：，， ， 即 18 如图，若，．求证： ． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定条件即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定相似三角形的条件是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）写出，，三个点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化． （1）根据关于原点对称的特征找到A、B、C对应点，，的位置，然后顺次连接，，即可； （2）根据（1）所求写出对应点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）得，，，． 20. 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．左边固定的托盘中放置一个重物，右边可左右移动的托盘中放置若干数量的砝码．改变托盘与之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到的数据如下表格： 托盘与点之间的距离/ 托盘中砝码的总质量/ （1）根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似反映砝码总质量关于托盘与点之间的距离的函数关系，并求出这个函数的解析式； （2）根据（1）中求出的函数解析式，当托盘与点之间的距离为时，求托盘中砝码的总质量． 【答案】（1）选择反比例函数表示与的关系， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的判定与解析式求解，反比例函数的实际应用，识别反比例关系是解题关键． （1）根据表格中与的乘积为定值，判定其为反比例函数，代入一组数据求出值，从而确定函数解析式； （2）将代入已求出的反比例函数解析式，计算得出对应的砝码总质量． 【小问1详解】 解：根据表格，的值恒定，则选择反比例函数表示与的关系， 设反比例函数为， 将，代入，可得， 故反比例函数为． 【小问2详解】 解：对于反比例函数为， 当时，， 故当托盘与点之间的距离为时，托盘中砝码的总质量为． 21. 第十五届全国运动会在粤港澳三地举行．甲和乙申请足球A、篮球B、排球C和乒乓球D四项赛事中的某一项做志愿者，他们被随机分配到这四项赛事中的任意一项的可能性相同． （1）写出“甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的概率； （2）求甲和乙恰好被分配到同一项赛事做志愿者的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，熟练掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键． （）直接由概率公式求解即可； （）画树状图，共有种等可能的结果，其中甲和乙被分配到同一项赛事做志愿者的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：所有可能情况有4种，其中“甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的可能情况有1种， “甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的概率； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中甲和乙被分配到同一项赛事做志愿者的结果有种， （甲和乙被分配到同一项赛事做志愿者）； 答：甲和乙被分配到同一项赛事做志愿者的概率是． 22. 2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 （2）；W的最大值为4500元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 23. 如图所示，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． （1）证明是的切线； （2），为上一点，到弦的最大距离为8． ①尺规作图作出此时的点，保留作图痕迹； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）连接，，求出，可得，根据三角形的中位线得出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）①做的垂直平分线与相交于点，点即为所求；②的垂直平分线与相交于点，连接，根据勾股定理求出的半径为r，进而根据三角形的面积即可求得． 【小问1详解】 证明：连接，， ∵为的直径， ∴． 又∵，是等腰三角形， ∴， ∴是的中位线， ∴． 又∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：①如图，做的垂直平分线与相交于点，点即为所求． ②如图，的垂直平分线与相交于点，连接， ∵， ∴． 设的半径为r， 在中，， 即 解得， ∴． ∵是的中位线， ∴． ∵为的直径， ∴． 又∵，是等腰三角形， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，尺规作图-作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的综合运用． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P在第一象限，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为； （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线交直线于点M，求出直线的解析式为，设，则，得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）由折叠可知，，再由，推导出，设，则，得到方程，求出m的值即可确定点M的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； 【小问2详解】 解：过点P作x轴的垂线交直线于点M， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为8，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由折叠可知，， ∵在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 25. 如图1，正方形的边长为4，以B为圆心的与，分别交于点E，F，连接，． （1）求的长； （2）连接，把绕点B顺时针旋转，在旋转的过程中． ①求的取值范围； ②如图2，取的中点G，连接并延长交直线于点H，点P为正方形内一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）由题可知是等腰直角三角形，即可求解． （2）①当分别为的切线时，最大或最小，由，可知，即可求解； ②延长到，使得，连接，证明，由角度转换得到，再取的中点O，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，当点五点共线时，取最小值，且最小值为，分别求出的长度，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ， ． 【小问2详解】 解：①如图，连接， 当分别为的切线时，最大或最小， 为正方形的对角线， ，， 当点E移动到位置时，最小， ， ， ， ， 当点E移动到位置时，最大， ， ， ， ， ． ②如图，延长到，使得，连接， 则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 点分别为线段的中点， ， ， ， ， 取的中点O，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接， 则，，， ， ， ， 则当点五点共线时，取最小值，且最小值为， ，， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题是一个综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识点和“费马点”模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末质量检测卷 九年级 数学 （本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．） 1. 2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的直径为，弦，垂足为，，则的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 039 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（ ） A. 540 B. 555 C. 570 D. 585 6. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 7. 设，，是反比例函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 某数学兴趣小组学习了相似三角形的知识后，在同一时刻的太阳光线下，利用标杆测量树的高度．移动标杆向树靠近，让标杆的影子顶端与树的影子顶端重合于点，如图，已知标杆，测得，，则树高为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图1是玻璃水杯截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（ ） A. 玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B. 直线的解析式为 C. 点到杯口的距离为 D. 点到点的距离为 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 已知，，，则的度数为______． 12. 已知，是一元二次方程的两个根，则________． 13. 如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 14. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 15. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 16. 如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论： ① ②当时， ③ ④ 则所有正确结论的序号是_____________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 用求根公式解方程 18 如图，若，．求证： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）写出，，三个点的坐标． 20. 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．左边固定的托盘中放置一个重物，右边可左右移动的托盘中放置若干数量的砝码．改变托盘与之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到的数据如下表格： 托盘与点之间的距离/ 托盘中砝码的总质量/ （1）根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似反映砝码总质量关于托盘与点之间的距离的函数关系，并求出这个函数的解析式； （2）根据（1）中求出函数解析式，当托盘与点之间的距离为时，求托盘中砝码的总质量． 21. 第十五届全国运动会在粤港澳三地举行．甲和乙申请足球A、篮球B、排球C和乒乓球D四项赛事中某一项做志愿者，他们被随机分配到这四项赛事中的任意一项的可能性相同． （1）写出“甲被分配到乒乓球赛事做志愿者”的概率； （2）求甲和乙恰好被分配到同一项赛事做志愿者的概率． 22. 2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 23. 如图所示，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． （1）证明是的切线； （2），为上一点，到弦的最大距离为8． ①尺规作图作出此时的点，保留作图痕迹； ②求的长． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P在第一象限，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标． 25. 如图1，正方形的边长为4，以B为圆心的与，分别交于点E，F，连接，． （1）求的长； （2）连接，把绕点B顺时针旋转，在旋转的过程中． ①求的取值范围； ②如图2，取的中点G，连接并延长交直线于点H，点P为正方形内一动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $