精品解析：广东省深圳市罗湖区2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷

2025-2026学年第一学期学业质量检测 九年级 数学 2026.1 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并把条形码粘贴好． 2．全卷共6页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上） 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 比较四个数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 2. “三地联动、四城同传”，2025年11月2日上午，第十五届全国运动会火炬传递在深圳、广州、香港、澳门同步举行，展现了粤港澳大湾区城市的协同发展．以下图形是全运会历史上使用过的体育项目图标，其中轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 3. 某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为85分、90分、92分．若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　） A. 85分 B. 89分 C. 90分 D. 92分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 计算加权平均数，将各项成绩乘以其对应权重比例后求和即可． 【详解】解：最终成绩， ∴小颖的最终成绩为分， 故选：C． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值有可能是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了已知一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 利用根的判别式解答即可． 【详解】由题意可得：， 解得：， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D． 5. 如图，已知与是位似图形，，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，的面积是1，则的面积是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，根据与是位似图形，，得相似比为，故与的面积比为，又因为的面积是1，故的面积是4，即可作答． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴，且相似比为， ∴与的面积比为 ∵的面积是1， ∴的面积是4， 故选：D 6. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 7. 《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，合理列出方程是解题的关键． 根据题意，列出方程即可． 【详解】∵绳子剩余4.5尺， ∴， ∵对折绳子量木，木剩余尺， ∴， ∴方程组为 故选：C． 8. 如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式的应用， 锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出图形，理解题意是解题的关键． 过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E，分别求出F，D，E的坐标，根据勾股定理求出的长，利用三角函数求出的值，再求出的值，即可得答案． 【详解】解：如下图，过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E， 当直线与的唯一交点为A，且直线时，最小， 整理得：，此时方程有两个相等的实数根， ， 解得：（舍去）， 直线为， 当时，，则；当时，，则；当时，，则， ， ， ， 过D作与C， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，若，，，，则长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例，熟练掌握比值方法是解题的关键． 根据线段成比例的比值关系列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 12. 已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，反比例函数的性质，根据题意可得函数图象分别在第二、四象限，则在每个象限内y随x增大而增大，据此可得当时，，利用待定系数法求出函数解析式，再根据增减性可得当时，且当时，函数有最小值，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，y的最大值是6， ∴，即函数图象分别在第二、四象限， ∴在每个象限内y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，则当时，函数有最小值，最小值为， 故答案为：． 13. 如图，菱形的边长为5，面积为20，H为边上一点，将沿着翻折至，和分别交边于点E和F，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点C作垂线交延长线于点，过点H作于点，根据菱形的性质求出，利用勾股定理求出，再根据，结合折叠的性质得到，易证是等腰直角三角形，设，则，，再根据菱形的性质得到，利用直角三角形的性质易证，证明，推出，求出的值，即可解答． 【详解】解：过点C作的垂线交延长线于点，过点H作于点， ∵菱形的边长为5，面积为20， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，其中14题6分，15题8分，16题8分，17题8分，18题10分，19题10分，20题11分，共61分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算零次幂，乘方，负整数指数幂，以及化简绝对值，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 15. 下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并填空． 解方程：． 第1步：， 第2步：， 第3步：解得，，． （1）小亮是用___________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）求解的，但他从第___________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解方程过程． 【答案】（1）配方法，第2步 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步骤是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程的一般步骤判断； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：小亮同学是用配方法来求解的，从第2步开始出现错误， 故答案为：配方法，2； 【小问2详解】 解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 16. 深圳市公园数量年年增加，很多高品质、国际范的公园成为亮眼的城市名片．为了解全市的公园数量，数学小组选取A，B，C，D四个区域进行了抽样调查与评估，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据上述信息，回答下列问题： （1）请你补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C区域对应圆心角度数是___________°； （3）学校开展环保知识竞赛，老师鼓励同学们从A，B，C，D四个区域选取一个公园进行环境考察研究，已知选择C区域的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，请用画树状图法或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 【答案】（1）见解析 （2）108 （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图以及概率公式；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）先计算出所抽取的公园数量，再计算出区域B的公园数量，再补全条形统计图； （2）用360度乘以C区域的占比，即可求出C区域对应的圆心角度数； （3）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到两名性别相同的学生的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 解：由题意可得所抽取的公园数量为（个， 区域B的公园数量为（个， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：扇形统计图中区域所对应扇形的圆心角， 故答案为：108； 【小问3详解】 解：画树状图如图： 所有等可能的情况有12种，其中选取的两名性别相同的学生的情况有4种， 选取的两名性别相同的学生的概率． 17. 如图，在矩形中，是对角线． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边，分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别以A、C为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与边，分别交于点E，F，则点E和点F即为所求； （2）根据矩形的性质和平行线的性质可推出，则可证明，得到，则得出四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示：直线所求垂直平分线． ； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵是线段的垂直平分线， ∴四边形是菱形． 18. 如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． （1）若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ （2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）和分别为与 （2）不能实现，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积，列出方程，是解题的关键． （1）设，则，根据矩形自由采摘区面积为，列出方程，解方程即可； （2）设，则，矩形自由采摘区的面积需改为，列出方程，判断方程解的情况即可． 小问1详解】 解：设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：和分别为与． 【小问2详解】 解：设，则， 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解，所以想法不能实现． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 天文轨道计算问题 素材1 某星际探测器的主轨道是直线． 素材2 同时它需要与一颗星际小行星轨道双曲线交汇，以采集样本； 素材3 如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与地球轨道y轴交于发射基地B； 素材4 如图2，探测器在主轨道第一象限的观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D． 任务1 求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k； 任务2 若发射基地B到观测点C的距离与到交汇点A的距离之比是，即，求的值． 任务3 如图3，若小行星运动到点P的位置，连接，若，求点P的坐标． 【答案】任务1：，；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，待定系数法，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定等知识． 任务1∶运用待定系数法即可求得答案； 任务2∶过点A、C分别作轴于F，轴于G，则，可得，利用相似三角形的性质求出，，进而得出点C、D、E的坐标，即可求得答案； 任务3：由，得，即可求得直线的解析式为，与反比例函数解析式联立即可求得点P的坐标． 【详解】解：任务1：将点代入，得：， 解得：； 将点代入，得， 解得：； 任务2：如图2，过点A、C分别作轴于F，轴于G，则． ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∵轴， ∴，， ∴，， ∴； 任务3：∵， ∴． ∵， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为． 联立得：，解得：或（舍去）， 当时，， ∴点P的坐标为． 20. 【问题情境】：已知在四边形中，，是对角线，且． 【数学思考】：（1）如图1，当，时，___________；___________； 【探究实践】：（2）如图2，当时，将绕点A顺时针旋转至与重合，得到，D的对应点为E，连接并延长交于点F． ①试说明； ②求证：； 【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图3，若，，求的长． 【答案】（1）①，②；（2）①见解析，②见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）根据勾股定理可得，利用等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数即可得到答案； （2）①根据旋转的性质可得到，，，据此可证明结论；②在上截取，连接．证明，得到，．证明，得到，则可证明； （3）连接，过点A作于点H．由勾股定理得．由相似三角形的性质可求出，由三线合一定理和勾股定理求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， ∴； ②∵， ∴, ∴, ∴ （2）①证明：由旋转得，，， ∴， ∴； ②证明：如图，在上截取，连接． 由旋转得，，． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）如图所示，连接，过点A作于点H． ∵，， ∴． 由（2）可知，， ∴，即 ∴， ∵， ∴， ∴． 由（2）可知，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学业质量检测 九年级 数学 2026.1 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并把条形码粘贴好． 2．全卷共6页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上） 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（　　） A. B. C. D. 2. “三地联动、四城同传”，2025年11月2日上午，第十五届全国运动会火炬传递在深圳、广州、香港、澳门同步举行，展现了粤港澳大湾区城市的协同发展．以下图形是全运会历史上使用过的体育项目图标，其中轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 3. 某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为85分、90分、92分．若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　） A. 85分 B. 89分 C. 90分 D. 92分 4. 若关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值有可能是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 如图，已知与是位似图形，，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，的面积是1，则的面积是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知不等式解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算的结果是___________． 10. 如图，若，，，，则长为___________． 11. 若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 12. 已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 13. 如图，菱形的边长为5，面积为20，H为边上一点，将沿着翻折至，和分别交边于点E和F，若，则___________． 三、解答题（本大题共7题，其中14题6分，15题8分，16题8分，17题8分，18题10分，19题10分，20题11分，共61分） 14. 计算： 15. 下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并填空． 解方程：． 第1步：， 第2步：， 第3步：解得，，． （1）小亮是用___________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）求解的，但他从第___________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解方程过程． 16. 深圳市公园数量年年增加，很多高品质、国际范的公园成为亮眼的城市名片．为了解全市的公园数量，数学小组选取A，B，C，D四个区域进行了抽样调查与评估，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据上述信息，回答下列问题： （1）请你补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C区域对应的圆心角度数是___________°； （3）学校开展环保知识竞赛，老师鼓励同学们从A，B，C，D四个区域选取一个公园进行环境考察研究，已知选择C区域学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，请用画树状图法或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 17. 如图，在矩形中，是对角线． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边，分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形为菱形． 18. 如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． （1）若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ （2）为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 天文轨道计算问题 素材1 某星际探测器的主轨道是直线． 素材2 同时它需要与一颗星际小行星的轨道双曲线交汇，以采集样本； 素材3 如图1，已知探测器与小行星在交汇点处相遇，探测器的主轨道与地球轨道y轴交于发射基地B； 素材4 如图2，探测器在主轨道第一象限观测点C与x轴上的观测点E之间的连线轴，交小行星轨道于点D． 任务1 求探测器轨道参数b和小行星轨道参数k； 任务2 若发射基地B到观测点C的距离与到交汇点A的距离之比是，即，求的值． 任务3 如图3，若小行星运动到点P位置，连接，若，求点P的坐标． 20. 【问题情境】：已知在四边形中，，是对角线，且． 【数学思考】：（1）如图1，当，时，___________；___________； 【探究实践】：（2）如图2，当时，将绕点A顺时针旋转至与重合，得到，D的对应点为E，连接并延长交于点F． ①试说明； ②求证：； 【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图3，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $