2.3 平行线的性质课件 2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

第2章 相交线与平行线 3 平行线的性质 第1课时　平行线的性质 北师版 七年级 数学（下） 复习导入 回顾：三种平行线的判定方法分别是什么? 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 判定 两条直线平行 在两条直线平行的条件下，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？ 新课探究 平行线的性质 如图，直线 a 与直线 b 平行，截线 c 与这两条平行线相交。 问题1：测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？ b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角相等。 45° 135° 135° 45° 45° 135° 135° 45° 问题1：测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？ b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 能 (1) 改变直线 c 与直线 a 所成角的大小再试一试，你能得到相同的结论吗？ (2)当两直线不平行时，同位角是否相等呢？ b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 不相等 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 c 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简述为：两直线平行，同位角相等。 几何语言： 因为 a∥b（已知）， 所以 ∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）。 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 小结 1.如图，直线a∥b，c是截线，若∠1=60°，则∠2的度数为______。 2.如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD 的平分线，若∠2=64°，则∠3=______。 120° 58° 针对训练 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 猜想：两条平行线被第三条直线截得的内错角相等。 45° 135° 135° 45° 45° 135° 135° 45° 问题2：图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？ b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 你能结合图形，推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？ 两条直线平行 同位角相等 内错角相等 转化 解：因为a∥b (已知)， 所以∠1=∠5 (两直线平行，同位角相等)。 又因为∠1=∠4 (对顶角相等)， 所以∠4=∠5 (等量代换)。 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 1.如图，AB∥CD，如果∠B=35°，那么∠C的度数为( )。 A.25° B.30° C.35° D.55° 2.如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是______。 C 35° 针对训练 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 猜想：两条平行线被第三条直线截得的同旁内角互补。 45° 135° 135° 45° 45° 135° 135° 45° 问题3：图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？ b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 结合图形，尝试写出推理的过程。 解：因为a∥b (已知)， 所以∠1=∠5 (两直线平行，同位角相等)。 又因为∠1+∠3=180° (平角的定义)， 所以∠5+∠3=180°(等量代换)。 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简述为：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言： 因为 a∥b (已知)， 所以 ∠3+∠5=180°(两直线平行，同旁内角互补)。 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 小结 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A =100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度? 解：因为AB∥DC， 所以∠A+∠D=180°， ∠B+∠C =180°(两直线平行，同旁内角互补)。 又因为∠A=100°，∠B=115°， 所以∠D=180°－∠A=180°－100°=80°， ∠C=180°－∠B=180°－115°=65°。 答：梯形的另外两个角分别是 80°和65°。 针对训练 如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4。 1 A B C D E F 2 3 4 (2) 反射光线 BC 与 EF 也平行吗？ (1)∠1 与∠3 的大小有什么 关系？∠2 与∠4 呢？ 思考探究 下面是小颖的思路，你能说明小颖每一步的理由吗？ (1)由于AB∥DE，可以得到∠1=∠3； 由∠1=∠2， ∠3=∠4，可以得到∠2=∠4。 (2) 由∠2=∠4，可以得到BC∥EF。 (1)由于 AB∥DE，可以得到 ∠1=∠3； (两直线平行，同位角相等) 由∠1=∠2， ∠3=∠4，可以得到∠2=∠4 (等量代换) (同位角相等，两直线平行) (2) 由∠2=∠4，可以得到 BC∥EF 1 A B C D E F 2 3 4 应用举例 【例1】如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝100°，试求∠3的度数． 【方法指导】平行线的性质1：两直线平行，同位角相等． 解：因为AB∥CD， 所以∠2＝∠1＝100° (两直线平行，同位角相等)． 又因为∠2＋∠3＝180°， 所以∠3＝180°－∠2＝180°－100°＝80°. 【例2】如图，AD∥BC，∠B＝∠D，则∠A与∠C相等吗？请说明理由． 【方法指导】平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补． 解：∠A＝∠C.理由如下： 因为AD∥BC， 所以∠A＋∠B＝180°， ∠D＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． 又因为∠B＝∠D(已知)， 所以∠A＝∠C. 【例3】如图，一束平行光线AB与DE射向同一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4. (1)∠1与∠3有什么数量关系？∠2与∠4呢？ (2)反射光线BC与EF平行吗？ 【方法指导】(1)平行线的性质1：两直线平行，同位角相等； 解：(1)因为AB∥DE， 所以∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)． 因为∠1＝∠2，∠3＝∠4， 所以∠2＝∠4(等量代换)； 【例3】如图，一束平行光线AB与DE射向同一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4. (2)反射光线BC与EF平行吗？ (2)根据同位角相等，两直线平行判断BC与EF之间的位置关系． (2)因为∠2＝∠4， 所以BC∥EF(同位角相等，两直线平行)． 课堂小结 线 平 行 线 相 交 线 两条 直线 相交 一般情况 补角 对顶角 相交成直角 垂直 位置 关系 余角 点到直线的距离 两条直线被第三条所截 概念 两直线平行的条件 两直线平行的性质 性质 概念 两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。 对顶角相等 两个角的和为180°，称两个角互补。 同角(或等角)的补角相等 两个角的和为90°，称两个角互余。 同角(或等角)的余角相等 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 性质 概念 性质 性质 概念 同位角 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 形如 ∠1与∠2 的位置关系 同位角相等，两直线平行。 概念 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 平行于同一条直线的两条直线平行。 内错角相等，两直线平行。 内错角 同旁内角 形如 ∠2与∠3 的位置关系 形如 ∠2与∠4 的位置关系 同旁内角互补，两直线平行。 两直线平行，同位角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。 随堂练习 1．如图． 因为AB∥CD(已知)， 所以∠B＝∠1(____________________________). 因为AD∥CB(已知)， 所以∠D＝∠1(___________________________). 因为AD∥BC(已知)， 所以∠BCD＋____＝180°(__________________________). 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 ∠D 两直线平行，同旁内角互补 2．如图，AE∥CD，若∠1＝37°，∠D＝54°，求∠2和∠BAE的度数． 解：因为AE∥CD， 所以∠2＝∠1＝37°，∠BAE＝∠D＝54°. 3．如图，AB∥CD，HP∥GQ，分别找出与∠1相等或互补的角． 解：与∠1相等的角：∠FED，∠GFB，∠HMB，∠CNP，∠CEQ，∠MFE，∠AMP. 与∠1互补的角：∠MNC，∠ENP，∠FEN，∠DEQ，∠GFM，∠BFE，∠HMA，∠FMN. 4．如图，AB∥CD，∠B＝42°，∠2＝35°，求∠1，∠A，∠ACB，∠BCD的度数． 解：因为AB∥CD， 所以∠1＝∠B＝42°，∠A＝∠2＝35°， 所以∠ACB＝180°－∠1－∠2＝180°－42°－35°＝103°， ∠BCD＝180°－∠1＝180°－42°＝138°. 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝120°，∠DCA＝20°，求∠BCA和∠DAC的度数． 解：因为AD∥BC， 所以∠BCD＝180°－∠D＝180°－120°＝60°， 所以∠BCA＝∠BCD－∠DCA＝60°－20°＝40°. 因为AD∥BC， 所以∠DAC＝∠BCA＝40°. 第2章 相交线与平行线 3 平行线的性质 第2课时　平行线的性质与判定的综合 北师版 七年级 数学（下） 复习导入 类别 文字语言 符号语言 图形 判定 ① ② ③ 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 因为∠1=∠5， 所以a∥b 因为∠3=∠6， 所以a∥b 因为∠3+∠5=180°， 所以a∥b b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 类别 文字语言 符号语言 图形 性质 ① ② ③ 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 因为a∥b， 所以∠1=∠5 因为a∥b， 所以∠3=∠6 因为a∥b， 所以∠3+∠5=180° b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 新课探究 平行线的性质 例1 根据下图，回答下列问题： A B C D F M E 3 2 1 解：∠1与∠2是内错角， 若∠1=∠2，则根据“内错角相等，两直线平行”，可得BF//CE。 问题2：若∠2=∠M，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？ A B C D F M E 3 2 1 解：∠2 与∠M是同位角， 若∠2 = ∠M， 则根据“同位角相等，两直线平行”，可得AM//BF。 问题3：若∠2 +∠3 = 180°，则可以判定哪两条直线平行？依据是什么？ A B C D F M E 3 2 1 解：∠2 与∠3是同旁内角， 若∠2 +∠3=180°， 则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得 AC//MD。 新课探究 与平行线的性质与判定有关的两步推理 例2 如图，AB//CD，如果∠1=∠2，那么 EF 与 AB 平行吗？说说你的理由。 又因为 AB∥CD， 所以 EF∥AB。 (平行于同一条直线的两条直线平行) D E A B F C 1 2 解：因为∠1 = ∠2， 所以 EF∥CD 。 (内错角相等，两直线平行) 例3 如图，已知直线 a∥b，直线 c∥d，∠1=107°，求∠2，∠3 的度数。 2 1 3 a b c d 解：因为 a∥b， 所以 ∠2 = ∠1 = 107° 。 (两直线平行，内错角相等) 因为 c∥d， 所以 ∠1 ＋ ∠3 = 180°。 (两直线平行，同旁内角互补) 所以 ∠3 = 180°－∠1 = 180°－107° = 73° 。 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 判定 性质 角的数量关系 直线的位置关系 角的数量关系 判定：证平行，用判定 性质：知平行，用性质 小结 针对训练 1.如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1=∠2=70°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠3=( )。 A.50° B.55° C.60° D.62° B 2.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B。 (1) AB 与EF平行吗？为什么？ 解： 平行。 因为∠1+∠2=180°(已知)， ∠1+∠DFE=180°(补角的定义)， 所以∠2=∠DFE(同角的补角相等)。 所以 AB∥EF(内错角相等，两直线平行)。 解：由(1)可知AB∥EF， 所以 ∠3=∠ADE (两直线平行，内错角相等)。 又因为 ∠3=∠B (已知)， 所以 ∠ADE＝∠B (等量代换)。 所以 DE∥BC (同位角相等，两直线平行)， 所以 ∠EDG =∠BGD=55°(两直线平行，内错角相等)。因为 DE平分∠ADG (已知)， 所以 ∠ADG=2∠EDG=110°(角平分线的定义)。 又因为 AB∥EF， 所以 ∠1=∠ADG=110°(两直线平行，同位角相等)。 (2)若∠BGD=55°，DE平分∠ADG，求∠1的度数。 应用举例 【例1】如图，AB∥CD，如果∠1＝∠2，那么EF与AB平行吗？说明你的理由． 【方法指导】平行线性质与判定的综合应用． 解：EF∥AB.理由如下：因为∠1＝∠2， 所以EF∥CD(内错角相等，两直线平行). 因为AB∥CD， 所以EF∥AB(平行于同一条直线的两条直线平行). 【例2】如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1＝107°，求∠2，∠3的度数． 【方法指导】利用平行线性质求角的度数． 解：因为a∥b， 所以∠2＝∠1＝107° (两直线平行，内错角相等). 因为c∥d， 所以∠3＝180°－∠1＝180°－107°＝73° (两直线平行，同旁内角互补). 【例3】如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF. (1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由； (2)求出∠AFD与∠AED之间的数量关系． 【方法指导】平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线． 解：(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE. 理由如下：过点E作EG∥AB. 因为AB∥CD，所以AB∥EG∥CD， 所以∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE. 因为∠AED＝∠AEG＋∠DEG， 所以∠AED＝∠BAE＋∠CDE； 【例3】如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF. (1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由； (2)同(1)可得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF. 因为∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF， 所以∠BAE＋∠CDE＝∠BAF＋ ∠CDF＝ (∠BAF＋∠CDF)＝ ∠AFD， 所以∠AED＝ ∠AFD. (2)求出∠AFD与∠AED之间的数量关系． 课堂小结 平行线的判定 平行线的性质 平行线的判定与平行线的性质的关系 直线的位置关系 两直线平行 直线的位置关系 角的数量关系 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 角的数量关系 判定 性质 随堂练习 1．如图，∠MON的一边OM为平面镜，∠MON＝36°，点A在ON上，从点A射出一束光线经OM上一点B反射，反射光线BC恰好与ON平行，则∠BAN的度数是____． 72° 2．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°.求∠C的度数． 解：因为EF∥BC， 所以∠BAF＝180°－∠B＝180°－80°＝100°. 又因为AC平分∠BAF， 所以∠FAC＝∠BAF＝ ×100°＝50°. 因为EF∥BC，所以∠C＝∠FAC＝50°. 3. 如图，已知∠1 = 105°，∠2 = 75°，请说明a//b 。 a b 1 2 3 4 解：由图可知 ∠3 =∠1，∠4 =∠2 (对顶角相等) ， 所以 ∠3 +∠4 = ∠1 +∠2 = 180°， 所以 直线 a//b（同旁内角互补，两直线平行）。 4. 如图，AE//CD，∠1=37°，∠D=54°，求∠2 和∠BAE 的度数。 B C A E D 1 2 解：因为 AE//CD， 所以 ∠2 = ∠1 = 37°(两直线平行，内错角相等)， ∠BAE =∠D = 54°(两直线平行，同位角相等)。 $