湘阴县第二中学2026届高三数学小题训练四—立体几何

湘阴县第二中学2026届高三数学小题训练四—立体几何 一、单选题 1．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π 　 B．3π C．6π 　 D．9π 2．已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　) A． 　 B．1 C．2 　 D．3 3．设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α∩β＝m.下列四个命题： ①若m∥n，则n∥α或n∥β；②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；③若n∥α，且n∥β，则m∥n；④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n. 其中所有真命题的编号是(　　) A．①③ 　 B．②④ C．①②③ 　 D．①③④ 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2，该棱锥的高为(　　) A．1 　 B． C．　 D．2 5．一个五面体ABCDEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 二、多选题 6．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　) A．AD⊥A1C B．B1C1⊥平面AA1D C．AD∥A1B1 D．CC1∥平面AA1D 7．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 三、填空题 8．在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________． 9．已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________． 10．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BD＝4，DB1＝9，则该正四棱柱的体积为________． 答题卡 班级： 姓名： 序号： 分数： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 高三数学小题训练—立体几何 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C C BD AC 112 一、单选题 1．B　[设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，圆锥体积为π×9×＝3π.故选B.] 2．B　[法一：分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝3，A1D1＝， 可知S△ABC＝×6×6×＝＝×2×＝， 设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h， 则＝h＝，解得h＝. 如图，分别过A1，D1作底面垂线，垂足为M，N，设AM＝x， 则AA1＝＝，DN＝AD－AM－MN＝2－x， 可得DD1＝＝， 结合等腰梯形BCC1B1可得＝， 即x2＋＝(2－x)2＋＋4，解得x＝， 所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan ∠A1AM＝＝1. 3．A　[对①，若n⊂α，因为m∥n，m⊂β，则n∥β，若n⊂β，因为m∥n，m⊂α，则n∥α， 若n既不在α内也不在β内，因为m∥n，m⊂α，m⊂β，则n∥α且n∥β，故①正确； 对②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误； 对③，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t， 因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s， 同理可得n∥t，则s∥t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，则s∥平面β， 因为s⊂平面α，α∩β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③正确； 对④，如果n∥α，n∥β，则m∥n，故④错误； 综上只有①③正确，故选A.] 4．C　[由题意知△PAB为正三角形，因为PC2＋PD2＝CD2，所以PC⊥PD. 如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE＝2，PF＝2，EF＝4，于是PE2＋PF2＝EF2，所以PE⊥PF.过点P作PG⊥EF，垂足为G.易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF⊂平面PEF，且EF∩PF＝F，所以CD⊥平面PEF.又PG⊂平面PEF，所以CD⊥PG.又PG⊥EF，CD，EF⊂平面ABCD，CD∩EF＝F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高．由PE·PF＝EF·PG，得PG＝＝＝.故选C.] 5．C　[因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝×1××1＋＝.故选C.] 二、多选题 6．BD　[由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC，则AA1⊥AD，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C＝A1，AA1，A1C⊂平面AA1C1C，所以AD⊥平面AA1C1C，矛盾，所以AD与A1C不垂直，故A错误； 因为三棱柱ABC­A1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC，因为D为BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确； 因为AB∥A1B1，AD与AB相交，所以AD与A1B1异面，故C错误； 因为CC1∥AA1，CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确．故选BD.] 7．AC　[在△PAB中，由余弦定理得AB＝2．如图， 连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝．对于A，该圆锥的体积V＝πr2h＝π，故A选项正确；对于B，该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝2π，故B选项错误；对于C，取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P-AC-O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝＝，所以AC＝2，故C选项正确；对于D，PH＝OH＝，S△PAC＝×AC×PH＝2，故D选项错误．综上，故选AC．] 三、填空题 8．在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________． 　[法一：如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O．因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×(22＋12＋)×＝． 9．已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________． 　[由题意可得两个圆台的高分别为h甲＝(r2－r1)， h乙＝(r2－r1)， 所以.] 10．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BD＝4，DB1＝9，则该正四棱柱的体积为________． 112　[在△BB1D中，BB1＝＝＝7.在△ABD中，AB2＋AD2＝BD2，因为AB＝AD，BD＝4，所以AB＝AD＝4，则该正四棱柱的体积为4×4×7＝112.] 答案第1页，共2页 答案第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $