定向督查：陕西靖边县靖边中学2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷

靖边中学2024级2025~2026学年度第一学期期末考试试卷·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.D因为a1=2,a+1=2an,数列{am}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a5=2X24=32.故选D. 2.B由题意可知：x+2y-2=0可以化为2x十4y-4=0,所以两平行直线4,2之间的距离d=1一（一4) /22+4 2万-学.放选B 3.C椭圆的短轴长是焦距的3倍，∴.b=3c,又.a2=b十2，∴.a2=3c2+c2=4c2,可得a=2c,∴.椭圆的离 心率为=台=故选C 4.A将圆O与圆O的方程相减，得一6x一4y十8=0，所以直线MN的方程为3x+2y一4=0.故选A 5.D令t=-2x+3,由复合函数的求导公式，得f(x)=(C)'(-2x+3)'=-2e=-2e+8,故子(2)= 是放选D an+1,n为奇数， 6.C因为a1=1,a+1= 所以a2=a+1=2,a3=一a2+2=0,a4=a3+1=1,a5=一a4+2 (一an十2，n为偶数， =1,a6=a十1=2，…，所以数列{am}是周期为4的周期数列，且a1十a2十3十a4=1+2+0十1=4，所以 S225=a1+a2+…+a225=506×(a1+a2十a3+a4)+a1=2025.故选C. 7.A()=3x2-m+,因为函数f(x)在定义域(0，十o0)内单调递增，所以(x)≥0在0，+o∞)上 恒成立，即m<3r2+2在0，十o∞)上恒成立，令g)=3+（x∈(0，十o∞)，则g)=6x-是- 6CrD,令g'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时，g(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，g(x)之 0,g(x)单调递增，所以g(x)mm=g(1)=9,所以≤9，即实数m的取值范围为（一o∞，9].故选A, 8B设OA=m(m>0),因为A在第一象限，且直线0A的倾斜角为60，所以A(受，严)，设机器人甲 在点P(x,y)处追上机器人乙，由机器人甲的速度是机器人乙的3倍，得|OP|=3|AP|,所以√x2十y= 3√受)+(），化简可得(。）)°+(-9）=（餐）广，所以点P在以（器，）为 圆心，积为半径的圆上.若要保证机器人甲在竞技区（含直线D内一定能追上机器人乙，则圆B在竞技区（含 0+× -6 直线)内，即直线1与圆B相切或相离，又点B到直线l的距离d= 16 12+(3) 毁3所 以智-3>≥，解得m≥4或m≤2，当m≥4时，A(受，)在安全区，不满足要求，所以m≤2，即0A 长度的最大值是2.故选B 9.AD由双面线E:长一号-1，得。=16，公=9，=d+6=16+9=25,即a=4,6=3c=5,所以双前线E 的实轴长为2a=8,虚轴长为2b=6,离心率=合=号，渐近线的斜率为士号=±专，散A正确，B错误，C 错误，D正确.故选AD. 10.ABC对于A,f(x)的定义域为R,由f(x)=x2一4x+3,得f(x)=2x-4,”(x)=2,因为”(x)≥0 在R上恒成立，所以f(x)在R上是“下凸函数”，故A正确；对于B,g(x)的定义域为(0，十o∞)，由g(x) 【高二期末考试试卷·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-430B =g4,得g()=之=2g)=2因为ga)≥0在0，十o)止恒成立所以 1 xin2 g(x)在(0，十o∞)上是“下凸函数”，故B正确；对于C,h(x)的定义域为R,由h(x)=x2+2cosx,得 h'(x)=2x-2sinx,h"(x)=2-2cosx,因为"(x)≥0在R上恒成立，所以h(x)在R上是“下凸函数”， 故C正确；对于D,g(x)的定义域为(0，十o∞)，由g(x)=x2lnx,得9'(x)=2xnx十x,g"(x)=2nx+ 3,当x∈(0，e立)时，g"(x)<0,所以9(x)在(0，十∞)上不是“下凸函数”，故D错误.故选ABC. 11.AD由a+1=4an十3，得a+1+1=4(an十1)，又a1十1=2，所以数列{am十1}是首项为2，公比为4的等比 数列，所以a十1=2×41=2，即a=21-1,故A正确；数列{an)的前n项和为S。=214）-= 1-4 子-》故B特误：因为负=片地经吊-2云，所以=立×号×君X义 分≠片放C结误：由工，，，得T。币T<k,令北=TVmT,所以R方× 是×号×…x2g分×Vm,R1=子×子×音×…X2×别×Vm,完 6 2m 2m 2m士)m=m8<1,所以R单调递减，当m∈[4，十∞)时，R的最大值为R=× (2m+2)√2m+1√/4m2+8m+4 子×号×号×2X4打-器，所以≥R=器即实数k的最小值为器故D正确故选D 12.6f)=3r+3,由导数的概念可知imf+△)=f①=f1)=6. △x 13.9由a1十a6+a16<a4,得a4十ag十a16<a4,所以ag十a6<0,即a十a10<0,又S1>S8,所以ag+a10+a11 >0,即3a10>0,a10>0,所以a4<0,当S取得最小值时，n=9. 14.±23 3 抛物线E2=y的准线为y=一号，所以M(0-是），设直线1的方程为y=kx-号， A(x1y),B(x22),由 6=k红是得z2-kx十9=0，所以4=36-36>0，即>1，十0 x2=6y =9,因为i=3城，所以(m十号)=3（十号），得1=3，所以=B:或 x1=35 m=一5：所以=大2=士25 x1=-3/5, 6 3 15.解：(1)由直线l的斜率为1，得线段AB的中垂线m的斜率为一1，…2分 又m过圆心（一2,6），则m的方程为y一6=一（x十2)，…4分 所以线段AB的中垂线方程为x十y一4=0.…6分 (2)由题意可得直线l的方程为x一y十4=0，…8分 圆心（一2,6）到直线1的距离为：d=-2一6十4=22，… 11分 1+1 所以AB引=2P-E=2W42-(22)2=42.…13分 16.解：(1)由f(x)=-x3十1.x2+6x-4,得f(x)=-3x2+21.x十6，…2分 所以(2)=-12+4十6=4m-6.…4分 因为函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与直线12x+y一2=0平行， 所以了(2)=-12，即4m-6=-12,解得m=-2: 3 …6分 (2)h（1),得f.)=2-号2+6x-4,f(x)=-3r2-3+6,…8分 令f（x)=0,解得x=-2,或x=1.……10分 【高二期末考试试卷·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-430B 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表所示： (-4,-2) -2 (-2,1) 1 (1,2) f(2) 0 十 0 f(x) 单调递减 -14 单调递增 1 2 单调递减 因此，当x=一2时，f(x)有极小值，且极小值为一14，当x=1时，f(x)有极大值，且极大值为一2 13分 又f(-4)=12,f(2)=-6, 所以函数f(x)在区间[一4,2]上的最大值为12，最小值为-14.… 15分 17.解：(1)由题意知a≠0，所以由au1=1千5a a,得1=1+5=1+5，所以1-1=5， …2分 an+1 an ant1 an 又-3，所以品}是首项为3，公差为5的等差数列， …4分 所以2=3十5(n-1)=51-2,即a.=5m-2: 6分 an (2)由(1)，得，=2=(5m-2)·2,。 8分 an 所以Sm=3×21+8×22+13×2+…+(51-2)·2①， 2Sm=3×22+8×23+13×2+…+(5n-2)·2+1②， ①-②，得-S.=3×2+5(2+2+…+2)-(5m-2)·21=6+5×2Y2）-(5m-2)·21 1-2 (7-5）21-14,…13分 所以Sn=(51-7)·2+1+14. 15分 18.解：(1)由AB引=42，得2a=42,解得a=2/2,…1分 设椭圆E的焦距为2c,由焦距为4，得2c=4,解得c=2.……2分 又b=/a2-c2=2, 所以椭圆E的标准方程为写十￥-1. 4分 (2)①由题意，得A(-22,0),B(2√2,0)， 设M(nn),由M)在椭圆E上，得号+平=1，即=4一 6分 4 4- 所以kAw·ka=边 2 x1+2/21-2/2x1-8x1-8 29 即直线AM,BM的斜率之积为一受 8分 ②设N(x2,y2), 若直线MN的斜率为O,则M,N关于y轴对称，所以kN+kM=O, 又直线AN的斜率是直线BM的斜率的3倍，所以kN=3kI,即kAN=kw=0, 由M,N不在x轴上，得kN≠0，kM≠0，与kN=kM=0矛盾，所以直线MN的斜率不为O.…9分 设直线MN的方程为x=my十n(n≠士2√2)，由 +兰-1得6m+2y+2mw+-8=0, (2 x=my+n, 所以△=4m22-4(m2+2)(2-8)=8(4m2+8-2)>0,且y+2= m2+2y2=n2-8 2m m+2,…11分 由①知kw·k=-合，又N=3m,所以w…kN=kw·3aw=-是，.】 3 2分 【高二期末考试试卷·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-430B 所以 VIV2 y12 3 +2W2)(+2W2)=-立，即 my++22)(m十n+22) 21 化简，得 y12 3 my+m(n+22)(y+为)+(n+22)2 29 14分 将为十为=一 票代人上式并化商，得 2mn n2-8 3 15分 m(-8)-2-4V2mtn+（n+22)2(n+2) 即+3√/2+4=0，解得n=-22(舍)或n=一√2，此时△=8(4n+8-2)=8(4+6)>0,…16分 所以直线MN:x=my一√2恒过点（一√2,0）.…17分 19.(1)解：由f(x)=e-a.x-1,得f(x)=e2-a,……1分 因为函数f(x)的极值点为0，所以f'(0)=e°一a=0,解得a=1.… 3分 若a=1,∫(x)=e一1，当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x>0时，f(x)>0,f(x)单调递增.所以 0是函数f(x)的极值点. 综上所述，a=1.…4分 (若没有验证0是函数∫(x)的极值点得3分) (2)证明：方法一：由(1)知f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以当x∈ (一2，十∞)时，f(x)≥f(0)=0,当且仅当x=0时等号成立.…6分 由8)=n十2》一1得x)=21=令g)=6,得=1， 当-2<x<-1时，g(x)>0,g(x)单调递增：当x>-1时，g'(x)<0,g(x)单调递减. 所以g(x)的极大值为g(一1)=0，也是g(x)的最大值，即g(x)≤g(一1)=0，当且仅当x=一1时等号 成立。… …8分 所以f(x)≥0≥g(x),且等号不能同时成立，故f(x)>g(x).…10分 方法二：令h(x)=f(x)一g(x)=e2-x-1-ln(x+2)-x-1]=e-ln(x十2)，x∈（一2，十∞），则 h'(x)=e- 1 干29…5分 因为心，十在e(-2十eo)上单调道增，(-1)=e1-1=是-100)=e-=宁>0， 所以]x0∈（-1,0)，使得h(x0)=0.……7分 当-2<x<xo时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x>时，h'(x)>0,h(x)单调递增.所以h(x)的极小值 为h(0),也是h(x)的最小值.…8分 由h()=0,得0=十2n(2m+2)=一，且∈(-1,0 所以h()=c0-1n(+2)=+2=十2针(6十2)-2≥2x十2·+2)-2=0，当宜仅 当xn=一1时等号成立，但xo∈（一1,0），所以等号不成立，即h(xn)>0. 所以h(x)≥h(xn)>0,即f(x)>g(x).… 10分 (3)证明：当n≥2时，a,=S。-S-1=ln(n+1)-1nn=h+l 11分 当n=1时，a1=S=ln2,满足上式， 所以a.=n"(n∈N). 12分 由(2)知对/x∈(-2，+∞)，f(x)>g(x),即e>n(x+2),…13分 取x=-1+,meN,则h(-1++2)<e片，所以(h"）"<e,即a)<e. ……… …15分 所以a十(ae)2+(a)9+…+(an)"<1+e1+e2++e1=e=e-e中 e 1-e可-e-1e-11 …17分 【高二期末考试试卷·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-430B靖边中学2024级2025~2026学年度第一学期期末考试试卷 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第二章一第三章，选择性必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.在数列{an}中，a1=2,an+1=2an,则a5= A后 R日 C.16 D.32 2.两平行直线41：2x十4y十1=0，l2:x十2y-2=0之间的距离为 A.√5 B⑤ C.1 3.若椭圆C的短轴长是焦距的3倍，则C的离心率为 A号 B 2 c司 D号 4.已知圆O:x2+y2-6x-4y+4=0与圆O2:x2+y2=4的交点为M,N,则直线MN的方 程为 A.3.x+2y-4=0 B.3x+2y+4=0 C.3x+2y+2=0 D.3x+2y-2=0 5.已知函数f(x)=e+3,则f(2)= A.2e B.e C.-1 e n-名 an十1，n为奇数， 6.已知数列{an}中，a1=1,an+1= 则数列{an}前2025项的和为 一an十2，n为偶数， A.0 B.2024 C.2025 D.4048 【高二期末考试试卷·数学第1页（共4页）】 26-T-430B 7.已知函数f(x)=x3一m.x十6lnx在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为 A.(-∞，9] B.[9,+∞) C.(-∞，9) D.(9,+∞) 8.为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青 少年机器人设计大赛.在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直 出形水若学到 角坐标系xOy中，直线l:x十5y一6=0为竞技区与安全区的分界 线，机器人甲在点O处，机器人乙在竞技区内的点A处，点A在第 安全 象限，且直线OA的倾斜角为60°.已知机器人甲的速度是机器人 竞技区 乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲 在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段OA长度的最大值是 A43 B.2 C23 3 3 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 已知双曲线E盖一号=1，则 A.双曲线E的实轴长为8 B.双曲线E的虚轴长为3 C双曲线E的离心率为号 D双曲线E的渐近线的斜率为士号 10.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称 f(x)在D上存在二阶导函数，记(x)=(∫(x))'.若”(x)≥0在D上恒成立，则称 ∫(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是 A.f(x)=x2-4x+3 B.g(x)=logx C.h(x)=x2+2cos x D.o(x)=z2In r log2 (an+1) 1.已知数列{a,}的首项为l,且a1=4a.+3(n∈N),6,=oga十十，数列{6.}的前n 项积为T,且不等式T.<k,2(m∈N)对Hm∈[4，+oo)都成立，则 2m+1 A.an=22m-1-1 B.数列{am}的前n项和为2(2"一1)一n c.T D实数：的最小值为器 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数fx)=x-是，则m1+△-f①= △x 【高二期末考试试卷·数学第2页（共4页）】 26-T-430B l3.已知等差数列{an}的前n项和为Snm,且a1十a6十a16<a4,S1>Ss,则Sn取得最小值时，n= 14.已知抛物线E:x2=6y的准线交y轴于点M,过点M作直线l交E于A,B两点，且MA= 3MB,则直线l的斜率是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知圆C:(x+2)2+(y一6)2=16，过点M(一4,0)作斜率为1的直线l交圆C于A,B 两点。 (1)求线段AB的中垂线方程； (2)求弦AB的长. 要目器合病交已，中觉批前出公沙水中，化 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=-x3+mx2十6.x-4的图象在点(2，f(2)处的切线与直线12x十y-2=0 平行 (1)求m的值； (2)求函数f(x)在区间[一4,2]上的极值与最值. 17.(本小题满分15分) 已知数列a.的首项a=子，且满足a1=3a an-(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式； (2)记，=2，求h的前n项和S 【高二期末考试试卷·数学第3页（共4页）】 26-T-430B 18.(本小题满分17分) x2 y 已知椭圆E:+芳=1(a>b>0)的左右顶点分别为A,B,且AB=42,椭圆E的焦距 为4. 华喽二吉 (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知点M,N(M,N不在x轴上)是椭圆E上不同的两点. ①求直线AM,BM的斜率之积； ②若直线AN的斜率是直线BM的斜率的3倍，试判断直线MN是否过定点？若是，求 出定点的坐标；若不是，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e一ax一l,g(x)=ln(x十2)一x一1(e为自然对数的底数，a∈R),函数 f(x)的极值点为0. (1)求a的值； (2)证明：对Vx∈(-2，十∞)，f(x)>g(x): (3)已知数列{an}的前n项和Sn=ln(n十1)(n∈N·),证明：a1十(a2)2+(a3)3十…十 (a)<e号 【高二期末考试试卷·数学第4页（共4页）】 26-T-430B