立体几何与空间向量 专项测试-2026届高三数学一轮复习

2025-2026学年高三复习《立体几何与空间向量》专项测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2.如图，空间四边形中，，，，是棱的中点，，则(    ) A. B. C. D. 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(    ) A. B. C. D. 4.已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为(    ) A. B. C. D. 5.已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.如图，在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是(    ) A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 四点共面 B. 平面平面 C. 直线与所成角的为 D. 平面 10.已知正四面体的棱长为，下列说法正确的是(    ) A. 正四面体的外接球表面积为 B. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 C. 正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为 D. 正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为 11.在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是(    ) A. 当 平面时，可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面上两个向量，，则平面的一个法向量为          ． 13.如图，在棱长为的正方体中，点是的中点，则直线到平面的距离为          ． 14.正四棱柱中，，，为的中点，点满足，动点在侧面内运动，且平面，则的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，分别为棱，的中点，求证： 平面； 平面．   16.本小题分 如图，直三棱柱的体积为，的面积为． 求到平面的距离 设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 17.本小题分 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点、分别为、的中点． 求证：平面平面； 求证：平面； 求三棱锥的体积． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，，且，是中点． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 在线段上不含端点是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由． 19.本小题分 已知菱形如图所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点作平面，且，所得图形如图所示．     求平面与平面夹角的余弦值． 若点满足． (ⅰ)若平面，求的值； (ⅱ)若与平面所成角为，求的最大值． 2025-2026学年高三复习《立体几何与空间向量》专项测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B  解：，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确； ：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直这个平面．故正确． ：，，则或，异面，故不正确． ：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确． 2.如图，空间四边形中，，，，是棱的中点，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： ． 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：设正四棱锥的高为，底面边长为侧面三角形底边上的高为， 则由题意可得故， 化简可得解得，负值舍去，可得． 4.已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：由圆的面积为，故圆的半径， ，则三角形是正三角形， 由正弦定理：，得， 由，得球的半径，表面积为， 5.已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  解：根据最小角定理：直线与平面所成角是直线与平面内所有直线成角中最小的角， 因为直线，则可得与所成角的最小的角为，即， 如图：二面角中， 直线， 若与二面角的棱不垂直，记，作，垂足为， 连接，则直线与平面所成的角为， 过作连接，可证，锐二面角的平面角为． ，在中，，得，即，． 若与二面角的棱垂直，记，作，垂足为，连接， 则直线与平面所成的角为，锐二面角的平面角也为，，综上得． 6.如图，在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：设正方体的棱长为，且， 以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则 令，可得，所以， 则， 设，即 当时，；当或时，， 所以． 7.已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】解：方法设正四棱锥的高为，底面边长为，球心为，由已知易得球半径为，所以， 因为，故所以，求导， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 故该正四棱锥体积的取值范围是 方法由方法中知，，求导，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，，故该正四棱锥体积的取值范围是 8.将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是(    ) A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 【答案】D  【解析】解：对于选项A，取的中点，连接，因为正方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，故 A正确； 对于选项B，因为正方形边长为，所以， 由于二面角是直二面角，即平面平面， 又因为，平面平面，平面， 所以平面，又平面，则， 在中，根据勾股定理， 可得， 又，三边相等，所以是等边三角形，故 B正确； 对于选项C，设点到平面的距离为， 根据三棱锥体积公式，，， 所以， ， 由，即，解得，故C正确； 对于选项D，以为坐标原点，以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设与所成的角为， ， ，， 则， 因为异面直线所成角的范围是所以，故 D错误． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 四点共面 B. 平面平面 C. 直线与所成角的为 D. 平面 【答案】BC  解：对于，点、、在平面内，在 平面外，故A错误 对于，由题意平面， 故平面平面，故B正确； 对于，取的中点，连接、， 可知三角形为等边三角形，故C正确； 对于，若平面，又平面 ，则平面平面，而 平面平面，矛盾，故D错误． 故选： 10.已知正四面体的棱长为，下列说法正确的是(    ) A. 正四面体的外接球表面积为 B. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 C. 正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为 D. 正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为 【答案】ABD  解：如图：正方体是棱长为的正方体，因此四面体就是棱长为的正四面体． 对于因为正方体的外接球就是正四面体的外接球，所以正四面体的外接球半径为正方体体对角线长的一半，即正四面体的外接球半径为，因此正四面体的外接球的表面积为，故A正确； 对于因为正四面体的体积为，而正四面体四个面的面积都是，所以若正四面体内任意一点到四个面的距离分别为、、、，则，因此，即正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，故B正确； 对于取的中点，连接，． 因为四面体是棱长为的正四面体，所以是二面角的平面角，且， 而，因此，， 所以，即二面角的正弦值为， 因为正四面体任意两个相邻面所成二面角相等，所以正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为，故C错误； 对于设正四面体的内切球半径为，则由选项B知：，解得， 因为正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动， 所以正四面体的最大外接球直径为，因此正四面体的最大外接球也是棱长为的正方体的外接球，所以正四面体的体积最大值为，故D正确． 11.在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是(    ) A. 当 平面时，可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为， 【答案】ABD  解：选项：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，所以， ，易知平面的一个法向量为，若平面，则，即，则当时，，即为中点时，有平面，且，故A正确； 选项：若与平面所成角为，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的个圆，于是点的轨迹长度为，故B正确； 选项：当时，，将平面与平面沿展成平面图形， 如图：线段即为的最小值，利用余弦定理可知，故C错误； 选项：当时，， 正方体经过点、、的截面为平行四边形，以为坐标原点，建立如图所示 的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，，所以点到直线的距离为，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；当或时，的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确． 故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面上两个向量，，则平面的一个法向量为          ． 【答案】答案不唯一  解：设平面的法向量为，则，即， 令得，故平面的一个法向量是． 13.如图，在棱长为的正方体中，点是的中点，则直线到平面的距离为          ． 【答案】  【解析】解：因为正方体，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，因为平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 连接，取中点，连接，如图所示，则，， ， 所以， 所以， ， 设到平面的距离为， 因为，所以， 即，解得，所以直线到平面的距离为． 14.正四棱柱中，，，为的中点，点满足，动点在侧面内运动，且平面，则的取值范围是          ． 【答案】  解：因为是正四棱柱， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设，，，， 因为，所以是四等分点靠近， 所以，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又，平面， 所以，即， 所以，所以， 故， 因为，，所以， 解得，故， 对于函数，因为其图象对称轴为，所以在上单调递减，所以当时，取最大值， 所以的最大值为， 当时，取最小值，所以的最小值为， 所以的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，分别为棱，的中点，求证： 平面； 平面． 【答案】证明：因为、分别为、的中点， 所以，又因为底面是矩形， 所以，所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为、平面，，平面．  16.本小题分 如图，直三棱柱的体积为，的面积为． 求到平面的距离 设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】解：设到平面的距离为， 因为直三棱柱的体积为，即可得， 故， 又， 解得，所以到平面的距离为； 连接，因为直三棱柱中，， 故四边形为正方形，即， 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，因为平面，所以， 又因为，平面，且， 故平面，因为平面，则， 所以三条直线两两垂直， 故如图可以以为原点建立空间直角坐标系， 设，，则， 由条件可得，解得 则，，，，的中点， 所以，，， 设平面的一个法向量为， ，取， 同理可求得平面的一个法向量为， 所以，， 所以二面角的正弦值为．  17.本小题分 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点、分别为、的中点． 求证：平面平面； 求证：平面； 求三棱锥的体积． 【答案】证明：三棱柱中，侧棱垂直于底面， 平面， 又平面，， 又，，、平面， 平面， 又平面，平面平面； 证明：取线段的中点，连接、， 又点是的中点，，且， 点是的中点，，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面； 解：，，， ， 三棱锥的体积ABC．  18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，，且，是中点． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 在线段上不含端点是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由． 【答案】证明：连接交于，连接，如下图所示： 因为底面为平行四边形，所以是的中点，又是中点， 所以  ，又  平面，  平面， 所以，  平面； 解：由  ，  ，  得  ， 又因为  底面，平面，所以  ； 以为坐标原点，分别以  所在直线为  轴，  轴，  轴建立空间直角坐标系；如下图所示： 则  ， 设平面的一个法向量为  ，  ； 所以  ，得  ，令  ，则  ；即  ． 又  ，设直线与平面所成的角为  ，则  ， 即直线与平面所成角的正弦值为  ． 解：假设存在点满足题意，设  ，得  ， 设平面的一个法向量为  ，  ， 所以  ， 得  ，令  ，得  ，即  ； 设二面角  的平面角为  ，则 ， 化简得  ，解得  或  ；又因为二面角  的余弦值为  ，所以  ． 所以，在线段上不含端点存在一点，且  ，使得二面角  的余弦值为  ． 19.本小题分 已知菱形如图所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点作平面，且，所得图形如图所示． 求平面与平面夹角的余弦值． 若点满足． (ⅰ)若平面，求的值； (ⅱ)若与平面所成角为，求的最大值． 【答案】解：取的中点，连接，， 由图可知，、是正三角形，所以，． 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以． 以为正交基底建立空间直角坐标系． 可得 ，， 设平面的法向量为， 所以，即 令，则，，所以． 易知平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 设平面的法向量为． 则平面等价于． 因为，，，，， 所以，，，， 故，． 因为平面的法向量为， 所以，则 令，则，，所以． 由，解得； (ⅱ)因为，所以设， 则，又平面的一个法向量为， 所以，设， 则， 当时，取最小值，故的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $