专题2.1 不等式及其性质 （寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

不等式及其性质 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 不等式概念 考点梳理 不等关系： （1）在日常生活中，数量之间的关系有两种：相等与不相等． （2）常见的不等号 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 大于号 ＞ 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等于号 ≠ 不等 不等于 （3）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 如，，，都是不等式． 典例引领 考向01 不等式的定义 【例1】a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列不等式，掌握知识点是解题的关键． “平方差”指两个数的平方之差，即；“不小于”表示大于或等于，即大于或等于3，即可解答． 【详解】解：a与b的平方差不小于3，用不等式表示为． 故选C． 对点提升 【对点1】下列数满足不等式的是（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集，理解不等式的解集的含义是解决问题的关键． 由得出为负数，即可得出答案． 【详解】解：， 为负数， 故选：A． 考点02 列不等式 考点梳理 用不等式表示不等关系叫做列不等式． 例如：“x与3的和小于5”用不等式表示为． 考点03 不等式的解与解集 考点梳理 1. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 2. 不等式的解集 一般情况下不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式． 4. 不等式的解与不等式的解集的区别 对不等式的“解”和“解集”可以从以下三个方面去理解： （1）不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立． （2）不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解． （3）不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个元素． 典例引领 考向01 不等式的解集 【例1】下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 对点提升 【对点1】关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为 ． 【答案】0或6或8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的整数解，不等式的解集，掌握知识点是解题的关键． 先解方程得到，由于解是正整数，因此必须是9的正因数，且，从而确定整数的值． 【详解】解：解方程， 移项得， 即， 解得． 由于方程的解是正整数，因此且为整数， 故，即， 且必须是9的正因数． 9的正因数有1、3、9， 当时，，； 当时，，； 当时，，． 均满足解为正整数． 若为负因数，则为负，不符合要求； 若，则分母为零，方程无解． 因此整数的值为0或6或8． 故答案为：0或6或8． 考点04 不等式解集的两种表示方法 考点梳理 1. 用不等式的表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，而这个范围可以用一个具体、简单的不等式来表示． 2. 用数轴表示 不等式的解集在数轴上表示可用下表说明． 不等式的解集 图示 说明 界点用空心圆圈，方向向右 界点用空心圆圈，方向向左 界点用实心圆点，方向向右 界点用实心圆点，方向向左 考点05 不等式的基本性质 考点梳理 知识点1 不等式的基本性质1 ，，这个性质也叫作不等式的传递性. 知识点2 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，那么或；如果，那么或． 其中c可以表示一个数（含0），也可以表示一个整式． 知识点3 不等式的基本性质3 1. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 典例引领 考向01 不等式的性质 【例1】若不等式成立，则满足的条件是 ． 【答案】 【分析】先对原不等式进行化简变形，通过移项合并同类项，得到关于的系数，再根据系数的正负性来确定的取值范围． 【详解】解：原不等式进行移项：， 提取公因式并化简： ， 两边同时除以： ． 故答案为：． 对点提升 【对点1】如果，那么下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式错误，不符合题意； B、由可得，原式错误，不符合题意； C、由可得，则，原式正确，符合题意； D、由可得，原式错误，不符合题意； 故选：C． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， A、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； B、∵ ，∴，∴，故此选项错误，不符合题意； C、∵，当时，，∴；当时，；∴，故此选项正确，符合题意； D、当时，分母无意义，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，利用等式的性质和不等式的性质判断推理的正确性即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、若，则，符合等式对称性，正确，不符合题意； 、若，则，但当时，恒成立，与不一定相等，推理错误，符合题意； 、若，则，因为正数加任何数大于原数，正确，不符合题意； 、若，则，因为等式两边平方相等，正确，不符合题意； 故选：． 3．下列命题中属于真命题的是（   ） A．若，则 B．如果，那么点一定在第二象限 C．形状相同的三角形是全等三角形 D．全等三角形对应边相等 【答案】D 【分析】此题考查了真命题的定义，正确掌握真命题定义及全等三角形的判定定理，实数的平方计算，点的坐标特征是解题的关键．正确的命题是真命题，根据定义判断即可． 【详解】解：若，满足，但，故选项A不是真命题； 如果，则，异号，那么点一定在第二或第四象限，故选项B不是真命题； 形状相同且大小相等的三角形是全等三角形，故选项C不是真命题； 全等三角形对应边相等，故选项D是真命题； 故选：D． 4．已知实数满足，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减、一元一次方程的求解和一元一次不等式的求解，理解题意是解决本题的关键． 根据已知方程联立求解，得到和，再结合判断各选项正误即可． 【详解】解：∵，， 得： 解得， 将代入①得：， ∴， ∵，且，， ∴，即，， ∴选项A、B、D正确； C、，但，， ∴，该选项错误，符合题意． 故选C． 5．如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a，b．如果，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，掌握知识点是解题的关键．由结合数轴可知同号或异号，分两种情况根据有理数的运算法则逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴同号或异号， 当同号时，， ∴，，，与不能判断大小关系， 当异号时，，且， ∴，，，与不能判断， 综上，正确， 故选：B． 6．下列命题是真命题的是（   ） A．的平方根是 B．同角的余角相等 C．数据1，2，3，4，2的众数是4 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，余角，众数的定义及不等式的性质，逐一判断各选项命题的真假，根据涉及的知识点进行选择即可． 【详解】解：A项：，16的平方根是，并非只有，所以A项不是真命题； B项：同角的余角相等，即若两角均为同一角的余角，则这两角相等，所以B项是真命题； C项：数据1，2，3，4，2中，2出现次数最多，众数为2，并非4，所以C项是假命题； D项：时，x可为负数，如时但，所以D项是假命题， 故选：B． 7．如图，点在第一象限内，且满足．若一次函数的图象经过点和点，则下列判断不正确的是（    ） A．当时，一次函数图象经过原点 B． C．当时， D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数上点的特征，平面直角坐标系及不等式的性质，根据题意可得，且，再根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ． 【详解】解：根据题意得，且， 解得：， A、当时，由得，即． 将和代入： 解得，函数为，经过原点 故该选项说法正确，不符合题意； B、当时，则，且， ∴，故该选项说法正确，不符合题意； C、∵当时，， ∴当时，，故该选项说法正确，不符合题意； D、把代入，得 ， ∴． 若， 则， 解得，故该选项错误；符合题意； 故选：D． 8．若点、，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．解答此题的关键是利用一次函数图象的增减性进行分析．根据一次函数的系数知，y随x的增大而增大，据此来判断a，b，c的大小关系并作出选择． 【详解】解：∵， ∴， ∴y随x的增大而增大． 又点、，在图象上，且， ∴， 故选：A． 9．下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、内错角、对顶角、平方根以及等式性质等知识．依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意； B、“内错角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是内错角”，这个命题是假命题，故不合题意； C、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意： D、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意． 故选：C． 10．若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，完全平方公式和非负数的性质，熟练掌握相关知识的关键． 由，可得，．利用不等式的性质和完全平方公式，在左边配方成，此时右边为，运用非负数的性质判断的范围，同理②③也可以判断出范围． 【详解】解： ∵，， ∴， 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故①正确； 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故②正确； 同理可得，③也正确，共3个． 故选：D． 2、 填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，，，，连接，，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，勾股定理，无理数的比较大小，正确计算是解题的关键． 通过计算两个三角形的三边长度，利用三边长度之和求出三角形的周长，再比较两个三角形周长的大小即可． 【详解】解：由勾股定理可求得， ，， ，，， ∴， ， ∵， ， ，即， ∴， 故答案为：． 12．已知，，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查含字母的绝对值的化简，先分别判断绝对值里面的代数式的正负，然后去绝对值，最后合并同类项即可 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴， ∵，， ∴，得 ， ∴， ∴ ， ∴原式 ． 故答案为：． 13．如果，那么 ， ．（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＜ ＞ 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 由已知不等式，两边同除以（负数），不等号方向改变，得到；然后利用不等式的性质，分别判断与、与的大小关系即可． 【详解】解：， ． ，根据不等式性质，两边同乘正数，不等号方向不变， ，两边同乘，不等号方向改变， ； ∵两边同时加上，不等号方向不变， ∴． 故答案为：，． 14．若的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会改变。我们需要根据解集反推出系数的符号，从而求出的取值范围． 【详解】解：已知的解集为． 根据不等式的基本性质：当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变． 由此可得，系数， 解得：． 故答案为：． 15．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：若，当时，，∴①说法错误； 若，根据不等式的性质1，得，则，∴②说法正确； 若，当时，根据不等式的性质3，得，∴③说法错误； 若，可知，故，根据不等式的性质2，得，∴④说法正确． 故答案为：②④． 3、 解答题 16．某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 【答案】(1)①② (2)； (3) 【分析】本题考查有理数大小比较，解题的关键是掌握不等式的性质． （1）根据表格填空即可； （2）观察表格规律可得答案； （3）求出，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：由得； 由得； 故答案为：，； （2）解：若，则，若，则； 故答案为：，； （3）解：； 任意实数a， ． 17．先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 18．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 19．（1）若，求的值； （2）已知中三个角所对的三边分别为．求证：． 【答案】（1），（2）见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程解法和三角形三边关系、不等式性质． （1）本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数， （2）利用三角形三边关系，可得，，，再利用不等式性质即可证明结论． 【详解】（1）解：解关于、的方程： 解得， 所以， （2）证明：在中，、、为边长 ∴， ∴ ， 同理：， ， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴． 20．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 两式相减，得， ， 的算术平方根为， ∵ ∴， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式及其性质 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 不等式概念 考点梳理 不等关系： （1）在日常生活中，数量之间的关系有两种：相等与不相等． （2）常见的不等号 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 大于号 ＞ 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等于号 ≠ 不等 不等于 （3）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 如，，，都是不等式． 典例引领 考向01 不等式的定义 【例1】a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】下列数满足不等式的是（    ）． A． B．0 C．1 D．2 考点02 列不等式 考点梳理 用不等式表示不等关系叫做列不等式． 例如：“x与3的和小于5”用不等式表示为． 考点03 不等式的解与解集 考点梳理 1. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 2. 不等式的解集 一般情况下不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式． 4. 不等式的解与不等式的解集的区别 对不等式的“解”和“解集”可以从以下三个方面去理解： （1）不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立． （2）不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解． （3）不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个元素． 典例引领 考向01 不等式的解集 【例1】下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为 ． 考点04 不等式解集的两种表示方法 考点梳理 1. 用不等式的表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，而这个范围可以用一个具体、简单的不等式来表示． 2. 用数轴表示 不等式的解集在数轴上表示可用下表说明． 不等式的解集 图示 说明 界点用空心圆圈，方向向右 界点用空心圆圈，方向向左 界点用实心圆点，方向向右 界点用实心圆点，方向向左 考点05 不等式的基本性质 考点梳理 知识点1 不等式的基本性质1 ，，这个性质也叫作不等式的传递性. 知识点2 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，那么或；如果，那么或． 其中c可以表示一个数（含0），也可以表示一个整式． 知识点3 不等式的基本性质3 1. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 典例引领 考向01 不等式的性质 【例1】若不等式成立，则满足的条件是 ． 对点提升 【对点1】如果，那么下列正确的是（　　） A． B． C． D． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列命题中属于真命题的是（   ） A．若，则 B．如果，那么点一定在第二象限 C．形状相同的三角形是全等三角形 D．全等三角形对应边相等 4．已知实数满足，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a，b．如果，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列命题是真命题的是（   ） A．的平方根是 B．同角的余角相等 C．数据1，2，3，4，2的众数是4 D．如果，那么 7．如图，点在第一象限内，且满足．若一次函数的图象经过点和点，则下列判断不正确的是（    ） A．当时，一次函数图象经过原点 B． C．当时， D．若，则 8．若点、，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 10．若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2、 填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，，，，连接，，则 （填“”“”或“”）． 12．已知，，化简 ． 13．如果，那么 ， ．（填“＞”或“＜”） 14．若的解集为，则的取值范围是 ． 15．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 3、 解答题 16．某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 17．先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 18．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 19．（1）若，求的值； （2）已知中三个角所对的三边分别为．求证：． 20．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $