4.4 利用三角形全等测距离课件2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

第4章 三角形 4 利用三角形全等测距离 北师版 七年级 数学（下） 情景导入 判定三角形全等有哪些方法？ ①“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等。 ②“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 ③“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 ④“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 新课探究 测碉堡的距离 阅读课本 P110 页的材料，你知道我军战士运用了什么知识测出我军阵地与敌军碉堡距离的吗？ “调整帽子”“保持刚才的姿态”的数学意义是什么? “调整帽子”即可改变视角的大小。帽檐向上移动，视角变大，观察到的范围变大；帽檐向下移动，视角变小，观察到的范围变小。 “保持刚才的姿态”即保持视角不变。 新课探究 战士所讲述的方法中，已知条件是什么? 要求的是什么? A C B D 已知条件: ①战士的身高不变，AC=AC； ②战士与地面是垂直的 (AC⊥BD)； ③视角∠CAB=∠CAD。 要求的是: 敌碉堡 (B) 与我军阵地 (D) 的距离。 战士所讲述的方法中， 战士的结论是什么? 战士的结论:只要按要求(如图)测得DC 的长度即可。 ( BC = DC ) 你能用数学的知识说明BC=DC吗? A C B D 理由：在△ACB与△ACD 中， ∠BAC =∠DAC， AC = AC（公共边）， ∠ACB = ∠ACD = 90°， △ACB≌△ACD（ASA） 所以BC = DC。 A C B D 利用三角形全等可以测量两点之间的距离。 不可测量或不方便测量的线段 方便测量的线段 构造全等三角形 利用全等三角形的性质转移线段。 归纳总结 观察思考 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决问题吗？ A B A B 先在地上取一个可以直接到达 A 和 B 点的点 C; C E D 连接 AC 并延长到 D，使CD = CA；连接 BC 并延长到E，使 CE = CB， 连接 DE 并测量出它的长度即为AB 之间的距离. 方案一： 理由: 在△ACB与△DCE 中， 所以△ACB ≌ △DCE（SAS） 所以 AB = DE (全等三角形的对应边相等) ∠BCA = ∠ECD ， AC = CD ， BC = CE ， 因为 A B C E D A B C D 方案二： 如图，先作三角形 ABC ，再找一点 D，使AD∥BC，并使AD = BC，连结 CD，量CD 的长即得 AB 之间的距离。 理由: 在△DAC与△BCA 中， 所以△DAC ≌ △BCA（SAS） 所以 AB = CD (全等三角形的对应边相等) ∠DAC = ∠BCA ， DA = BC， AC = CA ， 因为 A B C D 应用举例 【例2】小强为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面的夹角为∠DPC＝36°，测得楼顶A视线PA与地面的夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10 m，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36 m，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？ 【方法指导】根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA)，进而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可． 解：因为∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°， 所以∠DCP＝90°－∠CPD＝54°＝∠APB. 在△CPD和△PAB中， 因为∠CDP＝∠PBA，DC＝BP，∠DCP＝∠BPA， 根据三角形全等的判定条件“ASA”， 所以△CPD≌△PAB. 根据“全等三角形的对应边相等”， 所以DP＝AB. 因为DB＝36 m，PB＝10 m， 所以AB＝DP＝DB－PB＝36－10＝26(m). 答：楼高AB是26 m． 课堂小结 利用三角形全等测距离 原理 方法 数学思想 全等三角形的对应边相等 构造全等三角形 用三角形全等构建数学模型解决实际问题 随堂练习 1．如图，将两根等长钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是________Ｗ． SAS 2．如图，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发沿与AB成90°角方向，向前走50 m到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50 m到D处，在D处转90°沿DE方向再走17 m，到达E处，使A，C，E在同一直线上，那么A，B的距离为　　m. 17 3．如图，两根长12 m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面，请说明理由． 解：用卷尺测量出BD是否与CD相等． 理由如下：在△ABD和△ACD中， 因为AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD， 根据三角形全等的判定条件“SSS”， 所以△ABD≌△ACD. 根据“全等三角形的对应角相等”， 所以∠ADB＝∠ADC. 又因为∠ADB＋∠ADC＝180°， 所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 即AD⊥BC. 4.如图，把两根钢条 AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳 )。 只要量得 AC 的长度，就可知工件的内径 BD 是否符合标准。你明白其中的道理吗?与同伴进行交流。 A B D C 解：因为点O是AB，CD的中点， O 所以点AO=BO，CO=DO。 又因为在△AOC和△BOD中， 所以 △AOC≌△BOD (SAS) 所以AC=BD 。 AO = BO，∠AOC =∠BOC， CO=DO ， $