1.3.4 完全平方公式的综合应用课件2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

第1章 整式的乘除 3 乘法公式 第4课时　完全平方公式的综合应用 北师版 七年级 数学（下） 复习导入 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 前面我们学习了完全平方公式： 口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。 很久很久以前，有一个国王的公主被妖怪抓到了森林里，两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主．国王要赏赐他们，这两个农夫原来各有一块边长为a m的正方形土地，第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b m的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊？”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b m就好了”． 国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？” 复习导入 你认为他们的要求一样吗？ 新课探究 (1) 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404 怎样计算1022，1972更简单呢? (2)1972=(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40000-1200+9 =38809 你是怎样做的? 计算： 思考探究 （1）(x+3)2-x2； （2）(a+b+3) (a+b-3)； （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 解： （1）(x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9； （2）(a+b+3) (a+b-3) = [(a+b)+3][(a+b)-3] = (a+b)2-32 = a2+2ab+b2-9 （3）(x+5)2-(x-2)(x-3)； （4）[(a+b)(a-b)]2。 （4） [(a+b)(a-b)]2 = (a2- b2)2 = a4-2a2b2+b4。 （3）(x+5)2-(x-2)(x-3) = x2+10x+25-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6 = 15x+19 解： 解： 利用整式乘法公式计算： (1) 962 (2) (a-b-3) (a-b+3) 解：962 =(100-4)2 =1002-2×100×4+42 =10000-800+16 =9216 课堂练习 解：(a-b-3) (a-b+3) =(a-b)2-32 =a2-2ab+b2-9 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论。 … 1×1 2×2 3×3 新课探究 解:m×m 点阵中的点数:m2； n×n 点阵中的点数:n2； m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和:m2+n2； (m+n)×(m+n)点阵中的点数:(m+n)2。 (m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。 所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和不一样多。 … 1×1 2×2 3×3 【例1】计算： (1)(x＋3)2－x2； (2)(a＋b＋3)(a＋b－3)； 应用举例 【方法指导】综合利用完全平方公式和平方差公式进行计算，注意公式的合理使用、运算顺序和符号的变化． 解：原式＝x2＋6x＋9－x2 ＝6x＋9； 解：原式＝(a＋b)2－32 ＝a2＋2ab＋b2－9； (3)原式＝x2＋10x＋25－(x2－5x＋6) ＝x2＋10x＋25－x2＋5x－6 ＝15x＋19. (3)(x＋5)2－(x－2)(x－3). 【例2】我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是( ) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)    B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2    D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 【方法指导】空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 图甲 图乙 C 【例3】若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1. (1)求＋的值； (2)求(x2＋1)(y2＋1)的值． 【方法指导】(1)先变形，再整体代入，即可求出答案； 解：(1)因为(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1， 所以x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1， 所以4xy＝9－1＝8， 所以xy＝2， 所以＋＝＝＝＝； (2)求(x2＋1)(y2＋1)的值． 【方法指导】(2)先去括号，再整体代入，即可求出答案． (2)因为(x＋y)2＝9，xy＝2， 所以(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1 ＝(xy)2＋(x＋y)2－2xy＋1 ＝22＋9－2×2＋1＝10. 课堂小结 简便运算 混合运算 平方差公式的应用 实际应用:运用完全平方公式进行推理 随堂练习 1．计算(a＋3b)2－(3a＋b)2的结果是( ) A．8(a－b)2    B．8(a＋b)2     C．8b2－8a2    D．8a2－8b2 C 2．正方形原来的边长为a cm，将其边长增加6 cm，则正方形的面积增加了( ) A．36 cm2     B．12a cm2 C．(36＋12a)cm2    D．以上都不对 C 3．当a＝b＋3时，代数式2a2－4ab＋2b2的值为____． 18 4．计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y). 解：(1)原式＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc； 解：(2)原式＝1－4x2＋4xy－y2 $