精品解析：河北省廊坊市三河市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本次考试试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．在答题纸上答题．选择题用铅笔填涂，笔答题用黑色钢笔或碳素笔． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列4个图形中，中心对称图形有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行解答． 【详解】解：第一、二、三个图形是中心对称图形，第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 综上所述，是中心对称图形的有3个． 故选：B． 2. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，再由二次项系数不为0可得，据此求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， 且， ∴ 解得， 且． 3. 如图，若是的直径，是的弦，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形两个锐角互余．由直径所对圆周角为直角即得出，从而由直角三角形两个锐角互余求出，最后由同弧所对圆周角相等即得出． 【详解】解：是的直径， ． ， 又， ． 故选：B． 4. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． 由旋转性质知，据此得、，再根据等腰三角形性质即可解答． 【详解】解：由旋转的性质的可得：， ∴、， ∴． 故选：D． 5. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数． 【详解】解：∵半径为的定滑轮带动重物上升了， 根据，得： ， 解得． 所以，滑轮上某一点P旋转了． 故选：D． 6. 如图，中，，把绕着点C顺时针旋转得到，若点恰好在一条直线上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，再根据全等的性质即可解答． 【详解】解：绕着点C顺时针旋转得到， ， ，，， ，故D结论错误． ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质和等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键． 7. 如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出A的坐标，然后通过图象比较函数值大小，根据图象在上方的函数值大求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴ ∴m=12 ∴ ∵在反比例函数图象上， ∴ ∴a=6 ∵ ∴或 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标，函数和不等式的关系，数形结合是解题的关键． 8. 如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　　) A. △ACD的外心 B. △ABC的外心 C. △ACD的内心 D. △ABC的内心 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图可得：OA=OB=OC=， 所以点O在△ABC的外心上， 故选B． 9. 如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：； 乙： 其中正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是找出图形中面积之间的相等关系，把各部分的面积用含的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程． 【详解】解：矩形的长为，宽为，则矩形的面积为，小路占地面积为， 种植花草的面积为， 从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为， 矩形的面积为， 可列方程， 甲列的方程正确； 两条竖着的小路的长为，宽为， 两条竖着的小路的面积为， 横着的小路的长度为，宽为， 横着的小路的面积为， 三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形， 重叠部分的面积为， 小路的面积可表示为， 可列方程为， 乙列的方程错误； 综上所述，甲对、乙不对． 故选： A． 10. 反比例函数的图像如图所示，若二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，数形结合．根据反比例函数的图像与性质可得，从而得到抛物线的开口向下和对称轴为，进而得到的取值范围；由抛物线与轴交于点，可得，推出即可求出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图像过第二象限， ， 当时，， ， 抛物线的开口向下，对称轴为， 抛物线的对称轴为直线， ， 依据题意得， ， ， 即， 故选：C． 11. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则.其中正确个数有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系．分别判断的符号，即可判断①；根据函数对称轴可得，即可判断②；把代入即可判断③；根据该二次函数的最大值，即可判断④； 【详解】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在轴右侧，图象与轴相交于正半轴， ∴，，， ∴，故①正确； ②， ， ，故②正确； ③∵该函数图象经过点，对称轴为直线， ∴该函数与轴另一个交点坐标为， ∴当时，，故③正确； ④∵对称轴为直线，函数开口向下， ∴当时，有最大值， 把代入得：， 把代入得：， ∵为任意实数， ∴，则，故④不正确； 综上：正确的有①②③． 故选：C． 12. 如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝5，CM＝3，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝，进而得出EF的长． 【详解】解：如图，连接BM． ∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称， ∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE． ∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF， ∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD． ∴∠FAB＝∠MAE ∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE． ∴∠FAE＝∠MAB． ∴△FAE≌△MAB（SAS）． ∴EF＝BM． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝5． ∵DM＝2， ∴CM＝3． ∴在Rt△BCM中，BM＝， ∴EF＝， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形的判定和性质,关键在于做好辅助线,熟记性质. 二、填空题（共4题，每题3分，16题第一空1分，共12分） 13. 若是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：1 14. 如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则______． 【答案】18°##18度 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和定理求出正五边形内角的度数，然后根据正五边形和正方形的内角的度数之差求∠1的度数即可． 【详解】解：∵正五边形的每个内角的度数= ， 正方形的每个内角的度数是90°， ∴ ． 故答案为：18°． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，正五边形和正方形的性质，解题的关键是先求出正五边形的内角． 15. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【详解】分析：设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积． 详解：设AD与圆的切点为G，连接BG，∴BG⊥AD． ∵∠A=60°，BG⊥AD，∴∠ABG=30°，在直角△ABG中，BG=AB=×2=，AG=1，∴圆B的半径为，∴S△ABG=×1×= 在菱形ABCD中，∠A=60°，则∠ABC=120°，∴∠EBF=120°，∴S阴影=2（S△ABG﹣S扇形）+S扇形FBE=2×（﹣）+=+． 故答案为+． 点睛：本题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性质和切线的性质求出圆的半径是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，，且，． （1）的值为 __； （2）若直线与直线交于点，当点，，中其中两点关于第三点对称时，的值为 __． 【答案】 ①. ②. 2或或 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义得到，进而求得，由求得，即可求得，然后利用反比例函数系数的几何意义即可求得的值； （2）由于点，，三点中两点关于第三点对称，可以分三种情况讨论求得的坐标，代入即可求得的值． 【详解】解：（1）过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 而， ． （2）当点，关于点对称，即点为线段的中点， ，， ， ， 代入得，， 解得：， 当点，关于点对称，即点为线段的中点， ， ， ， 代入得，， 解得：， 当点，关于点对称，即点为线段的中点， ， ， ， 代入得，， 解得：， 综上所述，的值为2或或． 故答案为：；2或或． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一元一次方程，分类讨论思想和数形结合思想是解题关键． 三、解答题（本大题共8个题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）使用配方法解方程； （2）通过移项和因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： 移项得  配方得  即  开方得  ∴ ， 【小问2详解】 解： 移项得  提取公因式得  ∴  或  ∴ ， 18. 观察下列十位上的数都是1的两位数的积（个位上的数的和等于10）． ． （1）猜想：哪个积最大？直接写出最大乘积的结果； （2）验证：若设其中一个两位数为，请你用所学的二次函数的知识验证你的猜想； （3）应用：有一组直角边分别为、；、；、；、；、的直角三角形，直接写出直角三角形的最大面积． 【答案】（1） （2） 证明：设其中一个两位数为，则另一个两位数为 乘积 ∵ 当时，有最大值 即积最大为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题及应用； （1）通过观察猜想最大积； （2）设一个数为，利用二次函数性质验证最大值； （3）将直角边表示为和，利用面积公式和二次函数求最大面积． 【小问1详解】 解：猜想的积最大，即 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：设一条直角边为，另一条直角边为 面积 ∵ ∴当时，有最大值 即直角三角形的最大面积为 19. 广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率． （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%； （2）选择方案①更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得平均每次下调的百分率； （2）根据题意可以分别计算出两种方案下的优惠额度，从而可以解答本题． 【详解】解：（1）解：设平均每次下调的百分率为x，则 6000（1-x）2=4860 解得：x1=0.1， x2=1.9（不合题意，舍去） ∴平均每次下调的百分率10% ； （2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720(元) ， 方案②可优惠：100×80=8000(元) ， ∴方案①更优惠． 20. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 第一次和第二次 【答案】（1）0 （2） 补全表格如下： 第一次和第二次 和为单项式的概率为 【解析】 【分析】本题考查了代数式的值、整式的加减、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）先将，代入求出三张卡片上代数式的值，再利用概率公式计算即可得； （2）先根据整式的加减补全表格，从而可得共有9种等可能的结果，再找出和为单项式的结果有4种，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：当，时， 甲卡片上代数式的值为， 乙卡片上代数式的值为， 丙卡片上代数式的值为， 则取出的卡片上代数式的值为负数的概率为0． 【小问2详解】 解：由表格可知，共有9种等可能的结果，其中，和为单项式的结果有4种， 则和为单项式的概率为， 答：和为单项式的概率为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． （1）的值为___________； （2）若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图象上时，求的值； ②若在平移过程中，反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围和线段长的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，利用待定系数法求函数解析式，菱形的性质和勾股定理，解本题的关键是判断菱形的边始终和双曲线有交点的分界点． （1）先由点的坐标确定出，从而求出点坐标，最后求出； （2）①由平移的性质确定出的纵坐标，根据解析式求出点的横坐标，即可；②由平移的性质求出点落在双曲线上的横坐标的值即可求出反比例函数图象与菱形的边始终有交点的的取值范围，根据点分别与点重合，分别求得的长，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：如图所示：过点D作x轴的垂线，垂足为F，则共线， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， ∴菱形， ∴，则 ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 【小问2详解】 ①将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 则平移后， ∵菱形的顶点B落在反比例函数的图象上， ∴， ②如图， 将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点D落在函数的图象处， 过点作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵落在函数的图象上， ∴， ∴，则 ∴， ∴， ∴． 当与点重合时，， 当与点重合时，， ∴． 22. 【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】 （1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 23. 如图，是的直径，，点C在的半径上运动，， 垂足为C， ，为的切线，切点为 T． （1）如图①，当点C运动到点O时， 求的长． （2）如图②，当点C运动到点A时， 连接， 求证：． （3）如图③ 设，求y与x之间的函数解析式及y的最小值． 【答案】（1）3 （2） 证明：连接， ∵，且为半径， ∴为的切线， ，为的切线， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ； （3），9 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据切线长定理，推出，进而推出，从而证出结论； （3）设交于点D，延长线交于点E，利用相似三角形的性质，可得出的长和y与x之间的关系式，进而求得y的最小值． 【小问1详解】 解：连接， ∵为的切线， ∴， ，， 由勾股定理得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设交于点D，延长线交于点E，连接， ∴， 又， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，过T作，交于点M，连接，则为圆O的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ 又 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，顶点为，点为抛物线上一点． （1）当时，求的最小值． （2）当时， ①若抛物线与轴有两个交点，自左向右分别为点，且，求抛物线的解析式． ②当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围． （3）①若，直接写出的最大值． ②当时，的最大值为，最小值为，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①或；② （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的最值问题． （1）根据配方法化为顶点式得出，即可求得最小值． （2）①当时，对称轴为直线，设点的横坐标为，根据得出,，进而求得点的坐标，进而求得解析式，即可求解； ②根据题意可得，当时，，当时，，解不等式，即可求解； （3）①配方法得出顶点坐标，进而可得，即可求解； ②根据抛物线开口向上，最大值为时的函数值，最小值为的函数值，进而计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴顶点坐标为 ∵， ∴的最小值为； 【小问2详解】 解：①当时， ∴对称轴为直线， 设点的横坐标为， ∵， ∴ 又∵关于直线对称， ∴ 解得：或 ∴或 ②∵当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，对称轴为直线， ∴当时，，当时， 即 ∴ 【小问3详解】 解：①∵图象的顶点为， 当时， ∴ 即的最大值为 ②∵图象的顶点为，对称轴为直线，则 点为抛物线上一点，当时， ∵，的最大值为，最小值为， ∴， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本次考试试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．在答题纸上答题．选择题用铅笔填涂，笔答题用黑色钢笔或碳素笔． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列4个图形中，中心对称图形有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 如图，若是的直径，是的弦，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，把绕着点C顺时针旋转得到，若点恰好在一条直线上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　　) A. △ACD的外心 B. △ABC的外心 C. △ACD的内心 D. △ABC的内心 9. 如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：； 乙： 其中正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 10. 反比例函数的图像如图所示，若二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则.其中正确个数有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，每题3分，16题第一空1分，共12分） 13. 若是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___________． 14. 如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则______． 15. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，，且，． （1）的值为 __； （2）若直线与直线交于点，当点，，中其中两点关于第三点对称时，的值为 __． 三、解答题（本大题共8个题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） 18. 观察下列十位上的数都是1的两位数的积（个位上的数的和等于10）． ． （1）猜想：哪个积最大？直接写出最大乘积的结果； （2）验证：若设其中一个两位数为，请你用所学的二次函数的知识验证你的猜想； （3）应用：有一组直角边分别为、；、；、；、；、的直角三角形，直接写出直角三角形的最大面积． 19. 广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率． （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 20. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 第一次和第二次 21. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． （1）的值为___________； （2）若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图象上时，求的值； ②若在平移过程中，反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围和线段长的取值范围． 22. 【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 23. 如图，是的直径，，点C在的半径上运动，， 垂足为C， ，为的切线，切点为 T． （1）如图①，当点C运动到点O时， 求的长． （2）如图②，当点C运动到点A时， 连接， 求证：． （3）如图③ 设，求y与x之间的函数解析式及y的最小值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，顶点为，点为抛物线上一点． （1）当时，求的最小值． （2）当时， ①若抛物线与轴有两个交点，自左向右分别为点，且，求抛物线的解析式． ②当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围． （3）①若，直接写出的最大值． ②当时，的最大值为，最小值为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $