精品解析：上海市吴淞中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

吴淞中学高二期末数学试卷 一、填空题 1. 直线的倾斜角是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线的斜率，得出对应的倾斜角. 【详解】由直线可知直线的斜率为， 故对应的倾斜角为. 故答案为：. 2. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】由圆锥的侧面积公式 故答案为：2π 3. 在等比数列中，，，则公比______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式可求公比. 【详解】在等比数列中，，，公比为， 由题意可得，解得. 故答案为： 4. 已知函数，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】可以根据常见函数求导计算，直接计算的值，也可以通过在某处的导数的定义通过计算求得该点处的导数值。 【详解】法一：， ，. 故答案为：4. 法二：由题 故答案为：4. 5. 方程表示椭圆方程，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由表示椭圆方程列不等式组求参数范围即可. 【详解】若方程表示椭圆， 则 解得或. 故答案为：. 6. 设、，向量，，，且，，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】由求得，再由数量积的坐标运算求值. 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，所以，解得，则， 所以， 故答案为：. 7. 圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将一般方程配方后得标准方程，结合圆心在第三象限得关于的不等式组，从而可求其范围. 【详解】由题可得：圆的方程为：， 圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故答案为：. 8. 已知函数在处取得极值0，则______. 【答案】24 【解析】 【分析】根据极值点和极值可得关于参数的方程组，求出其解后再检验可得参数的值，从而可求. 【详解】函数，则， 又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，，则. 故答案为：. 9. 已知数列满足则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值． 【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33 且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33． 从而 设f（n），令f′（n）， 则f（n）在上是单调递增，在上是递减的， 因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值． 又因为，， 所以的最小值为 故答案为 【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性． 10. 已知动点满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】画出点对应轨迹的图象，结合两点间的距离公式确定正确答案. 【详解】依题意，动点满足， 即：当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 由此画出点对应的轨迹如下图所示， 表示点与点两点间距离的平方， 最大值为. 故答案为： 11. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值为______.. 【答案】2 【解析】 【分析】把问题转化为抛物线上的点到定点与到抛物线焦点的距离和最小的问题，结合抛物线的定义求解. 【详解】设抛物线的焦点为，由易得，准线方程为， 如图： 设为点到准线的距离，则, 则， 当，，共线时取等号，的最小值是. ，则 的最小值是. 故答案为：2 12. 已知、分别是双曲线：（，）的左、右焦点，点、分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，延长与双曲线交于点，四边形为平行四边形，在焦点三角形和中，分别由定义得关系式，结合得到的二次方程求解. 【详解】连接，延长与双曲线交于点，连接， 如图所示：由，根据对称性可知，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形， 由，定义（），则， 由双曲线定义，，且， 所以，，， 因为， 中，，且， ，得， 即，所以， 在直角三角形中，， 即，解得，即. 故答案为：. 二、选择题 13. 若动点到定点和直线：的距离相等，则动点的轨迹是（ ） A. 线段 B. 直线 C. 椭圆 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】设动点的坐标为，由条件列方程化简可得点的轨迹方程，由方程确定轨迹. 【详解】设动点的坐标为， 则． 化简得． 故动点P的轨迹是直线． 故选：B. 14. 已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【详解】根据等差中项的性质， 可得， 再由等差数列的前n项和公式可得， 所以 ， 故选：D 15. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得到半圆的方程和半椭圆的方程，从而求得点和点的坐标，即可求得，进而即可求得的面积． 【详解】由题意知，半圆的方程为， 设半椭圆的方程为， 则，所以， 故半椭圆的方程为， 设，则，所以， 设，则，所以， 故，． 故选：B． 16. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角； B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线l经过点，，则到的距离为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由，得到是钝角或平角判断；对于B，由与是否共线判断；对于C，易得，从而即为所求；对于D，假设三个向量共面，由是否成立判断. 【详解】对于A，若，则是钝角或平角，故A错误； 对于B，因为直线的方向向量，平面的法向量， 则，故与不共线，即不成立，故B错误； 对于C，因为，，， 则，，， 故到的距离为，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则， 所以，又是空间的一组基底， 所以，无解，即不共面， 所以也是空间的一组基底，故D正确； 故选：D 三、解答题 17. 已知是等差数列，是等比数列，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出等比数列的公比，再求出的值，根据等差数列的通项公式求解； （2）根据等差数列和等比数列的前项和公式求数列的前项和. 【小问1详解】 等比数列的公比， 所以，． 设等差数列的公差为． 因为，， 所以，即． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，． 因此． 从而数列的前项和 . 【点睛】 18. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆经过点，，代入圆的方程，建立关于和的方程组，求得和，即可得圆的方程； （2）由直线被圆截得的弦长，求出到的距离，对直线的斜率分是否存在两种情况讨论，由弦心距列方程即可得答案. 【小问1详解】 因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（）， 因为圆经过，两点， 所以，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 19. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、、、、、. 依题意，，， 从而，所以； （Ⅱ）； （Ⅲ）. 【解析】 【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出； （Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ） 依题意，是平面的一个法向量， ，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨设，可得． ， ． 所以，二面角的正弦值为； （Ⅲ）依题意，． 由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 20. 已知函数. （1）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值； （2）若，求函数在上的最大值和最小值； （3）若，求证：在区间上函数的图象在函数的图象的下方. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2），； （3）设（）， 则， 当时，，故在区间上是减函数. 又因为，所以在区间上恒成立，即恒成立. 因此当时，在区间上函数的图像在函数图像的下方. 【解析】 【分析】（1）先求导，在根据导函数在其零点附近的符号可确定极大值或是极小值； （2）用上一问的办法，先求极值，在将极值和端点的值进行比较，得到最大值； （3）构造函数，证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，，令，得或（舍去）， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）当时，易知函数在上为增函数， 所以，. （3）略 21. 设为椭圆的右焦点，点在椭圆上， （1）求椭圆的方程； （2）设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离； （3）斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将代入椭圆方程求解即可； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）设直线，，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. 【小问1详解】 将代入椭圆方程得可得：， 所以椭圆方程为：； 【小问2详解】 因为，，所以只需找到的最大值即可， 设，而，则， 由可得，代入消去可得： ， 因为，所以当时，， 从而； 【小问3详解】 设直线，， 与椭圆联立方程：， ∴， ∴； 直线与抛物线联立方程：， ∴， ∵是焦点弦， ∴， ∴ 若为常数，则，∴，常数为. 所以存在实数，使为常数. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于处理弦长问题时，常利用韦达定理代入弦长公式求解；在处理抛物线中的焦点弦问题时，常利用焦点弦公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴淞中学高二期末数学试卷 一、填空题 1. 直线的倾斜角是__________. 2. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 3. 在等比数列中，，，则公比______. 4. 已知函数，则______. 5. 方程表示椭圆方程，则的取值范围为______. 6. 设、，向量，，，且，，则______. 7. 圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 8. 已知函数在处取得极值0，则______. 9. 已知数列满足则的最小值为__________. 10. 已知动点满足，则的最大值为___________． 11. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值为______.. 12. 已知、分别是双曲线：（，）的左、右焦点，点、分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为______. 二、选择题 13. 若动点到定点和直线：的距离相等，则动点的轨迹是（ ） A. 线段 B. 直线 C. 椭圆 D. 抛物线 14. 已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 15. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 16. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角； B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线l经过点，，则到的距离为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 三、解答题 17. 已知是等差数列，是等比数列，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 19. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 已知函数. （1）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值； （2）若，求函数在上的最大值和最小值； （3）若，求证：在区间上函数的图象在函数的图象的下方. 21. 设为椭圆的右焦点，点在椭圆上， （1）求椭圆的方程； （2）设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离； （3）斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $