浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

镇海中学2025学年第一学期期末考试 高三数学试题卷 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟， 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A={xr2=,B={0,),则AUB=() A.1 B. C.{-1,0,1} D.{-1,0 2.己知i为虚数单位， A. B.2 c.1 D.I 2 2 3.已知向量ā=(0,1,6=山，，c=l,2,c=xa+y6,则=（) A.-3 B月 C 2 D. 4.抛物线y2=4x的焦点F到直线x-y+2=0的距离为（) 4⑤ c.3v2 2 B.√2 D.2√2 2 5.在△ABC中，“cos2A=cos2B”是“△ABC为等腰三角形"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为( A. B.210-) c.210+1) 2 3 3 D.20 7.现有7幅书法作品，每一幅上分别写着“祝、你、数、学、一、百、五”的字样，7幅作 品全部奖励给成绩优异的小许、小妍、小皓3位同学，每人至少得到一份，则不同的奖励方 案有()种 A.1470 B.1512 C.1806 D.2982 8.已知集合A={[x)+[2x]+[3x]+[4x]lx∈R}与集合B={L,2,3,4,,2026),用4表示集合A 的元素个数，[x]表示不超过x的最大整数，则A∩B=() A.1215 B.1216 C.1217 D.1218 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.己知ax2+ 的展开式中常数项为3，a∈R,则下列说法正确的有() A.a=-1 .ax2+ 的展开式中x3的系数为3 x C.ax 的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D. ax+ 的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 10.己知三棱柱ABC-A,B,C,D为CC中点，下列选项正确的是() A.过点D有且只有一条直线与直线AC,B,C,都垂直 B.过点D有且只有一个平面与直线AC,B,C都垂直 C.过点D有且只有一个平面与直线AC,B,C都平行 D过点D有且只有一个平面与直线AC,B,C都相交 11.已知i为虚数单位，复数2n=(1+i1+万)1+)，则下列说法正确的是() 2 n A的三角形式为=2(-cas买+ism受 B,若w=2+口∈R,则实数a的值为3 22 C.22,…2o2s中有44个正整数 D.22025-22026<22026-22027 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.双曲线C: 之少上=1的渐近线的斜率为 94 13.己知函数=nar-x--+3当x>0时，网≤0恒成立，则a的取值范围为 x a 14.将一个棱长为1的正四面体S-ABE和各条棱长都为1的正四棱锥S-BCDE按如图所示 的方式拼接在一起，则此几何体的各个面所在的平面将空间分成 个部分 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知数列{a,}中，3(2n-1a1-(2n+10a,=0,4=3 1 (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn 16已知在△18c中，m号-孕+m孕=-6. 24 (I)求sinA的值： 2若AB边上的高等于3AB,求c0sC. 2 17.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一 块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适 当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口 落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块， 将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或 向右落下，最后掉入编号为1、2、·、5的球槽内 ①②③④⑤ (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X 求X的分布列与数学期望， (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞一次时，有；的概 率向左，号的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、、5的球 槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概 率最大？ 18,抛物线C:y'=2pxp>0)上一点A到x轴的距离为2p,焦点为F,14F卡p+ 3 (1)求抛物线C的方程与A点横坐标； (2)若A在x轴上方，抛物线C的准线与x轴交于Q,过Q作一条斜率为负的直线交抛物线于 M,N两点，点M在点N左侧. ()试判断在x轴上是否存在一定点T,使得直线TM,TN的斜率之和为0，若存在，请求出T 点坐标，若不存在，请说明理由； 面若∠MPv的余弦值为名记△MPN的面积为S,△MV的面积为S求是的值 19.已知函数f(x)=e,圆「：x2+(y-1)2=r2(r>0),设T与f(x)的图像交于A,B两点. (I)求f(x)在(l,e)处的切线方程： (2)试判断线段AB的中点在第几象限，并证明： (3)证明：随着r的变化，直线AB的斜率始终小于1. 4 镇海中学2025学年第一学期期末考试参考答案 高三年级数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 2 3 4 5 6 8 答案 B A B C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 题号 9 10 11 答案 BCD AC BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13.(0, 14.21 四、解答题：本题共5小题，共77分，第15题13分，16、17题每题15分.18、19题每题 17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 150a,=2-3r@s-1-a+ 16④sm1品2)cosc=25 3 17.DPX=-ck=2,45E0=327个或8个 16 18(0yr=2x,=-2a0r0.0是=4 S2 19.(1)y=r.(2)第二象限