1.3.3 完全平方公式的认识课件2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

第1章 整式的乘除 3 乘法公式 第3课时 完全平方公式的认识 北师版 七年级 数学（下） 导入新课 什么是多项式乘多项式法则? 平方差公式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (m+a) (n+b) = mn+mb+an+ab 由下面的两个图形你能得到哪个公式? (a + b)(a – b)= a2 – b2 计算下列各式： （1）(m + 3)2 ； （2）(2+ 3x)2 。 （1）(m+3)2 =m2+6m+9 =(m+3)(m+3) （2）(2+3x)2 =(2+3x)(2+3x) =4+12x+9x2 观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现? m2+2·3m+9 4+2·2·3x+9x2 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍。 平方式，两项 首平方，尾平方， 积的2倍放中间 新课探究 你能再举一些类似的例子验证你的发现? （1）(2x + y)2 ; （2）(3a + 2b)2。 （1）(2x + y)2 =(2x + y)(2x + y) = 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y = 4x2 + 4xy + y2 （2）(3a + 2b)2 =(3a + 2b) (3a +2b) = 3a·3a+3a·2b+2b·3a+2b·2b = 9a2 +12ab + 4b2 你能用字母表示你发现的规律吗? (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 你能用下图解释这一公式吗? b a b a 思考探究 b a b a = + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 如何计算(a – b)2 ?你是怎样做的? (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 1 (a – b)2 = [a+(– b)]2 = a2 +2a(– b)+(– b)2 = a2 – 2ab + b2 2 用自己的语言叙述这一公式！ 两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。 b a b a (a – b)2 a2 ab ab b2 = – + (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 请你设计一个图形解释这一公式。 探究思考 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 完全平方公式： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。 口诀: 首平方，尾平方，首尾二倍中间放。 完全平方公式 平方差公式 整式乘法公式 利用完全平方公式计算： （1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2 解：（1） (2x–3)2 = (2x)2–2·2x·3+32 （2）(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2 = 16x2 + 40xy + 25y2 ； （3） (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2 = m2n2 – 2amn + a2。 (a -b)2 a2 - 2ab + b2 = 4x2–12x+9； 探究思考 如果将 (a + b)n（n 为非负整数）的每一项按字母 a 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： (a + b)0 = 1，它只有一项，系数为 1； (a + b)1 = a + b，它有两项，系数分别是 1， 1； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1； (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，它有四项，系数分别是 1， 3， 3， 1. 如果将上述每个式子的各项系数排成下表， 那么你能发现什么规律? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 按照这个规律可以继续将这个表写下去： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 杨辉三角 分析与示例 命题角度1　直接运用完全平方公式计算 完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，口诀记忆为：首平方，尾平方，2倍之积在中央． 【例1】计算(2x－y)2的结果是( ) A．4x2－4xy＋y2    B．4x2－2xy＋y2     C．4x2－y2     D．4x2＋y2 A 【例2】计算：(2a＋b)2. 解：(2a＋b)2 ＝(2a)2＋2·2a·b＋b2 ＝4a2＋4ab＋b2. 命题角度2　综合利用运算法则进行计算 整式乘除的法则比较多，准确地掌握各运算法则的结构特征才能灵活运用． C 【例4】下列计算错误的是( ) A．x3÷x2＝x     B．a3·a2＝a5 C．(a－b)2＝a2－b2    D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 C 【例3】下列计算正确的是( ) A．a2·a3＝a6     B．(x＋y)2＝x2＋y2 C．(a5÷a2)2＝a6    D．(－3xy)2＝9xy2 命题角度3　综合运用乘法公式进行计算 (1)对于三项或三项以上的多项式乘法计算，如果具备乘法公式的特点，仍然可以用平方差公式或完全平方公式；(2)在此变形过程中，要运用加法交换律和结合律，正确添加括号，确定好a和b两项，套用公式计算． 【例5】为了应用平方差公式计算(x＋3y－1)(x－3y＋1)，下列变形正确的是( ) A．[x－(3y＋1)]2     B．[x＋(3y＋1)]2 C．[x＋(3y－1)][x－(3y－1)]     D．[(x－3y)＋1][(x－3y)－1] C 【例6】计算：(x－y－z)2＝ _______________________________． x2＋y2＋z2－2xy＋2yz－2xz 命题角度4　利用乘法公式化简求值 整式的化简求值问题应注意：(1)运用公式时，括号前是负号的，去括号时要注意变号；(2)结果中有同类项的一定要合并同类项． 【例7】先化简，再求值： (1)(2x＋y)2＋(x＋2y)2－x(x＋y)－2(x＋2y)(2x＋y)， 其中x＝，y＝1； 解：原式＝y2－3xy. 当x＝，y＝1时，原式＝12－3××1＝1－1＝0； (2)(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中a＝－2，b＝. 解：原式＝4ab. 当a＝－2，b＝时， 原式＝4×(－2)×＝－4. 应用举例 【例1】利用完全平方公式计算： (1)(2x－3)2； (2)(4x＋5y)2； 【方法指导】引导学生利用公式特点写出解答过程，规范解答过程． 解：(1)原式＝(2x)2－2·2x·3＋32 ＝4x2－12x＋9； (2)原式＝(4x)2＋2·4x·5y＋(5y)2 ＝16x2＋40xy＋25y2； (3)原式＝(mn)2－2·mn·a＋a2 ＝m2n2－2amn＋a2. (3)(mn－a)2. 【例2】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值． 【方法指导】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值． 解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2， 所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y， 所以m＋1＝±60， 所以m＝59或－61. 【例3】阅读下列材料并解答后面的问题： 对完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2进行适当的变形，如a2＋b2＝(a＋b)2－2ab或a2＋b2＝(a－b)2＋2ab，从而使某些问题得到解决． 例：已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值． 解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×3＝19. 问题解决： (1)填空：(a＋b)2＝(a－b)2＋________； (2)已知a＋＝6，则a2＋＝________； 【方法指导】(1)应用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2来解决； (2)利用a＋＝6，[a＋]2＝a2＋2·a·＋＝a2＋＋2求出a2＋； 34　 4ab　 (3)已知a－b＝2，ab＝3，分别求a2＋b2，a4＋b4的值． 【方法指导】 (3)灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值． 解：(3)a2＋b2 ＝(a－b)2＋2ab ＝22＋2×3 ＝10， a4＋b4＝ (a2＋b2)2－2a2b2 ＝102－2(ab)2 ＝102－2×32＝82. 课堂小结 （a±b）2 = a2 ± 2ab + b2 完全平方公式： 语言叙述： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。 1．下列各式中哪些不可以运用完全平方公式计算( ) A．(a＋b)(a＋b)     B．(x＋y)(－y＋x) C．(ab－3x)(－3x＋ab)     D．(－m－n)(m＋n) 随堂练习 B 2．指出下列各式中的错误，并加以改正： (1)(2a－1)2＝2a2－2a＋1；( ) (2)(2a＋1)2＝4a2＋1.( ) × 改正：(2a－1)2＝4a2－4a＋1； 改正：(2a＋1)2＝4a2＋4a＋1. × 3．若a＋b＝7，求a2＋2ab＋b2的值． 解：a2＋2ab＋b2 ＝(a＋b)2 ＝72 ＝49. $