精品解析：安徽省芜湖市无为市部分学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴距离相等，则a的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】点P到两坐标轴的距离相等，分两种情况：①当时，②当时，分别求得m的值，则点P的坐标可得． 【详解】∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴①当时，， ∴②当时，， 综上所述，则a的值为或． 故选：C. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形的性质特点，明确平面直角坐标系中点的坐标特点是解题的关键． 2. 已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移方向判断平移后点的横纵坐标范围，即可筛选出正确选项． 【详解】解：点向下平移，再向右平移， 平移后所得点的横坐标大于，纵坐标小于2， 只有符合要求． 3. 如图，折线为关于的函数图象，下列关于该函数说法正确的是（ ） A. 点在该函数图象上 B. 当时，随的增大而增大 C. 该函数有最大值 D. 当时，函数值总大于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解，以及从函数图象获取信息，旨在考查学生的信息提取能力，结合图象即可判断各选项． 【详解】解：由图象可知： A.设时，， 则， 解得， ， 当时，， 点在该函数图象上， 故选项A说法正确，符合题意； B.当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，原说法错误，故本选项不合题意； C.该函数有最大值是，原说法错误，故本选项不合题意； D.当时，函数值总大于，原说法错误，故本选项不合题意． 故选：． 4. 国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ） A. 乙车的速度是 B. 乙车比甲车晚出发，却早到 C. 乙车出发后追上甲车 D. 当甲、乙两车相距时，或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键． 先设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，再根据函数图象进行求解并逐一判断即可． 【详解】解：设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， 由函数图象得，将代入到甲的函数关系式中，代入到乙的函数关系式中， ∴，， 解得， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， A、乙车速度为，该选项正确，不符合题意； B、乙车在时出发，在到达，甲车在时出发，在到达，则乙车比甲车晚出发，却早到，该选项正确，不符合题意； C、联立两个函数解析式得， 解得， ∵乙车在时出发， ∴乙车出发后追上甲车，该选项正确，不符合题意； D、当乙出发前：， 解得，选项中没有； 乙出发后到甲到达前(：， 解得或； 乙到达后： 解得，选项中也没有，故该选项错误，符合题意； 故选D． 5. 如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，根据三角形内角和定理，即得解． 【详解】解：∵，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，已知，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ， ∴． 故选： D ． 7. 如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度的直角三角形的基本性质，弧长的运算，垂直平分线的基本性质，能够找到点的运动路径是解题关键； 如图，延长到点，使，连接，先求得，再通过垂直平分线的基本性质可知，进而知道点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为4的圆上运动， ∵当点与点重合时，点与点重合， ∴点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即， ∴点的运动路径长为：， 故选：C． 8. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A. 105° B. 100° C. 95° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可． 【详解】解：由题意可得：MN垂直平分BC， 则DC＝BD， 故∠DCB＝∠DBC＝25°， 则∠CDA＝25°+25°＝50°， ∵CD＝AC， ∴∠A＝∠CDA＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握性质是解题的关键. 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，若的面积为9，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作的垂线，的垂线，由角平分线定理得出，再由三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：过点作的垂线，的垂线， 根据题意可得是的角平分线， ，， ， 的面积为9， 即， ， ． 故选C． 10. 如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用角的和差关系可得，从而可得，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移______个单位． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查关于y轴对称的点的坐标、坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意得到灯A和灯C关于y轴对称，求出点A关于y轴对称的点的坐标为，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可得灯和灯关于y轴对称， ∴灯A和灯C关于y轴对称， ∵， ∴点A关于y轴对称的点的坐标为 ∴ ∴要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移7个单位长度． 故答案为：7． 12. 已知二元一次方程组的解是，则点到直线的距离的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得到过点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，根据两点间距离公式计算，即可求解， 本题考查了两直线交点与二元一次方程组的解，两点间距离公式，解题的关键是：熟练掌握数形结合的思想，找到点到直线距离最大值时的情况． 【详解】解：∵的解是， ∴过点， 设，， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 最大距离为：， 故答案为： ． 13. 如图， 在四边形 中， ，， 连接 、 ，若 平分 ，，， 则 ______． 【答案】13 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答． 将顺时针旋转到，连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：将顺时针旋转到，连接，如图， 则是等腰直角三角形，且，， ∵且平分， ∴， ∴， ∴均在同一条直线上， ∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：13． 14. 如图，等边三角形中，，平分，平分，经过点O，且与相交于点M，N，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，延长交于D，由等边三角形的性质推出，，由角平分线定义得到，推出，因此点O、A在的垂直平分线上，由等边三角形的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定，得到，同理：，即可求出的长． 【详解】解：连接，延长交于D， ∵为等边三角形， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴点O、A在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质推出，． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）若点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）若点P到x轴和y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点P在x轴上，得到，解答即可； （2）根据点P到x轴和y轴的距离相等，得到，解绝对值方程，解答即可． 本题考查了点到坐标轴的距离，在x轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴P； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴或 解得或， 当时，，， 故此时； 当时，， 此时， 综上所述，点P的坐标为或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(−2，−2)，B(−4，−1），C(−4，−4)． （1）作出ABC关于原点O成中心对称的A1B1C1. （2）作出点A关于x轴的对称点A'若把点A'向右平移a个单位长度后落在A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围. 【答案】 （1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）4＜a＜6． 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可得； （2）由点A′坐标为（-2，2）可知要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移6个单位，据此可得． 【详解】解：（1）略 （2）∵点A′坐标为（-2，2）， ∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移6个单位，即4＜a＜6． 【点睛】考查作图-中心对称和轴对称、平移，熟练掌握中心对称和轴对称、平移变换的性质是解题的关键． 17. 如图，过点的直线与直线交于． （1）求直线对应的表达式． （2）直接写出时，的取值范围． （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，再利用点的坐标和点的坐标可求直线的解析式； （2）根据不等式的解集为直线在直线的下方所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）根据可得结论． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的表达式； 【小问2详解】 由函数图象可知：当时，直线在直线的下方， ∴时，的取值范围为； 【小问3详解】 ∵直线与轴相交于点，与轴相交于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查两条直线相交问题、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积．利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 18. 销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ （3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 【答案】（1） （2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元 （3）纪念品的销售单价x的范围是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，熟知最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答是关键． （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）用图象法即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得： ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为元 ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元； 【小问3详解】 解：∵利润不低于2250元， 且，w随x增大而增大， 由得或， ∴． 19. 如图，在中，点是边上的点，且，，与相交于点，点是上一点，且满足． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：延长交于点， 是的外角，， ． ， , ． （2） 解：如图所示，连接，过点作于点， ， ． ，， ∴， ； 在和中， ， ， ∴， 平分； ， ∴， ， ， ． ，， ； 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）延长交于点，由三角形外角的性质可得，则可求出，据此可证明结论； （2）连接，过点作于点，证明，得到，则平分；证明，得到．证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ； （2） 证明：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）由可得，再根据全等三角形的判定定理得证； （2）由（1）可知，结合已知条件得到，利用三角形全等的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； 【问题提出】（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ，， ， ， 又， ∴， ，， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的判定得出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论． 【详解】略 22. 学习完15章，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题： （1）如图1，在中，，，垂直平分，交于点，，则 ． （2）如图2，中，点、分别在、的延长线上，平分，平分． ①求证：平分； ②若，且与的面积分别是和，求． 【答案】（1）4 （2） ①如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，进而根据三角形的外角的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）①过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为．根据角平分线的性质可得，，等量代换可得，根据角平分线的判定定理，即可得证； ②根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 ①略 ②∵，， ∴． ∴． ∵与的面积分别是和， ∴． ∴， 即． ∴. 23. 普陀山景区内某公路如图所示，景区内有旅游观光班车，每隔分钟有一班车从入口处发车，沿该公路开往“普济禅寺”，途中停靠“南海观音”上下车时间忽略不计．张明假期到普陀山游玩，到达景区入口处，发现班车发车时间还没到，于是沿该公路步行分钟后到达“南海观音”，了解发现班车较他前分钟到达“南海观音”．张明与班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图所示． （1）求张明步行的速度． （2）求在张明出发之后第一辆班车离入口处的路程米与时间分的函数表达式． （3）张明在南海观音游玩分钟后，步行前往“普济禅寺”，则路中从他后方开来的第一辆班车追上他时距离“普济禅寺”还有多少距离？设每一班车速度均相同，张明步行速度不变 【答案】（1）（米分钟） （2）函数表达式为： （3）米 【解析】 【分析】本题考查利用函数图像求解析式，利用一次函数解决实际问题； （1）利用速度路程时间计算即可； （2）利用函数图像，找到函数上的两个已知点，设出函数关系式求解即可； （3）求出张明从“南海观音”步行前往“普济禅寺”的函数关系式，以及从他后方开来的第一辆班车追上他的班车函数关系式，联立方程求相遇时间和距离即可解答． 【小问1详解】 解：张明速度为：（米分钟）； 【小问2详解】 解：张明到达“南海观音”的分钟之前，有一辆班车到达， 则班车到达“南海观音”的时间是张明从入口出发后第（分钟）， 即班车的函数图像经过点，又函数图像经过点， 设函数表达式为， 则，解得：, 即当时，解得， 函数表达式为：； 【小问3详解】 解：设张明从“南海观音”步行前往“普济禅寺”的函数关系式为， ∵张明在“南海观音”游玩分钟， ∴张明从“南海观音”出发的时间是他从入口出发后第（分钟）， 即当时，， 解得：， ， 由（2）可知班车从入口到“南海观音”需要（分钟）， ∵班车每隔分钟有一班车从入口处发车， ∴发车时间是张明从入口出发后第8，18，28，38，48分钟， ∵第38分钟发车的班车于第48分钟到达“南海观音”，与题意不符， ∴从他后方开来的第一辆班车为第48分钟从入口开始发车， 设从他后方开来的第一辆班车追上他的班车函数解析式为，函数图象经过点， ， 解得：， ， 联立两函数解析式，得 ， 解得：， 路中从他后方开来的第一辆班车追上他时距离“普济禅寺”还有的距离为： （米） 答：路中从他后方开来的第一辆班车追上他时距离“普济禅寺”还有米距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴距离相等，则a的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 2. 已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（ ） A. B. C. D. 3. 如图，折线为关于的函数图象，下列关于该函数说法正确的是（ ） A. 点在该函数图象上 B. 当时，随的增大而增大 C. 该函数有最大值 D. 当时，函数值总大于 4. 国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ） A. 乙车的速度是 B. 乙车比甲车晚出发，却早到 C. 乙车出发后追上甲车 D. 当甲、乙两车相距时，或 5. 如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是 A. B. C. D. 6. 如图，已知，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A. 105° B. 100° C. 95° D. 90° 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，若的面积为9，则的面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 10. 如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移______个单位． 12. 已知二元一次方程组的解是，则点到直线的距离的最大值是_____． 13. 如图， 在四边形 中， ，， 连接 、 ，若 平分 ，，， 则 ______． 14. 如图，等边三角形中，，平分，平分，经过点O，且与相交于点M，N，，则_____． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）若点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）若点P到x轴和y轴的距离相等，求出点P的坐标． 16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(−2，−2)，B(−4，−1），C(−4，−4)． （1）作出ABC关于原点O成中心对称的A1B1C1. （2）作出点A关于x轴的对称点A'若把点A'向右平移a个单位长度后落在A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围. 17. 如图，过点的直线与直线交于． （1）求直线对应的表达式． （2）直接写出时，的取值范围． （3）求四边形的面积． 18. 销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ （3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 19. 如图，在中，点是边上的点，且，，与相交于点，点是上一点，且满足． （1）求证：． （2）求证：． 20. 如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． （1）求证：； （2）求证：． 21. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； 【问题提出】（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 22. 学习完15章，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题： （1）如图1，在中，，，垂直平分，交于点，，则 ． （2）如图2，中，点、分别在、的延长线上，平分，平分． ①求证：平分； ②若，且与的面积分别是和，求． 23. 普陀山景区内某公路如图所示，景区内有旅游观光班车，每隔分钟有一班车从入口处发车，沿该公路开往“普济禅寺”，途中停靠“南海观音”上下车时间忽略不计．张明假期到普陀山游玩，到达景区入口处，发现班车发车时间还没到，于是沿该公路步行分钟后到达“南海观音”，了解发现班车较他前分钟到达“南海观音”．张明与班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图所示． （1）求张明步行的速度． （2）求在张明出发之后第一辆班车离入口处的路程米与时间分的函数表达式． （3）张明在南海观音游玩分钟后，步行前往“普济禅寺”，则路中从他后方开来的第一辆班车追上他时距离“普济禅寺”还有多少距离？设每一班车速度均相同，张明步行速度不变 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $