精品解析：江苏省镇江市丹阳市马相伯高级中学2026届高三上学期1月模拟数学试卷

江苏省镇江市丹阳市马相伯高级中学2026届高三上学期1月模拟数学试卷 2026年1月 一、单选题 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. C. ， D. ， 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 24 4. 已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件A与事件B独立 C. D. 6. 已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 由动点向圆引两条切线，切点分别为 ，若四边形为正方形，O为原点，则线段的最大值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 7 8. 在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 10. 已知函数，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 的最小值为 D. 若方程有三个不等根，则范围是 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且点满足（当点在轴上时，规定点与点重合），则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最小值为8 C. 点轨迹方程为 D. 面积的最大值为 三、填空题 12. 已知点在角的终边上，若，则__________. 13. 两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件“两位游客选择的景点不同”，则__________. 14. 设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为______． 四、解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 （1）求； （2）若的面积为． ①求b，c； ②设在线段BC上，且，求线段AD的值． 16. 已知数列是首项为1且公差不为零的等差数列，且成等比数列，数列的前项和为， 条件①，条件②，条件③， （1）求的通项公式； （2）选择三个条件中的一个，求的通项公式； （3）若，求数列的前项和． 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，， 为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为6的等边三角形，点在棱 上，若二面角的大小为，求四面体外接球的表面积． 18. 如图，双曲线的左､右焦点，分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2. （1）求双曲线的方程； （2）若直线交双曲线的右支于两点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； ②试探究：是否为定值？并说明理由. 19. 已知在点处切线为． （1）若，求 的单调区间； （2）当时，证明：切线不经过； （3）已知，，，，其中，切线与 轴交于点时．当，符合条件的 的个数有多少个？ （参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市丹阳市马相伯高级中学2026届高三上学期1月模拟数学试卷 2026年1月 一、单选题 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求解. 【详解】命题“，”的否定为，. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法将复数转化为复数的代数形式，结合复数的几何意义得到复数对应的点坐标后即可判断. 【详解】依题意，， 所以复数对应的点为， 所以复数对应的点位于第二象限； 故选：B. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，通过即可求解. 【详解】因为， 所以， 又，则， 所以， 所以， 所以， 故选：C 4. 已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出，再由面积公式求出和，最后由余弦定理计算a. 【详解】因为，且角A的平分线交边BC于D，且， 所以，即， 又，所以，所以，， 由余弦定理得， 所以，即， 故选：A． 5. 已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件A与事件B独立 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型的计算公式先求出和，再由互斥事件、独立事件和对立事件的性质即可逐项判断. 【详解】因为，，， 所以，，； 对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，故A不正确； 对于B，，所以事件A与事件B不独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，由，得， 所以，故D正确； 故选：D. 6. 已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质、前n项和公式推理计算作答. 【详解】两等差数列，，前n项和分别是，，满足， 所以. 故选：B 7. 由动点向圆引两条切线，切点分别为 ，若四边形为正方形，O为原点，则线段的最大值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得点轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形， 所以，可得， 所以点的轨迹方程为， 即点轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又由，所以的最大值为. 故选：D. 8. 在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点的中点的中点F，连接和，可证面面，故动点在面内的轨迹为，结合几何关系即可求出线段长度的最大值. 【详解】取的中点的中点的中点F，连接和， 由分别为的中点，知，同理可知：,，有， 又由,面且平面，所以平面， 同理可知，平面. 因为,平面平面，所以平面平面， 而平面，故动点在平面内的轨迹为， 由可知，， 所以，即，所以线段的最大值为. 故选：A. 二、多选题 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合三角函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】 ， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，令，，解得， 所以区间包含单调递增区间和单调递减区间，故B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到：， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，令，即，得，，即，， 当时，，当时，， 若在区间上恰有一个零点，则， 则实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 的最小值为 D. 若方程有三个不等根，则范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，求导判断的单调性，结合极值点的定义判断；对B，由结合的单调性可得，运算得解；对C，利用基本不等式结合选项B求解；对D，问题转化为与的图象有3个不同的交点，求出，与的切线斜率，数形结合求解. 【详解】， 对于A，当时，，则，故在上单调递增； 当时，，则，故在上单调递减， 所以是函数的极小值点，故A正确； 对于B，由且，又在上单调递减，在上单调递增； ，且，，即，得，故B错误； 对于C，由B的解析，且， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，方程有三个不等根，即与有3个不同的交点，如图， 当时，，则， 设与的切点为，则切线的斜率， 解得，所以， 要使得与有3个不同的交点，则，即的取值范围为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且点满足（当点在轴上时，规定点与点重合），则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最小值为8 C. 点轨迹方程为 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由点在椭圆上，求出，求出离心率即可判断A，根据椭圆的定义得，利用基本不等式即可判断B，设点，由得代入椭圆方程即可判断C，当时，面积的最大值，求出面积即可判断D. 【详解】由点在椭圆上，所以，解得， 所以，所以，故A正确； 又，所以 ， 当且仅当，，即时，等号成立，故B错误； 设点，所以， 由得，又点在椭圆上， 所以，即，所以点轨迹方程为，故C正确； 由，当时，面积的最大值为,故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知点在角的终边上，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据三角函数的定义解出，再求，最后利用两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 13. 两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件“两位游客选择的景点不同”，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设先求出事件和事件的概率，再利用对立事件的概率公式求出事件的概率，最后结合条件概率的公式即可求解. 【详解】依题意，事件“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚，且两位游客选择的景点不同”， 所以； 事件“两位游客中没有一人选择太湖鼋头渚”，， 所以； 所以. 故答案为： 14. 设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，构造函数，由其单调性可得，然后由单调性可得答案. 【详解】由题意当时，因为实数，所以成立， 当时，, ， 令0， 所以在上为增函数， 则. 即对，不等式恒成立， 则． 令， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 综上可得，的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 （1）求； （2）若的面积为． ①求b，c； ②设在线段BC上，且，求线段AD的值． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和与差及辅助角公式化简求值； （2）①由面积公式和余弦定理求解；②由向量的模求线段的值. 【小问1详解】 已知，由正弦定理边化角得（*）， 因为，， 所以（*）式即， 整理得：， 即，因为， 所以，即，， 解得或，即或， 因为，所以. 【小问2详解】 对①：由三角形面积公式：，由（1）得，所以， 又由余弦定理，代入，得， 由得或，又，所以； 对②：因为点分为， 所以， 所以， 所以，即线段的值为. 16. 已知数列是首项为1且公差不为零的等差数列，且成等比数列，数列的前项和为， 条件①，条件②，条件③， （1）求的通项公式； （2）选择三个条件中的一个，求的通项公式； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的基本量表示条件成等比数列求解； （2）从中任选一个递推公式，分和两种情况讨论求解； （3）裂项得，正负相消求和. 【小问1详解】 设数列的公差为，则，因为成等比数列，， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 若选①，当时，， 当时，，又，所以； 若选②，当时，，又，所以，解得， 当时，，整理得， 即，所以是等比数列，公比为，又， 所以； 若选③，当时，，因为，所以， 又，所以， 当时，， 即当时，，又，所以是首项为公比为的等比数列， 所以； 【小问3详解】 由（1）（2），因为， 所以， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，， 为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为6的等边三角形，点在棱 上，若二面角的大小为，求四面体外接球的表面积． 【答案】（1）证明：因为， 为的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面 ， 且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，由平面平面，利用面面垂直的性质，证得平面，进而证得； （2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和平面的法向量为和，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，得到，再由的外心为，设四面体的外接球的球心为，结合，求得，得到，求得外接球的半径为，再由球的表面积公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分别取的中点为，连接， 因为 为的中点，为边长为 的等边三角形，所以为直角三角形， 且， 又因为的中点为，所以，可得， 在直角中，，，可得， 以 为原点，以所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设，可得， ，则， 设平面的法向量为， 则， 令，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 因为二面角的大小为，可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以，即， 设，由，可得， 所以，即 令等边的外接圆的圆心为，可得， 设四面体的外接球的球心为 ，可得平面，则, 可设，由， 可得， 整理得，解得，即外接球的球心为， 设外接球的半径为 ，则， 所以四面体的外接球的表面积为. 18. 如图，双曲线的左､右焦点，分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2. （1）求双曲线的方程； （2）若直线交双曲线的右支于两点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； ②试探究：是否为定值？并说明理由. 【答案】（1） （2）①3； ②为定值，理由如下： 由（1）得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 因为位于双曲线的左､右两支，所以，即， 可得， 又因为，所以直线的方程为， 根据双曲线的对称性，同理可得， 所以，故为定值. 【解析】 【分析】（1）设，根据题意，得到，且，联立方程组，求得的值，即可求解； （2）①设，求得，结合，即可求解； ②由（1）得直线的方程为，联立方程组，得到，结合弦长公式，求得和，进而化简得到为定值. 【小问1详解】 解：设，因为与的周长之差为， 所以，即， 又因为分别为双曲线的左、右顶点，所以， 联立方程组，解得，所以， 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：①由（1）知，双曲线的方程为， 设，则，可得， 则. ② 略 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 3、若与面积有关的定值问题，一般用直接法求解，即先利用三角形的面积公式，（如果是其他的凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解），把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可求解. 19. 已知在点处切线为． （1）若，求 的单调区间； （2）当时，证明：切线不经过； （3）已知，，，，其中，切线与 轴交于点时．当，符合条件的 的个数有多少个？ （参考数据：，，） 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则，， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ， 在 上单调递增，， 在 无零点，所以与假设矛盾，故直线不过. （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到， 再设新函数研究其零点即可. 【小问1详解】 ， 当时，；当，； 在上单调递减，在 上单调递增. 则 的单调递减区间为，单调递增区间为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 时，， 则切线的方程为， 令 ，则，即， ，得， 由（1）（2）可知， 则， ，记， 满足条件的 有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为，，， ， 所以由零点存在性定理及的单调性， 在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的 有两个. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $