福建省同安第一中学2025-2026学年高二上学期数学第20周周测试题

同安一中2024级高二上数学第20周周测 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．已知直线 与圆 相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（    ） A．或 B．或7 C．或5 D．5或7 3．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 5．已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 二、多选题 7．如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ）  A．直线AM与平面所成角的正弦值为 B．点B到直线AM的距离为 C．点D到平面AMN的距离为2 D．直线与直线BN是异面直线 8．已知数列满足，则下列说法中，正确的是（    ） A．； B．是等差数列； C．是等比数列； D．数列前项和为. 三、填空题 9．设等比数列的前项和为，公比，若，则 ． 10．设是椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则这两条曲线的离心率之积最小为 ，此时双曲线的渐近线的方程是 . 11．已知圆关于直线对称，若直线方程为与圆C相交于A、B两点，则=________；若点Q是圆上的点，则面积的最大值为______. 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9.____________ 10._____________ _____________ 11._____________ _____________ 四、解答题 12．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，平面平面，点E在棱上，（），点F，G分别为，的中点，过E，F，G三点的平面交于点H.    (1)确定的值使平面； (2)当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 13．已知抛物线（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点H，． (1)求C的标准方程． (2)已知点，O为坐标原点，直线l交C于两点，且P，Q在x轴的两侧． （i）求的最小值； （ii）若，证明：l过定点． 14．已知等比数列满足，且是与的等差中项． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2024级高二上数学第20周周测 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 2．已知直线 与圆 相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为．若四边形的面积的最小值为9，则（    ） A．或 B．或7 C．或5 D．5或7 【答案】B 【分析】根据相切的性质以及面积公式可得，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意得圆C：的圆心为，半径为3，， 根据题意可得四边形的面积为，则， 因为，故的最小值为， 因为时，取得最小值， 所以点到直线的距离为，解得或. 故选：B. 3．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是. 故选：D 4．如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【分析】以拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据条件求出抛物线方程， 再求出水面下降后，水面的宽度. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 5．已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线对称性结合题意可得四边形为矩形，利用双曲线定义及与勾股定理计算可用表示出，，再利用为直角三角形，借助勾股定理可列出与、、有关齐次方程，即可计算出，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 因，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形，所以， 则，得，则， 又因为为直角三角形，，所以， 则， 所以，即，其渐近线方程为. 故选：D. 6．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】设动点的坐标为，利用点到直线的距离公式将所求距离表示为的函数，根据导数求其单调性，进而可求得距离最小值. 【详解】设动点的坐标为，根据点到直线的距离公式有点到直线的距离， 设， 则， 令得，令得， ∴函数在区间上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值为，即的值域为， ∴， ∴当时，点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 二、多选题 7．如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线AM与平面所成角的正弦值为 B．点B到直线AM的距离为 C．点D到平面AMN的距离为2 D．直线与直线BN是异面直线 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量法计算依次判断选项A、B、C、D即可. 【详解】以D为原点，分别以DA,DC,所在直线为轴建立空间直角坐标系，则    所以，由正方体性质可知平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，故A正确； ，点B到直线AM的距离为 ,故B正确； ，,平面AMN的法向量为 所以，令 则， 所以，所以点D到平面AMN的距离为 ，故C错误； 因为所以， 所以四点共面，所以直线与直线BN不是异面直线，故D错误. 故选：AB. 8．已知数列满足，则下列说法中，正确的是（    ） A．； B．是等差数列； C．是等比数列； D．数列前项和为. 【答案】ACD 【分析】对于A，根据数列的首项以及递推公式，逐项计算，可得答案；对于B，利用等差数列的定义，结合题干中的递推公式，可得答案；对于C，利用等比数列的定义，结合题干中的递推公式，可得答案；对于D，根据BC的结论，利用分组求和以及等比数列的求和公式，可得答案. 【详解】对于A，由，且，则， ，，，， ，故A正确； 对于B，由， 即，则数列为等比数列，故B错误； 对于C，由， 则数列为等比数列，故C正确； 对于D，由，则等比数列的首项为，公比为； 由，则等比数列的首项为，公比为. ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．设等比数列的前项和为，公比，若，则 ． 【答案】 【分析】由，求得的值，从而可得公比，利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】因为数列是等比数列，所以，， 所以是方程的两根，所以或， 所以公比或，所以或， 又，所以，所以 所以. 故答案为：. 10．设是椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则这两条曲线的离心率之积最小为 ，此时双曲线的渐近线的方程是 . 【答案】 / 【分析】根据椭圆和双曲线的定义得到，，利用余弦定理得到，再根据基本不等式求最值；取最值时，再利用求解渐近线方程即可. 【详解】设椭圆与双曲线的交点位于第一象限（），椭圆和双曲线的离心率分别为和， 椭圆焦距为，长轴为，双曲线实轴长为，虚轴长为， 由椭圆和双曲线定义可知，解得，， 因为，所以在中由余弦定理可得， 即，解得， 则，所以，整理得，即， 当且仅当，即时等号成立，故两条曲线的离心率之积最小为； 由，得，解得，即， 所以渐近线方程为. 故答案为：；. 11．已知圆关于直线对称，若直线方程为与圆C相交于A、B两点，则=________；若点Q是圆上的点，则面积的最大值为______. 【答案】；. 【详解】（1）由题意可得圆的标准方程为，又关于直线对称，所以直线经过圆心（），代入解得： 又直线方程为， 则圆心C到直线的距离，直线AB与圆相交， 所以. （2）圆的圆心，半径， 则点到直线：的距离为， 所以点Q到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 四、解答题 12．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，平面平面，点E在棱上，（），点F，G分别为，的中点，过E，F，G三点的平面交于点H.    (1)确定的值使平面； (2)当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面，可得，由点F，G分别为，的中点，得，平面，，从而四边形为平行四边形，有，所以，可得λ的值； （2）建立空间直角坐标系，由与平面所成角的正弦值为，向量法求线面角得λ的值. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 所以． 因为点F，G分别为，的中点，所以． 又因为底面为直角梯形，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面平面，所以， 从而四边形为平行四边形， 又，， 所以，所以，所以λ的值为. （2）由题可知，，，所以，所以． 又平面平面，平面平面，平面，则平面． 又，故可以为坐标原点，分别以向量 为轴正方向，建立空间直角坐标系.    所以， 因，可得， ， 又为的中点，所以． 所以，， 设平面的一个法向量， 则，故可取， 设与平面所成角为， 所以， 又，解得. 13．已知抛物线（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点H，． (1)求C的标准方程． (2)已知点，O为坐标原点，直线l交C于两点，且P，Q在x轴的两侧． （i）求的最小值； （ii）若，证明：l过定点． 【答案】(1) (2)（i）;（ii）证明见解析 【分析】（1）利用抛物线的性质求出的表示式，结合条件即可求得抛物线的方程； （2）（i）利用两点之间距离公式，结合点在抛物线上，将问题转化成求二次函数的最值问题即可；（ii）设直线的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，结合，求出的值，代入直线方程即可求得定点坐标. 【详解】（1）依题意，抛物线（p>0）的焦点为，准线方程为， 则准线与x轴的交点为，则， 解得（舍去），故抛物线C的标准方程为. （2）（i）由题意，， 因是抛物线上一点，则，故当时，取得最小值24， 则此时的最小值为. （ii）依题意，直线的斜率不能为0，故可设直线的方程为， 代入，消去，可得，则， 由韦达定理，，因P，Q在x轴的两侧，则，即， 则， 即， 因，则，此时直线的方程为，故直线必过定点. 14．已知等比数列满足，且是与的等差中项． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为q（)，由已知可得，进而计算可求得，可求的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法可求数列的前n项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为q（)， 因为是与的等差中项， 所以，所以，因为，所以， 所以的通项公式为． （2）由（1）可得， 则，① ，② ①②得 ． 则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $