2026年中考数学一轮复习考点压轴解答题精练：圆的综合

一轮复习考点压轴解答题精练：圆的综合 1．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD于D，AC平分∠DAB，点P是的中点，连接CP、AP、BP． （1）若∠BAC＝30°，CD＝3，求AC的长； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）若CP交AB于点M，作PH⊥AC于点H，交AB于点N，猜想AN、MN、BM存在的数量关系，并说明理由． 2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且∠C＝2∠A． （1）求∠A的度数． （2）若⊙O的半径为5． ①如图2，连结BD，求BD的长． ②如图3，连结CA，若CA平分∠BCD，求BC+CD的最大值． （3）如图4，若AC是⊙O的直径，直接写出线段AB，BC，CD之间的等量关系． 3．如图，AB，CD，EF均为⊙O的直径，点C是弧AF的中点，点N在OD上，且四边形ONBF是平行四边形，OM＝ON＝AM＝2． （1）求证：△BON≌△DOM； （2）若点G在EF的延长线上，且∠BOF＝2∠G，证明：CG是⊙O的切线； （3）求⊙O的半径． 4．在△ABC中，AB＝4，BC＝2，以B为圆心，BC为半径作弧，分别与边AC，AB交于点D，E． （1）如图1，点F是边BC的中点，联结DF，当AB∥DF时， ①求tan∠ACB的值； ②将弧CD沿直线DF翻折，翻折后的弧所在的圆的圆心为点P，求P到直线BC的距离； （2）如图2，射线ED与射线BC相交于点G，联结BD，当△AED与△BDG相似时，求DG的长． 5．如图1，在⊙O中，AB，CF为⊙O的直径，连接AC并延长至点D，使得AC＝CD．连接DB并延长交⊙O于点E，连接BC． （1）求证：； （2）如图2，连接AE，交CF于点P，若，AB＝4，求OP的长度； （3）如图3，连接DF，分别交AB，BC于点Q，M，过点M作MN⊥AB于点N．若BC＝a，AC＝b． ①用含有a，b的代数式表示MN； ②求证：． 6．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，例如，如图1，AB与⊙O相切于点C、CD是⊙O的弦，则∠ACD和∠BCD都是⊙O的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图2，AB与⊙O相切于点C，⊙O是△CDE的外接圆． 求证：∠BCD＝∠E． 【性质应用】 （2）如图3，AB与⊙O相切于点C，CD是⊙O的弦，E是⊙O上的动点，若△CDE是等腰三角形，∠BCD＝α，则∠D的度数为　 　 （用含α的代数式表示）． （3）如图4，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，⊙O的半径为5，AB＝8，若四边形ABCD边AD所在的直线与⊙O相切，且AC平分一组对角时，根据题意自行画图并求CD的长． 7．如图1，AB为⊙O的直径，弦，连结AP，AQ，弦AP绕点A逆时针旋转α°（0＜α≤90）得到线段AC，连结CQ交AB于点D． （1）如图2，若α＝90， ①求∠ADC的度数； ②记CQ交⊙O于点E，连结EP．求证：EC＝EP； （2）在（1）的条件下，探究线段CD，AD，QD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）设，请直接写出y关于x的函数关系式． 8．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，M为BD上一点，连结BC，CM，BM． （1）求证：∠M＝∠BCD； （2）如图2，CD＝8，AE＝2， ①若CM恰好经过圆心O，求线段BM的长； ②如图3，M为上的一个动点，作BH⊥CM，连接DH，求DH的最小值． 9．如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当CD＝4时，求∠ACD的度数； （3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值． 10．如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“幸运角”． （1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“幸运角”吗？请说明理由； （2）在（1）的条件下，直径AB＝20，，的“幸运角”为90°，求CP的长． 11．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC． （1）如图1，求证：∠BAC＝∠DAC； （2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF＝CG； （3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD＝4，求线段CF的长． 12．如图1，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长； （2）如图2，连接BF，DF，设OB与EF交于点P． ①求证：P为EF中点； ②若∠BAC＝45°，求证：DF＝EF． 13．如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，在CA延长线上取一点E，使得AE＝AB，连接BE，在AE下方，作∠AFE＝∠BCA，连接CF交⊙O于点D，连接BD，OB． （1）如图1，若∠BOC＝120°，的长为． ①求⊙O的半径长； ②若∠BDC＝∠AEF，求CF的长． （2）如图2，当AF＝EF，2∠CBD＝3∠BCA时，试探究BD与EF的数量关系，并说明理由． 14．如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC于点D （1）如图①，求证：∠B＝∠C； （2）如图②，点E在弧AC上，连接AE，CE，，求证：∠CAE＝2∠ACE； （3）如图②，在（2）的条件下，若AE＝5，AB＝13，求E到AC的距离． 15．【问题背景】 （1）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD＝68°，则∠BCD的度数为　 　 °； 【深入探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，以AC为边在AC右侧作等边△ACD，求BD的长； 【拓展应用】 （3）如图3，矩形ABCD是某公园绿化工程的一片绿地，AB＝200m，AD＝300m，规划在该绿地中的点M处修建一个凉亭（大小忽略不计），并沿AM、BM修建两条小路，沿DM铺设地下水管，要求∠AMB＝135°，为节省铺设地下水管的费用，要求铺设地下水管的长度DM最小，请你求出DM的最小值． 参考答案 1．（1）解：∵AC平分∠DAB，∠BAC＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°， ∵AD⊥CD于点D，CD＝3， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，AC＝2CD＝6； （2）证明：如图1，连接OC， ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠BAC， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴OC∥AD， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD为⊙O的切线； （3）解：MN2＝AN2+BM2；理由如下： 如图2，AB是⊙O的直径，过点B作BQ⊥AB，且使得BQ＝AN，连接MQ、PQ， ∠APB＝90°，∠MBQ＝90°， ∵点P是的中点， ∴PA＝PB， ∴△PAB是等腰直角三角形， ∴∠PAN＝∠PBA＝45°， ∴∠PCA＝∠PBA＝45°，∠PBQ＝90°﹣45°＝45°， ∴∠PAN＝∠PBQ， 在△PAN和△PBQ中， ， ∴△PAN≌△PBQ（SAS）， ∴PN＝PQ，∠APN＝∠BPQ， ∴∠APN+∠NPB＝∠BPQ+∠NPB， ∴∠APB＝∠NPQ＝90°， ∵PH⊥AC， ∴∠PHC＝90°， ∵∠PCA＝45°， ∴∠NPM＝90°﹣45°＝45°， ∴∠QPM＝∠NPQ﹣∠NPM＝45°， ∴∠NPM＝∠MPQ， 在△PMN和△PMQ中， ， ∴△PMN≌△PMQ（SAS）， ∴MN＝MQ， 在Rt△MBQ中，由勾股定理得：MQ2＝BQ2+BM2， ∴MN2＝AN2+BM2． 2．解：（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且∠C＝2∠A， ∴∠A+∠C＝180°， ∴3∠A＝180°， 解：∠A＝60°； （2）①如图2，⊙O的半径为5．作OE⊥BD于点E，连接OB，OD， 则∠BOD＝2∠A＝120°，OB＝OD＝5， ∴， ∴， 在直角三角形BOE中，由勾股定理得：， 由垂径定理，得BE＝DE， ∴； ②如图3，CA平分∠BCD，连接BD，延长DC至点F，使得CF＝BC，则BC+CD＝CF+CD＝DF， ∴∠DCA＝∠BCA， ∴AB＝AD， 又∵∠BAD＝60°， ∴△BAD是等边三角形， 由①得， ∵∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣2∠BAD＝60°，BC＝CF， ∴△BCF是等边三角形， ∴∠F＝60°， ∴点F在以BC为弦，所对圆周角为60°的圆上， ∴当DF为所在圆直径时，DF的长最大， 此时∠DBF＝90°， ∴∠BDF＝90°﹣∠F＝30°， ∴DF＝2BF， 在直角三角形BDF中，由勾股定理得：， ∴，即为最大值， ∴BC+CD的最大值为10； （3）．理由如下： 如图4，AC为直径，延长BC，AD，交于点G， ∴∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠G＝90°﹣∠BAD＝30°， ∴AG＝2AB，CG＝2CD， 在直角三角形ABG中，由勾股定理得：， 又∵BG＝BC+CG， ∴． 3．（1）证明：∵点C是弧AF的中点， ∴ ∴∠AOC＝∠COF． ∵∠AOC＝∠BON，∠COF＝∠DOM， ∴∠BON＝∠DOM． ∵OB＝OD，OM＝ON， ∴△BON≌△DOM（SAS）． （2）证明：连接AF交OC于点H．如图， ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠AFO，且∠BOF＝2∠AFO， ∵∠BOF＝2∠G， ∴∠G＝∠AFO， ∴AF∥CG． ∵点C是弧AF的中点， ∴半径OC⊥AF， ∴半径OC⊥CG， ∴CG是⊙O的切线； （3）解：设⊙O的半径为r． ∵四边形ONBF是平行四边形， ∴BF＝ON＝2，BN＝OF＝r． ∵△BON≌△DOM， ∴DM＝BN＝r． ∵点C是的中点， ∴点H是AF的中点． ∵点O是AB的中点， ∴， ∴DH＝r+1． ∵AM＝2， ∴AD＝r+2． ∵AH2＝AD2﹣DH2＝OA2﹣OH2， ∴（r+2）2﹣（r+1）2＝r2﹣12， 整理得r2﹣2r﹣4＝0， 解得或（舍去）． ∴⊙O的半径为． 4．解：（1）点F是边BC的中点，联结DF，AB∥DF，如图1.1，连接DB，过点D作DG⊥BF于点G， ∴△CFD∽△CBA， ∴， ∵AB＝4，BC＝2，点F是边BC的中点， ∴，BF＝FC＝1，BD＝BC＝2， ∴DB＝DF， ∵DG⊥BF， ∴， ∴，，， ∴； ②过点B作关于DF对称点，即为点P，过点P作PK⊥BC于点K，过点T作TR⊥BC于点R，则TR∥PK，如图1.2， 由翻折得DF⊥PB，点T为BP中点， ∵TR∥PK， ∴△BTR∽△BPK， ∴， ∴PK＝2TR， ∵，BF＝1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P到直线BC的距离为； （2）∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED， ∴∠AED＝∠BDG， ∴当△AED与△BDG相似时， ①∠A＝∠G，∠1＝∠3，如图2.1： ∵∠ABC＝∠GBE，BC＝BE， ∴△ABC≌△GBE（AAS）， ∴BA＝BG＝4， ∵BC＝2， ∴CG＝2， ∵∠1＝∠2，∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∵∠G＝∠G， ∴△GDC∽△GBD， ∴， ∴， ∴（舍负）； ②当∠3＝∠A，∠1＝∠G时，过D作DN⊥BC于点N，如图2.2， ∵∠BCD＝∠ACB， ∴△BCD∽△ACB， ∴， ∴， ∴CD＝1， ∵∠1＝∠G，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠G， ∴CG＝CD＝1， 设CN＝x，则BN＝2﹣x， 在直角三角形BDN中，由勾股定理得：BD2﹣BN2＝CD2﹣CN2， ∴22﹣（2﹣x）2＝1﹣x2， 解得：， ∴， 在直角三角形DNG中，由勾股定理得：， 综上所述：当△AED与△BDG相似时，DG的长为或． 5．（1）证明：∵AO＝BO，AC＝DC， ∴OC是△ABD的中位线， ∴CF∥DE， ∴∠AOF＝∠ABE＝2∠ACF， ∴； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠AEB＝90°， ∵， ∴， 设BC＝x，则AC＝2x， 在直角三角形ABC中，AB＝4， 由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2， ∴x2+（2x）2＝42， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∵CF∥BE， ∴∠CPA＝∠AEB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴，即， 设AP＝a，则PC＝2a， 在直角三角形ACP中，由勾股定理得：AP2+CP2＝AC2， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴； （3）①解：∵CF∥DE， ∴∠BDA＝∠OCA＝∠BAD，∠DBM＝∠FCM， ∴BD＝AB＝CF， 在△DBM和△FCM中， ， ∴△DBM≌△FCM（AAS）， ∴BM＝CM， ∵BC＝a，AC＝b，∠ACB＝90°， ∴， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴sin∠ABC， 在Rt△BMN中，sin∠MBN， ∴MN； ②证明：∵（a﹣b）2≥0， ∴a2+b2≥2ab，即2ab≤a2+b2成立， 两边同时除以4得：， ∵MN，AB， ∴MNAB． 6．（1）证明：连接CO并延长交⊙O于点F，连接FD，如图， 则CF为⊙O的直径， ∴∠CDF＝90°， ∴∠F+∠FCD＝90°． ∵∠E＝F， ∴∠E+∠FCD＝90°． ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB， ∴∠OCB＝90°， ∴∠FCD+∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠E； （2）解：①点E在优弧上且EC＝ED时，如图， ∵AB与⊙O相切于点C，CD是⊙O的弦， ∴∠BCD＝∠E＝α． ∵EC＝ED， ∴∠D＝∠ECD90°． ②点E在优弧上且EC＝CD时，如图， ∵AB与⊙O相切于点C，CD是⊙O的弦， ∴∠BCD＝∠E＝α． ∵EC＝ED， ∴∠D＝∠E＝α． ③点E在优弧上且ED＝CD时，如图， ∵AB与⊙O相切于点C，CD是⊙O的弦， ∴∠BCD＝∠E＝α． ∵CD＝ED， ∴∠ECD＝∠E＝α， ∴∠D＝180°﹣∠ECD﹣∠E＝180°﹣2α． ④点E在劣弧上且EC＝ED时，在优弧上任取一点F，连接FC，FD，如图， ∵AB与⊙O相切于点C，CD是⊙O的弦， ∴∠F＝∠BCD＝α． ∵四边形FCED为圆的内接四边形， ∴∠E+∠F＝180°， ∴∠E＝180°﹣α． ∵EC＝ED， ∴∠D＝∠ECD． 综上，∠D的度数为α或α或180°﹣2α或90°． 故答案为：α或α或180°﹣2α或90°； （3）解：如图， 则∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC， ∵DA与⊙O相切， ∴∠DAC＝∠B， ∴∠CAB＝∠B， ∴CA＝CB． 过点C作CE⊥AB，连接OA，则AE＝BEAB＝4， ∴CE经过圆心O， ∴OA＝OC＝5， ∵， ∴CE＝OC+OE＝8， ∴． 在△CDA和△CBD中， ， ∴△CDA≌△CBD（ASA）， ∴． 7．（1）①解：∵直径AB⊥PQ， ∴AQ＝AP， ∵AP＝CP， ∴AQ＝AC， ∴∠QAB＝∠PAB，∠AQC＝∠C， ∴∠QAB+∠PAB+∠AQC+∠C＝90°， ∴∠ADC＝∠QAB+∠AQC＝45°； ②证明：连接AE， ∵∠ADC＝∠QDB＝45°，AB⊥PQ， ∴∠PQD＝45°， ∵∠PAE＝∠PQD＝45°，∠PAC＝90°， ∴∠CAE＝45°＝∠PAE， ∵PA＝PC，AE＝AE， ∴△APE≌△ACE（SAS）， ∴EP＝EC； （2）解：；理由如下： 方法一：如图，过点A作AF⊥AD交QC于点F， ∵AF⊥AD， ∴∠FAD＝∠FAP+∠PAB＝90°， ∵由（1）①得∠CAP＝α°＝90°， ∴∠CAP＝∠CAF+∠FAP＝90°， ∴∠CAF＝∠PAB， ∴∠QAB＝∠CAF． 由（1）①得∠AQC＝∠ACQ， 在△AQD和△ACF中， ， ∴△AQD≌△ACF（ASA）， ∴QD＝CF． 由（1）①得∠ADC＝45°，且AF⊥AD， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴AD＝AF， ∴根据勾股定理：AD2+AF2＝DF2， 2AD2＝DF2，即， ∴． 方法二：连接DP，CP， ∵EP＝EC， ∴∠PCE＝∠CPE， 可证得∠PCE＝∠PAF，∠PDC＝∠PFA， ∴△PDC∽△PFA， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在CD上截取CF＝QD，连接AF，过点A作AH⊥QC交QC于点H， ∵弦AP绕点A逆时针旋转a°得到线段， ∴AP＝AC，∠CAP＝α°， ∴∠AQC＝∠ACQ， 在△AQD和△ACF中， ， ∴△AQD≌△ACF（SAS）， ∴∠CAF＝∠QAB，AD＝AF． ∴，． ∵x，， ∴DH＝x•AD， ∴DF＝2x•AD， ∴ ∵， ∴y＝2x． 8．（1）证明：连接BD， ∵弦CD⊥AB，且AB 为直径， ∴BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵， ∴∠BDC＝∠M， ∴∠M＝∠BCD； （2）解：①设半径为r， ∵CD＝8， ∴CECD＝4， ∵AE＝2， ∴OE＝r﹣2， 在Rt△CEO中，CE2+OE2＝OC2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， 解得r＝5， ∴EB＝2r﹣2＝8， 在Rt△CEB中，BC2＝EB2+CE2＝80， ∵CM为直径， ∴CM＝2r＝10，∠CBM＝90°， 在Rt△BCM中，BM2； ②由①知，BC2＝80， ∴BC＝4， ∵∠BHD＝90°， ∴点H在以BC为直径的圆上运动，记BC中点为Q，如图， ∴DH≥DQ﹣HQ，当且仅当D、H、Q依次共线时取等， 过Q作QG⊥CD于点G， ∵Q为BC中点， ∴CG为△BCE中位线， ∴CG2，QGBE＝4， ∴DG＝CD﹣CG＝6， 在Rt△DQG中，DQ2， ∵BC＝2， ∴DH最小值＝DQ﹣HQ＝22． 9．解：（1）如图1中， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝4，BC＝4， ∴AB8， ∴⊙O的半径为4； （2）如图1中，连接OC，OD． ∵CD＝4，OC＝OD＝4， ∴CD2＝OC2+OD2， ∴∠COD＝90°， ∴∠OCD＝45°， ∵AC＝OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°； （3）如图2中，连接OM，OC． ∵AM＝MD， ∴OM⊥AD， ∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J， 连接CJ，JM． ∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ， ∴CJ⊥OA， ∴CJ2， ∵CM≤CJ+JM＝22， ∴CM的最大值为22． 10．解：（1）∠CPD是的“幸运角”，理由如下： ∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB， ∴AB平分EC， 即AB为EC的垂直平分线， ∴PC＝PE， ∵AB⊥EC， ∴∠EPA＝∠CPA． ∵∠EPA＝∠BPD， ∴∠BPD＝∠CPA， ∴∠CPD是的“幸运角”； （2）连接OC，OD，如图： ∵的“幸运角”为90°， 即∠CPD＝90°， ∴∠APC＝∠BPC45°， ∴∠APE＝∠BPD＝45°， ∵CE⊥AB， ∴∠APE＝∠E＝45°， ∴∠COD＝2∠E＝90°， ∵直径AB＝20， ∴OD＝OC＝10， ∴， ∵∠CPD＝90°，∠E＝45°， ∴△CPE为等腰直角三角形， ∴PE＝PC， 设PC＝PE＝x，则PD＝DE﹣PE＝14x， ∵PC2+PD2＝CD2， ∴， 解得：或， ∴PC＝PE＝6或8． 11．（1）证明：如图，连接OC， ∵DC切O于点C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCB＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OCB＝∠ADC， ∴∠ACO＝∠DAC， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠DAC； （2）证明：如图，连接OC， 由（1）知：∠OCE＝∠OCD＝90°，∠CAO＝∠ACO， ∴∠OCB+∠BCE＝90°， ∵AB是O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠OCE， ∴∠BCE＝∠ACO， ∴∠CAO＝∠BCE， ∵EF是∠AEC的平分线， ∴∠CEF＝∠AEF， ∴∠CFG＝∠CAO+∠AEF，∠CGF＝∠BCE+∠CEF， ∴∠CFG＝∠CGF， ∴CF＝CG； （3）解：如图，取CE的中点Q，连接QG， ∵G是EF的中点， ∴GQ∥CF，， ∴∠CGQ＝∠ACB＝90°， 由（2）知：CF＝CG， ∴， 由（2）知：∠DAC＝∠BAC＝∠BCE， ∴， ∴， ∴， ∴AD＝8， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，AD＝8， ∴， ∴， ∵∠CAE＝∠GCE，∠FEA＝∠CEG， ∴△AFE∽△CGE， ∴， ∴AF＝2CG， ∵CF＝CG， ∴AF＝2CF， ∵， ∴． 12．（1）解：过点F作FH⊥AB于点H，如图， ∵点F是半径OC的中点，⊙O的半径为1， ∴OFOC，OA＝OB＝1， ∵∠BAC＝30°，OE⊥AB， ∴OEOA，AE＝BE＝OA•cos30°， ∴AF＝OA+OF， ∵OE⊥AB，FH⊥AB， ∴OE∥FH， ∴△AOE∽△AFH， ∴， ∴， ∴FH，AH， ∴EH＝AH﹣AE， ∴EF； （2）①证明：连接CD，过点F作FG∥CD，交OD于点G，如图， ∵FG∥CD，点F是半径OC的中点， ∴FG为△OCD的中位线， ∴FGCD， ∵AC，BD为⊙O的两条直径， ∴OA＝OB，OC＝OD， 在△OAB和△OCD中， ， ∴△OAB≌△OCD（SAS）， ∴∠A＝∠OCD，AB＝CD， ∴AB∥CD， ∵FG∥CD， ∴FG∥AB． ∴∠FGB＝∠ABG． ∵OE⊥AB， ∴BE＝AEAB， ∴BE＝GF． 在△PFG和△PEB中， ， ∴△PFG≌△PEB（AAS）， ∴PF＝PE， ∴P为EF中点； ②解：DF，EF之间的关系为：DF＝EF，DF⊥EF．理由： 连接CD，AD，过点F作FG⊥AD于点G，FH⊥AB于点H，如图， ∵OE⊥AB， ∴BE＝AEAB， 由（1）知， ∵点F是半径OC的中点， ∴OFOA， ∴AFOA， ∴， ∴AHAE， ∴EH＝AH﹣AEAEBE， ∴H为EB的中点， ∵FH⊥AB， ∴FH为EB的垂直平分线， ∴FE＝FB． ∵AC，BD为⊙O的两条直径， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∵∠BAC＝45°， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD，AC平分BD， 即CD为AB的垂直平分线， ∴FD＝FB， ∴DF＝EF． ∵∠DAC＝∠BAC＝45°，FG⊥AD于点G，FH⊥AB于点H， ∴FG＝FH， ∵∠DAB＝90°， ∴四边形FGAH为正方形， ∴∠GFH＝90°， ∴∠EFH+∠EFG＝90°． 在Rt△DFG和Rt△BFH中， ， ∴Rt△DFG≌Rt△BFH（HL）， ∴∠DFG＝∠EFH， ∴∠DFG+∠EFG＝90°， ∴∠DFE＝90°， ∴DF⊥EF． 13．解：（1）①设⊙O的半径长为r， ∵∠BOC＝120°，的长为， ∴， 解得r＝2，即⊙O的半径长为2； ②连接AD， ∵∠BOC＝120°，OB＝OC， ∴， ∵AC为直径， ∴∠ABC＝90°＝∠BCA+∠CAB， ∵BC＝BC， ∴∠CAB＝∠BDC， ∵∠BDC＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠CAB， ∵∠AFE＝∠BCA＝30°， ∴∠AEF+∠AFE＝∠CAB+∠BCA＝90°， ∴AF⊥OA，∠AEF＝60°， ∴tan∠AEF＝tan∠BAC＝tan60°＝AF， ∵AE＝AB，∠AFE＝∠BCA，∠AEF＝∠CAB＝60°， ∴△ABC≌△EAF（AAS）， ∵AC＝2×2＝4， ∴， 则， ∴在Rt△ACF中，， ∴在Rt△ACF中，， ∵AC为直径， ∴∠ADC＝90°， ∴， ∴； （2）BD＝EF，理由如下： 在⊙O上取一点G使得GB＝GA， ∵， ∴设∠BCA＝∠BGA＝∠AFE＝2α， ∵AF＝EF，BG＝AG， ∴∠GBA＝∠GAB＝90°﹣α，∠FAE＝∠AEF＝90°﹣α，∠CBG＝∠CBA﹣∠GAB＝α， ∴∠GBA＝∠GAB＝∠FAE＝∠AEF， ∵AE＝AB， ∴△ABG≌△AEF（ASA）， ∴AG＝BG＝AF＝EF， ∵2∠CBD＝3∠BCA， ∴∠CBD＝3α， ∴∠GBD＝2α＝∠BGA， ∴， ∴， ∴AG＝BD＝EF． 14．（1）证明：∵AO延长交BC于点D，AD⊥BC于点D， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠C； （2）证明：如图②，点E在弧AC上，，连接BE，设∠ACE＝α，则∠ACB＝3α， ∴∠ABC＝∠ACB＝3α， ∵∠ABE＝∠ACE＝α， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝3α﹣α＝2α， ∴∠CAE＝∠CBE＝2α＝2∠ACE； （3）解：如图③，∠EAC＝2α，AB＝13，AE＝5，过点E作EG⊥AC于点G，在CG上截取GH＝AG，连接EH， ∴EH＝AE＝5， ∴∠AHE＝∠EAC＝2α， ∴∠CEH＝∠AHE﹣∠ECH＝2α﹣α＝α＝∠ECH， ∴CH＝EH＝5， ∵AC＝AB＝13， ∴AH＝AC﹣CH＝13﹣5＝8， ∴AG＝GH＝4， 在Rt△AEG中，由勾股定理得：． 15．解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣68°＝112°， 故答案为：112； （2）在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， 由勾股定理得：BC4， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD＝CD＝4，∠ADC＝∠CAD＝∠ACD＝60°， ∴AB＝AC＝AD， ∴点B、C、D在以点A为圆心，AB长为半径的⊙A上， ∴∠BDC∠BAC＝45°， ∴∠DBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝30°， 如图2，过点C作CE⊥BD于点E， ∴CEBC＝2， ∴BE，DE＝CE， ∴BD＝BE+DE； （3）如图3，∠AMB＝135°，作△ABM的外接圆O，在优弧AB上取一点G，连接AG、BG、OA、OB， ∴∠AGB＝180°﹣∠AMB＝180°﹣135°＝45°， ∴∠AOB＝2∠AGB＝90°， 在Rt△AOB中，AB＝200m，OA＝OB， ∴OA＝OBm， 连接DO，交⊙O于点M′，此时DM′最小， ∴OM＝OM′m， 过点O作OE⊥AB于点E，ON⊥AD交DA的延长线于点N， ∴AE＝BE＝100m， 在Rt△AEO中，由勾股定理得：OE100（m）， ∴AE＝OE， ∴△AOE为等腰直角三角形， ∵AN∥OE、ON∥AE、且∠ONA＝90°， ∴四边形AEON是矩形， ∵AE＝OE， ∴四边形AEON是正方形， ∴ON＝AN＝AE＝100m， ∵AD＝300m， ∴DN＝AN+AD＝100+300＝400（m）， 在Rt△DON中，由勾股定理得：OD100（m）， ∵DM+OM≥OD， ∴DM≥OD﹣OM＝OD﹣OM′＝（100100）m， ∴DM的最小值为m． 1 学科网（北京）股份有限公司 $