临潭县第一中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷高三数学

临潭县第一中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷 高三 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题首先可根据对数的相关性质得出集合，然后通过求解一元二次不等式得出集合，最后根据并集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为集合，所以，，集合， 因为，即，解得， 所以集合，，故选：A. 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求解即得. 【详解】由，得. 故选：C 3．设有两条直线m，n和三个平面，，，给出下面四个命题： ①，，； ②，，； ③，； ④， 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】对于选项①，不能得出，因为n可能在或内，故①错误； 对于选项②，由于，则根据直线与平面平行的判定，可得，故②正确； 对于选项③，由于，，则根据面面平行的性质定理可得，故③正确； 对于选项④，由于，则可能平行也可能相交，故④错误. 故选：B 4．若单位向量满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由已知条件求出，再由即可求出答案. 【详解】解：因为为单位向量，所以，所以,所以，故选：C. 5．在△ABC中，角的对边分别是，若，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵在中，∴由正弦定理可得①，又∵，∴②，由①②可得，可得，故选B. 6．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【详解】设事件A为不用现金支付，则故选：B. 7．已知F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，A是C的左顶点，P为C上位于第一象限内一点，，∠PAF2＝30°，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，根据双曲线的定义可得，由在双曲线上，代入方程得到的齐次方程，即可求C的离心率. 【详解】由题意知，双曲线的焦点坐标在x轴，，， ∴点P坐标，即， ∵点P在双曲线上， ∴，即， ∴双曲线C的离心率为：.故选：A． 8．已知，设函数，若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，的最小值为，然后分是否大于1，讨论在时的最小值，由此分别列出不等式即可求解. 【详解】当时，易知的最小值为， 当时，，令，解得， 若，则在上单调递增，且时，， 所以只需，解得或， 又，所以， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 成立，所以符合题意， 综上，的取值范围是.故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示（气温均取整数），则关于这7天的日均气温，下列判断正确的是（    ） A．甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等 B．甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等 C．甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大 D．乙旅游景区日均气温的极差为 【答案】ABC 【分析】对于选项A，分别计算甲和乙旅游景区的气温平均数，从而判断A的正误； 对于选项B，分别计算甲和乙旅游景区的气温中位数，从而判断B的正误； 对于选项C，根据折线图判断哪个城市的日均气温波动大，进而判断C的正误； 对于选项D，根据折线图找到乙地气温的最大值和最小值，从而得到乙的日均气温极差，进而判断C的正误. 【详解】对于A，B项，甲旅游景区的日均气温分别为； 乙旅游景区的日均气温分别为. 因为甲旅游景区日均气温的中位数为，平均数为， 乙旅游景区日均气温的中位数为，平均数为，故A，B正确； 对于C项，根据折线图知甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大，故C正确； 对于项，因为乙旅游景区日均气温的极差为，故D错误. 故选：ABC 10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（    ）    A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】AD 【分析】根据正弦型函数经过的特殊点，结合正弦型的对称性、单调性、周期性、图象平移的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的图象可知，且图象的最高点坐标为，与它相邻的零点为， 设函数的最小正周期为，则有，故A正确； 因为，由. 又由， 因为，所以时，，因此. 因为，故函数的图象不关于点中心对称，即B错误； 当时，设，因在没有单调性， 故函数在不是单调递减函数，故C错误； 该图象向右平移个单位可得，故D正确； 故选：AD 11．已知函数的两个极值点分别是，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 【答案】BD 【分析】对于A，由题意可得在上有2个不等的实根，从而可求出的范围，对于B，根据根与系数的关系结合的范围进行判断，对于C，由题意得，令，利用导数可求得，从而可进行判断，对于D，，令，利用导数可求出其在上的最大值小于零即可. 【详解】由有两个极值点，得在上有2个不等的实根， 即在上有2个不等的实根，则解得，A错误； 由韦达定理，得，当时，，B正确； ， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以恒成立，C错误； ， 令， 令，所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，. 所以，D正确.故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列为等差数列，为其前n项和，，则 . 【答案】14 【分析】利用数列通项公式可得，再利用前项和，即可得答案； 【详解】因为，所以， 所以.故答案为：. 13．在的展开式中，的系数是 ． 【答案】 【详解】的展开式中，含的项是，即的系数是. 14．已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】利用待定系数法以及直线方程求解(注意讨论直线斜率是否存在). 【详解】因为，所以点P在圆外． 当直线l的斜率存在时，设其方程为，即． 由题意知圆O的圆心坐标为O（0，0），半径为2． 因为圆心到切线的距离等于半径，所以，解得， 故直线l的方程为． 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也满足条件． 故直线l的方程为或．故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设数列的前n项和为，且满足（）． (1)证明：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，两式相减得到，即可求解； （2）由（1）可得，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 【详解】（1）证明：当时，，解得， 由，可得，两式相减得， 即，所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）解：由（1）可得，所以， 则，则， 两式相减可得 ，所以． 16．（15分）如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 17．（15分）随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查，现将统计数据按，，…，分组后绘成如图所示的频率分布直方图，已知.    (1)求频率分布直方图中，的值； (2)估计该校学生每周零花钱的第55百分位数； (3)若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在内的人中抽取11人，求内抽取的人数. 【答案】(1)， (2)70元 (3)2人 【分析】（1）根据频率之和为1，结合已知可得； （2）先判断第55百分位数所在区间，然后可得； （3）先求各组频率，根据频率比例即可求得抽取人数. 【详解】（1），即 又，所以，. （2）前3组的频率和为， 前4组的频率和为， ∴第55百分位数位于第4组内. ∴估计第55百分位数为元. （3），，这三组的频率分别为，，，比例为， 则从内抽取的人数分别为. 18．（17分）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故， 联立，故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 19．（17分）已知，. (1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)讨论函数在上的单调性； (3)对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，进而求出切线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式即可求解； （2）利用导数的正负研究原函数的单调性，分与两种情况讨论即可； （3）分离参数得到，构造函数，利用导数求最大值即可. 【详解】（1）因为，故，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，与两坐标轴的交点分别为， 故围成的三角形的面积为. （2）因为，故，令， 当，则，故在上单调递减； 当，则时，，所以在单调递减； 时，，所以在单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，单调递增. （3）即， 即对一切实数恒成立， 令 当时，单调增； 当时，单调减；故最大值为， 则， 故实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第一中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷 高三 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意喜项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.若集合A={y=log,(x-1},B={2-x-6≤0}，则AUB=() A.[-2,+0) B.[1,3] C.(1,3] D.(1,+∞) 2.若2=-2+1，则-三-（) z+1 A.-1+i B.1+i c.1-i D.-1-i 3.设有两条直线，n和三个平面a,B,Y,给出下面四个命题： ①ax∩B=,n/1m三n/la,n/1B; ②a⊥B,m⊥B,maa→m/1a; ③a/1B,mca→11B: ④a⊥B,⊥y→B11y 其中正确命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 4若单位向金a,5满足(a-2列小a+列-，则a等于（) A.1 B.√2 C.5 D.23 3 5.在△1BC中，角4B.,C的对边分别是a,b.c,若a=5b,A=2B,则cosB=() A. 3 B. c. 5 D.5 6 6.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则 不用现金支付的概率为() A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 已知P,乃是双曲线C 正厅=1(a>0,b>0的左、右焦点，A是C的左顶点，P为C上位于 第一象限内一点，1PA=2W3(PR|-|PF),∠PAF2=30°，则C的离心率为（) A.v6 2 C.30 D.6 5 3 8.已知a>0,设函数f(x)= [x2+ax+1,x≤0 c-,x>0,若存在，使得f(s)<a,则a的取值范围是(） A.(0,2W2-2 B.(0,22-2U(1,+∞) C.(1,+0) D.（2W2-2,+∞ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 日均气温/℃ 9.甲、乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示（气温均取整数）， 6 则关于这7天的日均气温，下列判断正确的是() A …乙 A.甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等 2 B.甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等 1234567日期 C.甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大 D.乙旅游景区日均气温的极差为1C 2 10.已知函数()=4sn(ar+04>00>0l<习的部分图象如图所示， 下列说法正确的有() 12 罗 A.函数y=∫(x)的最小正周期为π -2 B.函数y=∫(x)的图象关于点 5亚，0中心对称 C.函数r=fy在2- 36 单调递减 D.该图象向右平移2个单位可得y=2sin2x的图象 6 1.已知函数f()2”-+ar的两个极值点分别是x,则() A.a<0或a>4 B.>8 C.存在实数a,使得f(s)+f(x)>0 D.了)+fs)小代+)-6 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2+a=4+4,则S,= 13.在(1-x)(2+x)°的展开式中，x的系数是 14.已知直线1过点P(2,4),且与圆0：x2+y2=4相切，则直线1的方程为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设数列{a}的前n项和为Sn,且满足3a=3+2S。(n∈r). (1)证明：数列{a}是等比数列： ②令c,=1og,a(neN),求数列c.}的前n项和Z a. 16.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB,BC, CP的中点，AB=AC=1,PA=2. (I)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值： (2)求点P到平面DEF的距离. B 17.(15分)随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高， 因此滋生了一些不良的攀比现象某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的 数额进行了随机调查，现将统计数据按[0,20)，[20,40)，.，[120,140]分组后绘成如图所示的频率 分布直方图，己知a=3b. ◆频率/组距 0.0125 0.0075 b 0.0025 20406080100120140周零花钱（元） (I)求频率分布直方图中a,b的值： (2)估计该校学生每周零花钱的第55百分位数： (3)若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在[60,120)内的人中抽取11人，求 [100,120)内抽取的人数 18.17分)已知双曲线C答茶=1a>0b>0)的实转长为2，右：点P到取由线C的新近线距 离为 (1)求双曲线C的方程： (2)过点E(2,0)作直线1交双曲线的右支于A,B两点，连接AO并延长交双曲线左支于点P(O为坐标 原点)，求△PAB的面积的最小值. 19.(17分)已知f(x)=xlnx,g(x=x+a2-x+2. (I)求曲线y=f(x)在点(e,f(©)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)讨论函数y=f(x)在(0，m)(m>0)上的单调性： (3)对一切实数x∈(0，+w),不等式2f(x)≤g'(x)+2恒成立，求实数a的取值范围临潭县第一中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷 高三 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选泽题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.若集合A={少=log,-1},B={2-x-6≤0}，则AUB=() A.[-2,+o) B.[1,3] C.(1,3] D.(L,+∞) 【答案】A 【解析】本题首先可根据对数的相关性质得出集合A=xx>,然后通过求解一元二次不等式得出 集合B={x一2≤x≤3}，最后根据并集的相关性质即可得出结果 【详解】因为集合A={xy=log2(x-1},所以x-1>0,x>1,集合A={xx>}, 因为x2-x-6≤0，即(x-3)(x+2)≤0，解得-2≤x≤3， 所以集合B={x2≤x≤3}，AUB=[-2,+∞)，故选：A 2.若2=-2+i,则3三=（) z+1 A.-1+i B.1+i c.1-i D.-1-i 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求解即得 【详解】由z=-2+i,得二三-2+0-(2-)。2i 2i1-)=2-21上i. z+1 -2+i+1 -1+i(-1+i0(-1-)2 故选：C 3.设有两条直线，n和三个平面a,B,Y,给出下面四个命题： ①x∩B=,n/lm-n/1a,n/1B; ②a⊥B,⊥B,c&→m/Ia: ③a/1B,mca→m11B; ④a⊥B,a⊥y→B1IY 其中正确命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案， 【详解】对于选项①，a⌒B=m,nlWm不能得出/a,llP,因为n可能在&或B内，故①错误； 对于选项②，由于⊥B,mL阝，m￠a,则根据直线与平面平行的判定，可得/1a,故②正确： 对于选项③，由于aB,mca,则根据面面平行的性质定理可得m/IB,故③正确： 对于选项④，由于a⊥B,⊥y,则B,y可能平行也可能相交，故④错误 故选：B 4若单位向量a,6满足(a-2)(a+列=子，则口等于() A.1 B.√2 C.3 D.23 3 【答案】C 【分析】先由已知条件求出a.3,再由a-=√《(a-即可求出答案 【详解】解：因为2.6为单位向量，所以(a-2b)(a+列=-a-6-2=-a.6-1=},所以 a6=-2所以a--va-=-2+bf=5,故选：c 5.在△1BC中，角4B.C的对边分别是ab.c,若a=5b,A=2B,则cosB= 2 A.5 B. C. 5 3 4 5 D.5 6 【答案】B 【详解】“在△ABC中a=5),÷由正弦定理可得mA=5 sinB①，又：A=2B, 之n1=2=3a8a8@.由0@可得汽nB-2 in.c,可得oB-5 故选B. 4 6.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为015，则 不用现金支付的概率为 A.0.3 B.0.4 c.0.6 D.0.7 【答案】B 【详解】设事件A为不用现金支付，则P(A)=1-0.45-0.15=0.4故选：B. 己知P,乃是双曲线C广(Q>0.6>0的左、右焦点，A是C的左顶点，P为C上位于 第一象限内一点，|PA=2W3(PF|-|PF),∠PAF2=30°，则C的离心率为() A.6 B. .30 D.6 2 5 3 【答案】A 【分析】由题设，根据双曲线的定义可得P(5a,2√3a),由P在双曲线上，代入方程得到a,b的齐次 方程，即可求C的离心率 【详解】由腿意知，双曲线的焦点坐标在x轴：PA250PR-PR=4a,PA迟-言 ∴点P坐标(45 a cos-a,4V5asin),即P5a25a0, 6 61 :点P在双曲线上， 25a12a b2 1,即 a b22, “双曲线C的离心率为：e=1+ B_6故选：A a2 2 x2+ax+l,x≤0 8.已知a>0,设函数f(x)= c-a,x0,若存在，使得f(c,)<a,则a的取值范围是() A.（0,2√2-2 B. (0,2W2-2U(1,+∞) C.(1,+0) D.（2W2-2,+∞ 【答案】D 【分析】当x≤0时，∫(x)的最小值为f a 然后分a是否大于1，讨论f(x)在x>0时 的最小值，由此分别列出不等式即可求解 【详解】当x≤0时，易知f(x)的最小值为 Q 2 1-4 当x>0时，'(x)=e-a,令f'(x)=0,解得x=ha, 若0<a≤1，则f(x)在(0，+o)上单调递增，且x→0时，e-r→1， 所以只引1-号a,解得a>25-2成a<-25-2 4 又0<a≤1，所以2√2-2<a≤1， 若a>1,则f(x)在(0，na上单调递减，在(na,+o)上单调递增， f(lna)=a-alna<a成立，所以a>l符合题意， 综上，a的取值范围是(2√2-2，+∞).故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题。每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.甲、乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示（气温均取整数），则关于这7天 的日均气温，下列判断正确的是() 日均气温/℃ 6 5 甲 4F 2 1234567日期 A.甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等 B.甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等 C.甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大 D.乙旅游景区日均气温的极差为1°C 【答案】ABC 【分析】对于选项A,分别计算甲和乙旅游景区的气温平均数，从而判断A的正误： 对于选项B,分别计算甲和乙旅游景区的气温中位数，从而判断B的正误： 对于选项C,根据折线图判断哪个城市的日均气温波动大，进而判断C的正误： 对于选项D,根据折线图找到乙地气温的最大值和最小值，从而得到乙的日均气温极差，进而判断C 的正误 【详解】对于A,B项，甲旅游景区的日均气温分别为5°C,3C,6C,3C,7C,5°C,6C; 乙旅游景区的日均气温分别为5°C,4C,6C,5°C,5C,4C,6C 因为甲旅游景区日均气温的中位数为5C,平均数为5+3+6+3+7+5+6=5C, 7 乙旅游景区日均气温的中位数为5c,平均数为5+4+6+5+5+4+6=5C,故A,B正确： 7 对于C项，根据折线图知甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大，故C正确： 对于D项，因为乙旅游景区日均气温的极差为6-4=2°C,故D错误， 故选：ABC 10.己知函数了()=4sn(x+)4>0.@>04<引的部分图象如图所示，下列说法正确的有(） 123 A.函数y=f(x)的最小正周期为π B.函数y=f心)的图象关于点-2,0中心对称 C.函数y=f(四在3,6 单调递减 D.该图象向右平移个单位可得y=2sin2x的图象 6 【答案】AD 【分析】根据正弦型函数经过的特殊点，结合正弦型的对称性、单调性、周期性、图象平移的性质 逐一判断即可。 【详解】由函数的图象可知A=2,且图象的最高点坐标为 12 2 与它相邻的零点为子 设函数y-()的最小正周期为T,则有}7行及→T=元，故A正确： 4-312 因为w>0,由T=20=π→o=2f(田)=2sm(2x+p）】 又由/周2如2+p0=2号p-ue2=p-e2. 因为回号所以k-1时，=背因此()=2m2x到 因为)=n-2×侣写到-2=0，放垂数y=9的图象不关于点〔台。中心对麻，即 B错误： 当x∈ 2π 3， 君时，设1=2x+子-x0小，因v=2mt在[-x0]没有单调性， 故函数y=f(x)在- 着不是单调递减函数，放C错误： 该图象向右平移名个单位可得小-君司-m?-引+引p=2血x,故D正确 6 故选：AD 11.己知函数f(y)=)x2-m+ax的两个极值点分别是x,,则（) 2 A.a<0或a>4 B.x2+x3>8 C.存在实数a,使得f(x)+f(x)>0 D.06)fs)+)-6 【答案】BD 【分析】对于A,由题意可得∫'(x)=0在(0，+o)上有2个不等的实根，从而可求出a的范围，对于 B,根据根与系数的关系结合a的范围进行判断，对于C,由题意得了(3)+fk,)=-)a-a+d血a, 令8(a-0-1+hmaE(4+),利用导数可求得ga<0,从而可进行判断，对于D, f)-fe)广+)6=m-a-a-6,令a=am-子a-a-6ae-o).利用导 数可求出其在(4，+0)上的最大值小于零即可. 【详解】由f(四有两个极值点，5，得)=x-a+至-0在(Q+)上有2个不等的实根， 即x2-ax+a=0在(0，+o)上有2个不等的实根，则 △=a2-4a>0解得a>4,A错误： a>0 由韦达定理，得x+x=a,x5=a,x+号=(：+x)'-2xx,=a2-2a=(a-1)2-1,当a>4时， x+x号=(a-1)2-1>8,B正确： f)+f())-a(5+x.)+a(m)---aw. 令ga=知1hua(4o):则ga)号a0 所以8(a)在(4，+∞)上单调递减，所以g(a)<g(4)=h4-3<0, 所以f)t)=--a+a咖a=aga<0恒成立，c错误： )6-ma-a-. 令h(a)=ada-3d-1a t6ae(to)ra0-tu含知r片 1 42 令pa)=ia)-aa+片pa)-。子0，所以p(回)在4四)上单调道减。 1 2 所以aje9)=1-6÷分2h2-号0，则回a0, 所以h(a在(4，+n)上单调递减，h(a)<h(4)=4n4-3x4-x4+6=8n2-8<0. 4 2 所以(G)+/()寻（代+）+6<0，D正确故选：BD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知数列{a}为等差数列，Sn为其前n项和，2+a=4+4,则S,=_ 【答案】14 【分析】利用数列通项公式可得2+a+4d=a+5d+a4+2d,再利用前n项和，即可得答案： 【详解】因为2+4，=4，+4，所以2+a+4d=a+5d+4+2d→4+3d=2→4，=2， 所以3，=7a+a)=7a-14.故答案为：14 13.在(1-x)(2+x)°的展开式中，x的系数是 【答案】-228 【详解】(1-x)(2+x)°的展开式中，含x的项是 Cg265x-x3.Cg262x2=(Cg2-Cg2)x=-228x3,即x的系数是-228 14.已知直线1过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切，则直线1的方程为 【答案】3x-4y+10=0或x=2 【分析】利用待定系数法以及直线方程求解注意讨论直线斜率是否存在)， 【详解】因为22+42=20>4，所以点P在圆外. 当直线1的斜率存在时，设其方程为y-4=k(x-2),即c-y-2k+4=0. 由题意知圆0的圆心坐标为0(0,0)，半径为2. 因为圆心到切线的距离等于半径，所以上2站+4-2，解得飞- V1+k2 4 故直线1的方程为3.x-4y+10=0. 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=2,也满足条件. 故直线1的方程为3x-4y+10=0或x=2.故答案为：3x-4y+10=0或x=2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)设数列{a}的前n项和为Sn,且满足3a.=3+2S。(neN). (1)证明：数列{a}是等比数列： ②令c,-1o,au(eN'),求数列C}的前n项和 a. 52n+5 【答案】(1)证明见解析 (2T.=44×3 【分析】(1)由3a,=3+2Sn,得到3at1=3+2S41,两式相减得到a1=3a,即可求解： (2)由1)可得a=3,得到C,=”1,结合乘公比错位相减法求和，即可求解 【详解】(1)证明：当n=1时，3a=3+2S=3+2a,解得4=3， 由3a.=3+2S.,可得3a+1=3+2Sn+1,两式相减得301-3a.=(3+2S)-(3+2S)=2(S+1-S)=2A1, 即a1=3a,所以数列{a}是首项为3，公比为3的等比数列. 2)解：由(1)可得a=3,所以c,”+ 23 23 +…+ nn+l 则T,=C,+C2+C+…+cn= 33H 1 两式相减可得T:= 21 ,1n+12, 9 n+1 32 3n。3+1 3 3+1 1- n+1_511) n+15 3+ 6 63 3 2x3,所以7=52n+5 2n+5 6 44×30· 16.（15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°， D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2. (I)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值： (2)求点P到平面DEF的距离. 【答案】)5 (25 5 B 【分析】(1)依题意建立空间直角坐标系，求出直线PA的方向向量及面DEF的法向量，利用向量 的夹角公式，即可求出直线PA与平面DEF所成角的正弦值： (2)利用向量法可求出点P到平面DEF的距离. 【详解】(1)依题意：以A为坐标原点，AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角 坐标系， 又D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2. 所以4aao.aoc(a1o.PQo2go0-4[}o 所以有：币-Q0,2.F=(E-(050 设平面DEF的法向量为i=(化y,=),则有i⊥DF,i⊥DE. 5y+z=0 所以 2 x=2z 1 =0，令z=1,有元=(20,1， iDE=y=0 2 设直线PA与平面DEF所成角为O,则sinO= i.AP 25 AP 2x√55 所以直线PA与平面DBP所成角的正弦值为 5 2.7 B (2)因为DP ,2。由)有平面DBF的一个法向量为三包 所以点P到平面DEF的距离为：d= .D丽_1+2斗5 V5 5 17.(15分)随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高， 因此滋生了一些不良的攀比现象某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的 数额进行了随机调查，现将统计数据按[0,20)，[20,40)，，[120,140]分组后绘成如图所示的频率 分布直方图，己知a=3b. ◆频率/组距 0 0.0125 0.0075 6 0.0025 0 20406080100120140周零花钱（元） (I)求频率分布直方图中a,b的值： (2)估计该校学生每周零花钱的第55百分位数： (3)若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在[60,120)内的人中抽取11人，求 [100,120)内抽取的人数. 【答案】(1)a=0.015,b=0.005 (2)70元 (3)2人 【分析】(1)根据频率之和为1，结合己知可得： (2)先判断第55百分位数所在区间，然后可得： (3)先求各组频率，根据频率比例即可求得抽取人数 【详解】(1)(a+0.0125+0.0075+2b+2×0.0025)×20=1,即a+2b=0.025 又a=3b,所以a=0.015,b=0.005 (2)前3组的频率和为(0.0025+0.005+0.0125)×20=0.4， 前4组的频率和为(0.0025+0.005+0.0125+0.015)×20=0.7， ∴.第55百分位数位于第4组[60,80)内. 估计第5百分位数为60+0.55-04 ×20=70元 0.3 (3)[60,80),[80,100),100,120)这三组的频率分别为0.015×20=0.3,0.0075×20=0.15， 0.005×20=0.1,比例为6：3：2， 则从[10,120)内抽取的人数分别为2x11=2 11 1817分)已知双曲线c若芳1e~0Q6>0)的实轴长为2，布传点F到双线C的近线阳 离为 (1)求双曲线C的方程： (2)过点E(2,0)作直线1交双曲线的右支于A,B两点，连接AO并延长交双曲线左支于点P(O为坐标 原点)，求△PAB的面积的最小值. 【答米】0号1 (2)12 【分析】(1)根据实轴长可求a,根据焦点到渐近线的距离可求b,故可得双曲线方程： (2)设1：x=y+2,A(:,乃)，B(x2,2),联立直线方程和双曲线方程消去x后结合韦达定理可 得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 临潭县第一中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷 高三 数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．设有两条直线m，n和三个平面，，，给出下面四个命题： ①，，； ②，，； ③，； ④， 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若单位向量满足，则等于（    ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，角的对边分别是，若，，则（ ） A． B． C． D． 6．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 7．已知F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，A是C的左顶点，P为C上位于第一象限内一点，，∠PAF2＝30°，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知，设函数，若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示（气温均取整数），则关于这7天的日均气温，下列判断正确的是（    ） A．甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等 B．甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等 C．甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大 D．乙旅游景区日均气温的极差为 10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 11．已知函数的两个极值点分别是，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列为等差数列，为其前n项和，，则 . 13．在的展开式中，的系数是 ． 14．已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设数列的前n项和为，且满足（）． (1)证明：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和. 16．（15分）如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 17．（15分）随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查，现将统计数据按，，…，分组后绘成如图所示的频率分布直方图，已知.    (1)求频率分布直方图中，的值； (2)估计该校学生每周零花钱的第55百分位数； (3)若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在内的人中抽取11人，求内抽取的人数. 18．（17分）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 19．（17分）已知，. (1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)讨论函数在上的单调性； (3)对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $