湖南省岳阳市湘阴县第二中学2026届高三数学小题训练五—立体几何专训（2）

湘阴县第二中学2026届高三数学小题训练五—立体几何专训（2） 一、单选题 1．已知圆柱的底面直径为，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，，将沿BD折起，使平面平面，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．半径为1的球O内切于正三棱柱，则该正三棱柱的体积为（   ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B．平面ABCD C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 8.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，平面DPQ∩平面A1B1C1D1＝l，则下列结论正确的有(　　) A．l过点B1 B．l不一定过点B1 C．DP的延长线与D1A1的延长线的交点不在l上 D．DQ的延长线与D1C1的延长线的交点在l上 三、填空题 9．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，该圆台的体积为，则该圆台的高为 . 10.在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，PC与平面ABC所成角的大小为60°，则PC＝ ． 答题卡 班级： 姓名： 序号： 分数： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 高三数学小题训练—立体几何 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C C B ABC AD 3 一、单选题 1．【答案】D【详解】球的表面积为，可得其半径，圆柱的底面直径为，半径为，在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的体积为. 故选：D.    2．【答案】B【详解】当球是圆锥的内切球时球半径最大，此时截面大圆为等边三角形的内切圆， 根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，所以圆半径为正三角形高的，即．故选：B． 3．【答案】A【详解】 如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，以点为坐标原点，以的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 由为正方体，设棱长为，，所以四边形为正方形， 所以，又因为平面，平面， 所以，又因为，平面，所以平面， 即为平面的一个法向量，同理为平面的一个法向量， 由，知， 设平面与平面的夹角为，，则.故选：A. 4．【答案】C【详解】因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面．又平面，所以平面平面． 因为平面，所以．又，，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面． 综上，平面平面，平面平面，平面平面，共有3对，故选:C． 5．【答案】C【详解】因为球与上下底面相切，所以三棱柱的高， 由上往下看，球的大圆面是正三角形的内切圆， 如图，等边三角形的内切圆为圆，设中点为H，则 ，，即， .故选：C．    6．【答案】B【详解】设底面的外接圆的半径为r，， 则在中，，可得，所以， 设底面三角形的外心为，过作底面的垂线， 由于平面BCD，故所作垂线与的中垂线的交点即为三棱锥外接球的球心， 设外接球的半径为R，而， 则外接球的半径为， 即当即时，三棱锥的外接球的半径取得最小值， 此时三棱锥的外接球表面积取得最小值：,故选：B 二、多选题 7．【答案】ABC 【详解】对于A选项，连接、，因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， 平面，所以平面， 因为平面，因此，A选项正确； 对于B选项，因为平面平面，平面， 所以平面，B选项正确； 对于C选项，因为，， 所以，故， 故点到平面的距离为定值. 因为的面积为， 点到平面的距离为定值， 故三棱锥的体积为定值，C选项正确； 对于D选项，设，取的中点，连接、， 由A选项可知，平面，即平面， 平面，则，因为且， 故四边形为平行四边形，则且， 因为、分别为、的中点， 故且，所以四边形为平行四边形， 平面，平面， 所以，故四边形为矩形，所以，平面，所以平面， 平面，，， 所以，D选项错误.    故选：ABC. 8.【答案】AD　【解析】 如图，连接PB1，QB1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取BB1的中点N，连接CN，则DP∥CN∥QB1，DP＝CN＝QB1，所以四边形DPB1Q是平行四边形，B1∈平面DPB1Q，B1∈平面A1B1C1D1，所以B1∈l，故A正确，B错误．如图，DP的延长线与D1A1的延长线交于点F，DQ的延长线与D1C1的延长线交于点E，因为DP⊂平面DPB1Q，所以F∈平面DPB1Q.因为D1A1⊂平面A1B1C1D1，所以F∈平面A1B1C1D1，所以F∈l.因为DQ⊂平面DPB1Q，所以E∈平面DPB1Q.因为D1C1⊂平面A1B1C1D1，所以E∈平面A1B1C1D1，所以E∈l，故C错误，D正确． 三、填空题 9．【答案】3 【详解】圆台的体积，得.所以该圆台的高为3. 10.【答案】　【解析】 如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，则PD⊥AB，CD⊥AB，且PD＝CD＝.又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，可得AB⊥平面PCD，又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PCD，且平面ABC∩平面PCD＝CD，由面面垂直的性质可知，点P在平面ABC内的投影落在直线CD上，且PD＝CD＝，可知点P在平面ABC内的投影落在线段CD内．因为PC与平面ABC所成角的大小为60°，则∠PCD＝60°，可知△PCD为等边三角形，所以PC＝. 答案第1页，共2页 答案第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $