云南师大附中2027届高二年级上学期期末模拟数学试卷8

2027届高二（上）期末模拟8 一、单选题： 1.设集合A=x|1≤x≤3，B=x|2<x<4,则AUB=() A.x/2<x≤3引 B.x|2≤x≤3引C.x/1≤x<4 D.x|1<x<4 2.记Sn为等差数列{am的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{aJ的公差为() A.1 B.2 C.4 D.8 3.某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320、300、380.为调查学 生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高 二年级的人数为() A.68 B.38 C.32 D.30 4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2的圆的方程为() A.x2+y-2}=1 B.x2+y+22=1 C.x-12+y-32=1 D.(x-22+(y-32=1 5.若定义在R上的奇函数fx)在(-∞，0)单调递减，且f2)=0,则满足xfx-1)≥0的x的取值范围是() A[-1,1]U3,+∞)B.[-3,-1]U[0,11C.[-1,01U[1,+∞lD.[-1,01U1,3] 6.函数fx)=sin(-2x+)的图象为C,则下列结论中正确的是() A.图象C关于直线x=对称 B.f在区间l-是，晋上递减 C.图象c关于点受，0对称 D.由y=sin(-2x)的图象向左平移得到C 7.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名， 丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有() A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 8.已知函数fx=log3x+3x,gx)=3+3x,hx)=x3+3x的零点分别x1,x2,x3,则x1,x2,x的大小关系 为) A.x2<x3<x1 B.x1<x2<x3 C.x2<x1<x3 D.x3<x2<x1 二、多选题： 9.已知向量a=(2,1),=(-3,1),则() A.山厉 B.向量在向量上的投影向量是-①a 2 C.位+2=5 D.与向量方向相同的单位向量是(25，孕 5,5 10已知椭圆C:号+茶=1>b>0的离心率为2左，右焦点分别为F,P,P为椭圆上一点保于左，右项， ,y2 点，且4PF1F2的周长为6，则下列结论正确的是() A.椭圆C的焦距为1 B.椭圆C的短轴长为2V3 C.△PF1F2面积的最大值为V3 D.椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90 7 11.已知数列{an]满足an+ant1=2×(-1r,n∈N°，且a5=1,则() A.a1=-7 B.数列{a2m-}是等差数列 C.数列Ia}是等差数列 D.数列{a的前n项和为145 Lanan+i) 三、填空题： 12.双曲线号-少=1的渐近线方程为一 13.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9W3,则三棱锥D一 ABC体积的最大值为一 14.若不等式mx2-emxInx之0对x∈(O,恒成立，则实数m的取值范围是 四、解答题： 15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2 c)cosB+bcosA=0. (1)求角B的大小： (2)若b=3,求△ABC的周长的最大值. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD,M 是PD的中点. (1)求证：AM⊥平面PCD: (2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值. B 2 17.已知数列{an满足a1=1,an+1=2a+1,数列bn的前n项和Sn满足4Sn=(2n+1)bn+1. (1)求{an,bnJ的通项公式 (2)设cn=(an+1)小·bn+2,求数列{cn的前n项和Tn, 18.已知函数f似=2x2-(a+2x+2 alnx(aER). (1)讨论函数fx的单调区间： 2)当a=2时，证明：f似-2x2+2x≤xe*1-2 3)函数h=f似-2x2有两个零点x1、,求证：xx2>2. 3 19.抛物线C的顶点为坐标原点0，焦点在x轴上，直线l:x=1交C于P,Q两点，且0P⊥0Q,己知点M(2,0), 且⊙M与相切. (1)求抛物线C,⊙M的方程： (2)设A1,A2,A3是抛物线C上的三个点，直线A1A2,A1A3均与⊙M相切，判断直线A2Ag与⊙M的位置关系， 并说明理由， 4 2027届高二（上）期末模拟8参考答案 1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】D 解根振恩意，不等式f-办0可化为k产9nkc) x≤0 由奇函数性质得f升-2引=-f2)=0,fx在(0，+∞)上单调递减， 所以2,2成-1-2或-2x-1K0敢-1>2解转1x<3或-1。 满足xfx-1>0的x的取值范围是x∈[-1,0UL,3引.故选D. 6.【答案】B7.【答案】C解：可以按照先选1名志愿者去甲场馆，再选择2名志愿者去乙场馆，剩下3名安 排到丙场馆，安排方法有cCC=60.故选：C. 8.【答案】A解：因为函数fx=logx+3x,gx)=3+3x,h=x3+3x, 所以函数fx,gx,h(x均为增函数， 当x>0时，gx)=3产+3x>0恒成立，故gx的零点小于0，即x2<0, 当x=时，f倒=0，所以x1=子当x=0时，h以=0，所以x=0,故x2<x<·故选：A. 9.【答案】CD 解：对于A:"d=(2,1b=(-3,1,所以2×1≠-3×1，所以/乃不成立故A错误： 对于：向量@在向量让的投形向量为需高-仁高-罗哥-式。故B错误 对于C:立+23=(2,1)+2引-3,1)=(-4,3引，÷瓜+21=√(-4+32=5，故C正确： 对于0向量a的同向单位向量是哥-(5，，故D正确， 10.【答案】BC【解答】解：由椭圆的离心率为2，得后=①， 由△PF,F2的周长为6，得2a+2c=6,即a+c=3②， 由①②解得：a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,b=V3, 所以2C=2,故A错误，2b=2√3，故B正确：当点P为短轴端点时，△PF,F2面积取得最大值， 此时SaPR,R=×2c×b=bc=V3,故C正确： 当点P为短轴端点时，∠F1PF2最大，此时/PF/=/PF2/=a=2,1FF2/=2, 所以△PF1F2为正三角形，此时，∠F1PF2最大为60°，故D错误.故选BC 11.【答案】ABD 【解答】解：因为an+a+1=2×(-1”,a5=1,所以a4=2-a5=1,ag=-2-a4=-3,a2=2-ag=5,a1=-2-a2 -7,故A正确： 因为an+an=2×(-1r,所以a2k-1+a2k=-2,a2k+a2k+1=2,kEN, 两式相减得，a2k1一a2k-1=4,所以数列(a2m-}是以-7为首项，4为公差的等差数列，故B正确： ag=-3,a4=1,a5=1, "2a4l≠lagl+lasl,lan不是等差数列，故C错误： 当n=2k-10k∈Nr)时，ak-1=-7+4k-1)=4k-1,即a=-7+4x(生-1）=2n-9: 当n=2k(k∈N)时，由a2k-1+a2k=-2,可得a2k=-2-a2k-1=9-4k,即an=9-2n: 则an=(-1m+2(2m-9乳，所以aa+1=(-1m2(2n-9·(-1m+22n-7刃=-(2n-92n-7刃， 设勋，=a女测b,一Omn-刃（品gz》 所以b,+b2+bg+…+ba=-0-++(-吉++(-+片+…+-27》 1 -(2)=7n的故D正确. 12.【答案】y=吐x 13.【答案】18√3 解：设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点， D △ABC为等边三角形且其面积为9W3,号×AB2×sin60°=9W3,解得AB=6, 球心为0，三角形ABC的外心为0，显然D在0O的延长线与球的交点如图： 0C=号×受×6=2√3,00=、4-2√驴=2，则三棱锥D-ABC高的最大值为：6， 则三棱锥D-ABC体积的最大值为：}×93×6=18V3.故答案为：18V3. 14.【答案】[-2ln2,+o) 解：当m>0时，xe0,2,m2>0,-emxInx>0,mx2-em1nx>0恒成立， 当m=0时，xE包-nx0恒成立，当m<0时，可整理得点>震对x∈o恒成立， 可构造断点求号得f因之可知在tEQ止单调递减， 在tE(e,+∞)上单调递减，~0<x<<e,0<em<e, 则有f>fe四，此时x<e,整理得m>竖令g树=竖xeo,引，则g=兴 可知g()在x∈o,上单调递增，可知m>。-22. 综上，实数m的取值范围是[-2n2,+o∞以.故答案为：【-2ln2,+o. 15.【答案】解：(L)已知(a+2 c)cosB+bcosA=0.则sinA+2 sinC)cosB+sinBcosA=0, 整理得：sinAcosB+cosAsinB+2 sinCcosB=O,所以sin(A+B)+2 sinCcosB=0, 因为A+B=π-C,所以sinC+2 sinCcosB=0,~0<C<π，sinC>0, 解得c0sB=一克由于：0<B<m,所以：B= a创~B=asnB=费：b=3,snB= 由正弦定理得：品=品a=品=2N3,即a=2√5stnA,c=2√smC, ∴△ABC周长为a+b+c=2V3simA+sinC)+3=2W3sinA+sin肾-A训+3=2W3sinA+)+3,:0<A<号号sA+ 哥智snlA+e停，，即2V3snA+写+3∈6,2W3+引，则△ABC周长的最大值为2W5+3. 16.【答案】解：1)证法一：在正方形ABCD中，CD⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PADn底面ABCD=AD, CDC底面ABCD, 所以CD⊥平面PAD,因为AMC平面PAD,所以CD⊥AM, 因为4PAD是正三角形，M是PD的中点，所以AM⊥PD, 又CDnPD=D,CD,PDc平面PCD,所以AM⊥平面PCD, 证法二：在正方形ABCD中，CD⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD交底面ABCD于AD,CDC底面ABCD,所以CD⊥平面PAD, 2 又CDc平面PCD,故平面PCD⊥平面PAD,aPAD是正三角形，M是PD的中点，所以AM⊥PD, 又平面PCD交平面PAD于PD,AMC平面PAD,故AM⊥平面PCD. (2)取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF, 则EF=CD,EF∥CD,因为AD⊥CD,所以EF⊥AD, 又在正△PAD中，PE⊥AD,因为EFn PE=E,EF,PEc平面PEF,所以AD⊥平面PEF, 正方形ABCD中，AD/BC,所以BC⊥平面PEF, PF,EFC平面PEF,则BC⊥PF,BC⊥EF,所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角， 因为CD⊥平面PAD,EF/CD,所以EF⊥平面PAD,因为PEC平面PAD,所以EF⊥PE, 设正方形ABGD的边长AD-2a,则EF=2a,PE=V5a,所以Pp=VPE+BP=V7a,所以cos∠PFE-票-29， 7， 即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为2y。 17.【答案】解：)由an2=2an+1,得a1+1=2an+1, 因为a,=1,所以a+1>0,所以2中=2， 所以an+1是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1=2”,即an=2”-1, 由4Sn=(2n+1bn+1,① 得4Sn-1=(2n-1bn-1+1,② ①-②，得4bn=(2n+1bn-(2n-1bn-1(m≥2， 即2m-3b.=2m-bh≥2即2高-2m≥2引 当飘=1时，=1，朗=3，所以篇=篇=号=1， 所以bn=2n-1m≥2引，因为b1=1符合上式，所以bn=2n-1m∈N: (2)由(1)知，cn=2"(2n+1, 所以Tn=C1+c2+c3+…+cn=3×22+5×22+7×23+…+(2n+1)×2”,③ 所以2Tn=3×22+5×23+7×2°+…+(2n-1)×2n+(2n+1)×2n1,④ ③-④，得-Tn=6+2(22+23+29+…+2)-(2n+1)×2n+1 =6+81-28--2n+1)×2n*1=-2+1-2m列×2*1，所以Tn=(2n-12m*1+2. 1-2 18.【答案】解：)函数fx的定义域为O+∞， f1似=x-a+2引+2g=-2-a+2x+2=区-c-2 当a≤0时，由fx)<0可得0<x<2,；由fx)>0可得x>2, 此时，函数fx的单调递减区间为(O,2引，单调递增区间为2，+∞： 当0<a<2时，由fx)<0可得a<x<2;由f"x)>0可得0<x<a或x>2, 此时，函数fx的单调递减区间为(a,2,单调递增区间为0，a小、(2，+∞： 当a=2时，对任意的x>0,f似)=-2≥0，此时，函数fx)的单调递增区间为0，+∞： x 当a>2时，由f"x)<0可得2<x<a:由fx)>0可得0<x<2或x>a, 此时，函数fx的单调递减区间为2，a以，单调递增区间为O,2引、a,+∞： 综上所述，当a≤0时，函数fx的单调递减区间为0,2引，单调递增区间为(2，+∞ 当0<a<2时，函数fx的单调递减区间为(a,2,单调递增区间为O,a以、(2，+： 当a=2时，函数fx的单调递增区间为O,+∞，无单调递减区间： 当a>2时，函数fx的单调递减区间为(2，a小，单调递增区间为0,2小、(a,+∞小： 2)证明：当a=时，f似-=x2-x+nx, 要证明f例-x2+子x≤xe*1-2,即证f似-2+子x=nx+x≤xe1-2=eh1-2, 3 令t=x+lnx+1,即证t-1≤e-2,即证e-t-1≥0， 因为函数t=x+lnx+1在(0，+∞)上单调递增， 当x>0且无限趋近于0时，t→-oo:当x→+∞时，t→+oo,所以函数t=x+lnx+1的值域为R, 令gt)=e-t-1,其中t∈R,则gl=e-1, 由gt)<0可得t<0,由gt)>0可得t>0,所以函数g)的单调递减区间为(-∞，0，单调递增区间为0，+∞， 则g(t)mn=g0)=0,故gt)2g0)=0,即e-t-1≥0，故原不等式得证： 3)证明：h)=f-2x2=2alx-(a+2k,因为函数h有两个零点x1、x2,不妨设x1>x2>0, 则aln=a+2,所以anx-lhx=a+2,-x (2alnx2 (a+2)x2 2anx1+lnx2)=(a+2x1+x2)' 整理可得xtn兰-t名，即lnkx=+女n Inxi-lnx2 x1-x2 x1-x2 x2 要证x>3,即证1nkx-多n之>2，即证n点，2g-22号 x1-x2 x2x1十2 41 x2 c-1)2 令t-受>1，即证mt>2令p以=t-2t>1,则即四=日器>0， X2 所以函数pft在(，+o上单调递增，则p>p)=0,即t-2->0,即nt>2-, t+1 t+1 因此，不等式xx2>e2成立. 19.【答案】解：1)因为x=1与抛物线有两个不同的交点， 故可设抛物线C的方程为：y2=2pxp>0,令x=1,则y=士√2p, 根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方，故P1,√2p,Q1,一√2， 因为0P100,故1+√2印×(-√2印=0→p=2抛物线C的方程为：y2=x, 因为⊙M与相切，故其半径为1，故⊙M:(x-22+y2=1: (2)A(xy1),A2(x2 y2),A3(xa y3), 当A1,A2,A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时）， 设直线A,方程为x-y=0,根据点M,0到直线距离为1可得=1，解得k=士号 联立直线A,A2与抛物线方程可得x=3,此时直线A2Ag与⊙M的位置关系为相切， 当A1,A2,A3都不是坐标原点时，即x1≠x2卡x3,直线A1A2的方程为x-(y1+y2y+yy2=0, 此时有，2+2=1，即6好-1%+2yy2+3-乃=0， /1+0y1+y2)2 同理，由对称性可得，好-1y3+2yy3+3-y=0,所以y2,y3是方程y1-1)2+2yt+3-y=0的两根，依题 意有，直线A2A3的方程为x-y2+y3y+y2y3=0, 3-2 令M到直线AAg的距离为d,则有dP=2h232.了 =+0271+ -2y1少2 =1, 此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切. 4