精品解析：四川省眉山市仁寿县2025-2026学年 九年级上学期期末教学质量监测数学试卷

九年级（上）期末教学质量监测 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级、学校填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．不允许使用计算器进行计算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑． 1. 已知，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根定义，平方根为零则被开方数为零求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：C． 2. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的根、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握当根的判别式小于零时，方程无实数根是解题的关键． 解一次方程可判定A选项正确；再运用根据判别式判断B、C、D即可． 【详解】解：A．一次方程，必有实数根，故该选项不符合题意； B．在中，，有实数根，故该选项不符合题意； C．在中，，有实数根，故该选项不符合题意； D ．在中，，无实数根，故该选项符合题意． 故选D． 3. 如图，中，点是的中点，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．利用平行线的性质得到两组对应角相等，从而证明三角形相似，再结合中点条件得到相似比，进而求出线段的比值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，二次根式的加法．根据完全平方公式，同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，二次根式的加法，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、 ，故本选项错误，不符合题意； B、 ，故本选项错误，不符合题意； C、 ，故本选项错误，不符合题意； D、 ，故本选项正确，符合题意； 故选：D 5. 如图，四边形中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理及其逆定理，根据勾股定理可得的长，利用勾股定理的逆定理可证明，据此根据余弦的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ，， ， 故选：A． 7. 已知、是方程的两根，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的定义推出，，最后整体代入即可解决问题． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴． ∴ ． 故选：B 8. 某物理兴趣小组对一款烧水壶的工作电路展开研究，如图1，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像如图2，且该图像是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 把代入得， 解得， ∴， ∵， ∴当，即时，P有最大值，最大值为240， ∴变阻器消耗的电功率最大为， 故选：C． 9. 四川眉山一甘蔗老板童先生推出了现实版“开心农场”，开放甘蔗田让游客自助“偷甘蔗”爆火出圈，游客以元每根的价格，可以在规定的时间到田里“偷甘蔗”．为了增强互动性，还有专人扮演巡逻（不受操控的程序化角色）抓“偷甘蔗”游客．消息一出，大批游客前去体验、从活动开始，初步估算第一周“偷甘蔗”的农场游客人数是人，随着网络的传播，每周来体验的人数不断增加，第三周“偷甘蔗”的农场游客人数是人，若每周“偷甘蔗”的农场游客人数增长率相同，求该农场“偷甘蔗”的游客人数的周平均增长率是多少？设“偷甘蔗”的农场游客的周平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及增长率的计算，从第一周到第三周，经过了两周的增长，因此第三周人数为第一周人数乘以． 【详解】解：设周平均增长率为x， 根据题意得， 故选：B． 10. 如图，在平行四边形中，点、在边、上，，连接交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．取中点，连接，通过构造辅助线，利用相似三角形的比例关系，逐步推导出上各线段的长度，进而求出的长． 【详解】解：如图，取中点，连接交于点，则， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 11. 如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．①根据二次函数的图象经过，，可得到对称轴，并将代入解析式得到b、c与a的关系，及从而判断；②由对称轴和函数的图象可以判断；③算出a和c的关系即可；④由题意得到即可判断； 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴， ∴，， ∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， 当时，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； 正确的是①②③共3个． 故选：C． 12. 如图，正方形的边长为4，点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，过点作，垂足为，连接，则有下列结论： ①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等边三角形等知识点，逐一分析每个结论，结合几何性质推导验证即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，． ∴， ∴，结论①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，结论②正确； ③∵， ∴是直角三角形． ∵是等腰直角三角形，， ∴是的中点， ∴， ∴，结论③正确； 如图，取中点，连接D． 在中，，， ∴， ∴， ∴，即是等边三角形， ∴． 由，得． 又∵， ∴，结论④正确． 综上，4个结论均正确，故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 已知，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设,,代入所求式子中求解即可. 【详解】解：∵， ∴设，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查比例性质、分式求值，熟练掌握比例性质是解答的关键． 14. 一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，这两种球除颜色外均相同，将口袋中的球摇匀，从口袋中取出一个球，记录颜色后放回再摇匀再取出，经过多次实验，估计得到红球的概率是，则口袋中红球有___________个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识点，根据多次实验得到的红球概率，结合总球数，计算红球的个数． 【详解】解：设口袋中红球有个， ∵总球数为个，且得到红球的概率是， ∴，解得； 故答案为：4． 15. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____________ 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、坐标分别为和．若正方形第1次沿轴翻折，第2次把第1次翻折后的图形沿轴翻折，第3次把第2次翻折后的图形沿轴翻折，第4次把第3次翻折后的图形沿轴翻折，第5次把第4次翻折后的图形沿轴翻折，…，按此规律，则第2026次翻折后的图形点对应的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于坐标轴对称点的坐标规律，先确定初始点的坐标，再分析每次翻折后的坐标变化，找出翻折规律，最后计算第次翻折后的坐标即可． 【详解】解：∵正方形中，，， ∴， 又∵正方形边长相等， ∴， ∴点初始坐标为． 接下来分析翻折规律： 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为，即回到初始坐标． …… ∵…， ∴第次翻折点对应的点与进行第次翻折后的点相同，对应坐标为． 故答案为：． 17. 把函数的图像沿轴翻折后向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像变化，熟练掌握变换方法是解题的关键． 先沿轴翻折得到新函数，再依次进行平移变换即可． 【详解】原函数为 ．沿轴翻折，函数变为 ； 向右平移个单位，将替换为，得 ； 向上平移1个单位，得 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作并延长交、于点、，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查角的平分线的尺规作图和相似三角形判定与性质等知识，关键是先证明，再利用相似三角形判定与性质逐步推导． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，. 由作图步骤，知平分，∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 在中，由勾股定理，， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分． 19. （）化简： ； （）计算：． 【答案】（）；（） 【解析】 【分析】（）分子分母分别乘以，再化简即可； （）利用零指数幂和特殊角的三角函数值进行化简，再相加即可求解； 本题考查了分母有理化，实数的混合运算，三角函数等，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式； （）原式 ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， 即， ∴， 即或， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点、坐标分别为、，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接、． （1）求的值； （2）点在轴上，当是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为、、或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与等腰三角形的判定，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． （1）通过已知的坐标得到线段长度，计算对应边的比例，结合直角相等证明三角形相似，再由相似三角形对应边成比例得到的值． （2）需分三种情况讨论：、、，结合图形性质求解． 【小问1详解】 解：∵点坐标为，轴， ∴，，． ∵点坐标为，轴， ∴，，． ∴， 又∵， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：由（1），∵，， ∴． ①当时，如图过点作． ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵，， ∴． ∴，即，解得． ∵点在轴负半轴上， ∴点坐标为； ②当=2时，∵轴，且， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ③当时，点的坐标为或． 综上，点的坐标为、、或． 22. 中小学春秋假主要基于回归教育本质、引导学生实践体验、优化公共服务与旅游发展等因素．仁寿县2025年秋假期间，某校鼓励学生外出参加社会实践活动，为方便学生更好地完成社会实践活动，学校为学生推荐了、、、四个地方．9年级1班对全班学生到四个地方的人数情况进行了问卷调查，每一个学生只能够选择一个地方，并根据问卷情况绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）9年级1班共有学生_____________人；扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角度数为_____________； （2）将条形统计图补充完整； （3）已知去地的四名学生中男女学生各两名，要抽取其中两名学生来做本次实践活动的方案，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）40； （2） 补全统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息的关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和熟知概率公式是解题的关键． （1）用D的人数除以其人数占比可求出9年级1班的人数，再用360度乘以C的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （2）根据（1）所求求出B的人数，再补全统计图即可； （3）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽到一名男生一名女生的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：人， ∴9年级1班共有学生40人， ∴扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角度数为； 【小问2详解】 解：B的人数为人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到一名男生一名女生的结果数有8种， ∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 23. “四川省城市足球联赛”赛季川西赛区，年月日在仁寿县体育场举行眉山射天队雅安队，小明和小刚相约前去观看比赛，如图，仁寿县体育场在处，小明家在处，小刚家在处，在一条直线上，相距米，根据手机导航显示，点在点北偏东方向，点在点北偏东方向，求小明家点到体育场点的距离． 【答案】小明家点到体育场点的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线．过点作于点，由题意可知，，得到，，设，则，根据得到求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 点在点北偏东方向，点在点北偏东方向， ，， ，， 设，则， ，即， 解得， 米， 米， 答：小明家点到体育场点的距离为米． 24. 某市提出“全民健身手牵手，幸福生活心连心”的健康锻炼计划，为了更好地为广大市民提供锻炼的场所，准备将体育公园内一个长米、宽米的矩形场地按照下图进行设计打造，场地内修等宽交叉的两条路，一条路的两边是线段，另一条路的两边是曲线，剩余部分安装健身器材，安装健身器材的面积是平方米．求道路的宽． 【答案】道路的宽为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据图形的特点找到数量关系列方程．利用平移的性质将两条交叉的道路平移到场地的边缘，剩余的安装健身器材区域会形成一个新的矩形，再利用矩形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：将两条交叉的道路平移到场地的边缘，剩余的安装健身器材区域会形成一个新的矩形， 由图可知，道路宽为米，则新矩形的长为米，宽为米， 根据题意得，， 解得或（不合题意，故舍去）， 答：道路的宽为米． 25. 如图，已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，、两点坐标为、． （1）求二次函数的表达式； （2）点在直线下方的抛物线上，连结、，求的最大面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为、、或 【解析】 【分析】（1）代入两点坐标求解二次函数表达式； （2）通过设点坐标，结合直线方程表示线段长度，利用二次函数配方法求面积最大值； （3）分，，三种情况讨论，当，时，结合全等三角形与设直线方程求解；，时，利用等腰直角三角形的判定与性质求解． 【小问1详解】 解：将、代入，得 ，解得， 故二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为． 将，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为，过作轴的垂线，交直线于点，则的横坐标为，则， ∴， ∴的面积． ∵， ∴函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 【小问3详解】 解：①如图，当，点在直线上方时，对称轴与轴交点为，在轴上截取，过点作轴垂线交于点，设，则， ∵， ∴． 又∵，且， ∴． 在和中： ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴设直线的函数解析式为， 将、代入得： 对两个方程进行整理： 由方程②，得，将其代入方程①： 展开并整理得到：， ∴(舍去负值)． ②如图，当，点在直线下方时，对称轴与轴交点为，在轴上截取，过点作轴垂线交于点，设，则， 同理，． ∴． 设直线的函数解析式为， 将、代入得：， 由方程②，得，将其代入方程①： 展开并整理得到：， ∴(舍去正值)． ③如图，当时，对称轴与轴交点为， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴． ④如图，当时，过点作轴，易得． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 综上，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数与几何图形的面积问题以及特殊三角形存在性问题，涵盖代数运算、函数性质、几何图形判定与计算三大模块．第（1）小题很好解决，第（2）小题中需要用铅垂高法求的最大面积，第（3）小题需要分三种情况结合几何图形性质求解． 26. 综合与实践 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探究： 【初步探究】 如图1，已知，，将绕点顺时针旋转得，连接交于点，交于点．求证：． 【类比探究】 如图2，已知正方形，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，连接交于点，求的值； 【深入探究】 如图3，已知矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得矩形，点在延长线上，连接，试探究线段与之间的数量关系，并写出证明过程； 【拓展延伸】 在深入探究的条件下，将矩形绕点继续顺时针旋转，点在线段上，，则的长为____________． 【答案】 初步探究：证明：∵绕点顺时针旋转得， ∴，． ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴； 类比探究： 深入探究： 拓展延伸：1 【解析】 【分析】初步探究：由旋转性质，，故，由角的关系得到，再由，得到，线段代换即可． 类比探究：设正方形边长为，过作于，由旋转角，得到，是等腰直角三角形，因此，再有，由相似三角形对应边成比例：． 深入探究：连接，用证，得到，；设，由直角三角形性质：；矩形中，由全等得，在中，故． 拓展延伸：由直角三角形性质求出，，连接，由旋转得为直角三角形，利用勾股定理求出即可． 【详解】初步探究：略 类比探究： 解：设正方形边长为，则，旋转后，． 如图，过作于， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 深入探究： 解：如图，连接，连接， ∵矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ∴ ∵点在的延长线上， ∴， ∴， ∴旋转角为． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 在和中： ∴， ∴， ，即点在同一直线上， ∴为的中点． 设，在中，， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 拓展延伸： 解：如图，连接． 在中，， ∴， ∴． ∵矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点在线段上， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、含角的直角三角形的边角关系、勾股定理、全等三角形的判定等知识，利用旋转性质转化线段与角度、构造全等三角形集中条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）期末教学质量监测 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级、学校填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．不允许使用计算器进行计算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑． 1. 已知，则的值是（） A. B. C. D. 2. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，点是的中点，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是方程的两根，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 8. 某物理兴趣小组对一款烧水壶的工作电路展开研究，如图1，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图像如图2，且该图像是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率最大为（ ） A. B. C. D. 9. 四川眉山一甘蔗老板童先生推出了现实版“开心农场”，开放甘蔗田让游客自助“偷甘蔗”爆火出圈，游客以元每根的价格，可以在规定的时间到田里“偷甘蔗”．为了增强互动性，还有专人扮演巡逻（不受操控的程序化角色）抓“偷甘蔗”游客．消息一出，大批游客前去体验、从活动开始，初步估算第一周“偷甘蔗”的农场游客人数是人，随着网络的传播，每周来体验的人数不断增加，第三周“偷甘蔗”的农场游客人数是人，若每周“偷甘蔗”的农场游客人数增长率相同，求该农场“偷甘蔗”的游客人数的周平均增长率是多少？设“偷甘蔗”的农场游客的周平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，点、在边、上，，连接交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，正方形的边长为4，点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，过点作，垂足为，连接，则有下列结论： ①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 已知，则的值为_________． 14. 一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，这两种球除颜色外均相同，将口袋中的球摇匀，从口袋中取出一个球，记录颜色后放回再摇匀再取出，经过多次实验，估计得到红球的概率是，则口袋中红球有___________个． 15. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、坐标分别为和．若正方形第1次沿轴翻折，第2次把第1次翻折后的图形沿轴翻折，第3次把第2次翻折后的图形沿轴翻折，第4次把第3次翻折后的图形沿轴翻折，第5次把第4次翻折后的图形沿轴翻折，…，按此规律，则第2026次翻折后的图形点对应的坐标是___________． 17. 把函数的图像沿轴翻折后向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像的解析式为___________． 18. 如图，在矩形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作并延长交、于点、，则的长为___________． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分． 19. （）化简： ； （）计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点、坐标分别为、，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接、． （1）求的值； （2）点在轴上，当是等腰三角形时，求点的坐标． 22. 中小学春秋假主要基于回归教育本质、引导学生实践体验、优化公共服务与旅游发展等因素．仁寿县2025年秋假期间，某校鼓励学生外出参加社会实践活动，为方便学生更好地完成社会实践活动，学校为学生推荐了、、、四个地方．9年级1班对全班学生到四个地方的人数情况进行了问卷调查，每一个学生只能够选择一个地方，并根据问卷情况绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）9年级1班共有学生_____________人；扇形统计图中“”所对应的扇形圆心角度数为_____________； （2）将条形统计图补充完整； （3）已知去地的四名学生中男女学生各两名，要抽取其中两名学生来做本次实践活动的方案，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 23. “四川省城市足球联赛”赛季川西赛区，年月日在仁寿县体育场举行眉山射天队雅安队，小明和小刚相约前去观看比赛，如图，仁寿县体育场在处，小明家在处，小刚家在处，在一条直线上，相距米，根据手机导航显示，点在点北偏东方向，点在点北偏东方向，求小明家点到体育场点的距离． 24. 某市提出“全民健身手牵手，幸福生活心连心”的健康锻炼计划，为了更好地为广大市民提供锻炼的场所，准备将体育公园内一个长米、宽米的矩形场地按照下图进行设计打造，场地内修等宽交叉的两条路，一条路的两边是线段，另一条路的两边是曲线，剩余部分安装健身器材，安装健身器材的面积是平方米．求道路的宽． 25. 如图，已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，、两点坐标为、． （1）求二次函数的表达式； （2）点在直线下方的抛物线上，连结、，求的最大面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 26. 综合与实践 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探究： 【初步探究】 如图1，已知，，将绕点顺时针旋转得，连接交于点，交于点．求证：． 【类比探究】 如图2，已知正方形，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，连接交于点，求的值； 【深入探究】 如图3，已知矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得矩形，点在延长线上，连接，试探究线段与之间的数量关系，并写出证明过程； 【拓展延伸】 在深入探究的条件下，将矩形绕点继续顺时针旋转，点在线段上，，则的长为____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $