精品解析：广东省江门市福泉奥林匹克学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题B卷

江门市福泉奥校2025-2026第一学期12月月考八年级数学（B：3班、6班） 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式可以用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 若是完全平方式，则的值是（　　） A. -6 B. 6 C. D. ±36 6. 已知，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 72 D. 108 7. 解分式方程 时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 9. 有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（ ） A. ①路 B. ②路 C. 用时一样 D. 无法判断 10. 题目：当时，定义一种新运算： 例：，．若，则的值为（） A. B. C. 或0 D. 0 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x应满足条件____． 12. 分式、、的最简公分母是______． 13. 计算：_____． 14. 已知整式可以因式分解为，则的值为______． 15. 若方程无解，则的值为______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知如图所示： （1）尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，的面积为16，点E在边上，且，连接，求的面积． 20. 从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 21. 知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）计算：______ （3）①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于的方程的解为． （1）理解应用：方程的解为：_____，_____； （2）知识迁移：①若关于的方程的解为，求的值； ②解分式方程： （3）拓展提升：若关于的方程的解为，求的值． 23. 如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a−t）2＋|b−t|＝0（t＞0）． （1）证明：OB＝OC； （2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变； （3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM＝NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，当t ＝2时，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市福泉奥校2025-2026第一学期12月月考八年级数学（B：3班、6班） 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、单项选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法表示为，其中，为整数，对于小数，为负数，其绝对值等于第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选A． 2. 下列各式可以用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，根据判断各选项即可． 【详解】解：A．，为完全平方的相反数，不符合题意； B．，符合题意； C．，无相同项或互为相反数的项，不符合题意； D．，为完全平方的相反数，不符合题意； 故选 ：B． 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的定义，解题关键是依据 “把一个多项式化为几个整式的积的形式” 这一因式分解的本质特征，逐一判断选项． 根据因式分解 “把多项式化为几个整式积的形式” 的定义，逐一分析选项即可． 【详解】A：，是整式乘法运算，不符合题意， B：，等式右边是和的形式，不是整式积的形式，所以不符合题意， C：，因式分解正确，符合题意， D：，等式右边的因式不是整式，所以不符合题意． 故选C． 4. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0求x，分式的值为0需满足分子为0且分母不为0，据此解答即可． 【详解】解：∵ 分式 的值为0， ∴ 分子 且分母 . 解 得 ，即 或 . 当 时，分母 ，分式无意义； 当 时，分母 ，符合条件. ∴ ， 故选B． 5. 若是完全平方式，则的值是（　　） A. -6 B. 6 C. D. ±36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，运用完全平方式的定义进行变形、求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴当时，是一个完全平方式， 故选：C． 6. 已知，则的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 72 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算的逆用，逆用同底数幂的乘法，幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 7. 解分式方程 时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可． 【详解】解： 去分母得， 故选：D 8. 如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形的问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 9. 有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（ ） A. ①路 B. ②路 C. 用时一样 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式运算的实际应用，分别表示出这两条路的时间，再利用作差法比较分式大小即可． 【详解】解：设两条路的长度为S， 在①路用时为， 在②路用时为， ， ∵， ∴， 由题意可知S、x、y都大于0， ∴，即， ∴， ∴①路用时较小． 故选：A． 10. 题目：当时，定义一种新运算： 例：，．若，则的值为（） A. B. C. 或0 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，解分式方程；根据定义，分和两种情况计算和，代入方程求解，并验证是否满足大小关系． 【详解】，且， 分两种情况讨论： 当时， ，， ， 即， 解得， 但，与矛盾，无解． 当时， ，， ， 即， 解得， 且，满足条件． ， 故选：D． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x应满足条件____． 【答案】x≠1． 【解析】 【分析】当分式的分母不为零时，分式有意义，即x−1≠0． 【详解】当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1． 故答案为：x≠1． 【点睛】本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键． 12. 分式、、的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母的确定，根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可． 【详解】解：分母分解因式：，，；系数最小公倍数为12，字母a最高次幂为，字母b最高次幂为b，因式最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的除法，根据多项式除以单项式法则：多项式除以单项式就是用多项式中的每一项分别除以单项式，再把结果相加即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 已知整式可以因式分解为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解． 【详解】解：展开，与原式比较系数， 得， 解得 ， 则． 故答案为：． 15. 若方程无解，则的值为______． 【答案】6 或 9 或 12 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解的条件，需考虑整式方程无解或整式方程的解为增根两种情况，先去分母化为整式方程，再分别讨论即可． 【详解】解： 两边同乘最简公分母，得 ， 整理得 ， 当 时，即时，整式方程无解，故原方程无解， 当 ，整式方程的解为增根，则 ， 当 时，， 当 时，， 故答案为6或9或12． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂的意义、整式的乘除运算法则、分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． （1）根据负整数指数幂、零指数幂化简，再计算即可求出答案． （2）先算括号，再除法变乘法，最后约分化简即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． 两边同乘分母的最小公倍数，化为一元一次方程求解即可． 【详解】解： ， 检验，当时，最简公分母， 故是原方程的解． 18. 先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ∵且， ∴且， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知如图所示： （1）尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，的面积为16，点E在边上，且，连接，求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即所求， ； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据角平分线的作法利用尺规即可作的角平分线交于点； （2）过点D作，垂足为P，作，垂足为Q，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作，垂足为P，作，垂足为Q． ∵是的角平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴． 答：的面积为4． 20. 从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 【答案】（1）型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料 （2）至少购进型机器人台 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系及不等式关系是解题的关键． （1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料，根据“型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同”建立方程并求解即可； （2）设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据“每小时搬运材料不得少于”列出不等式并解答即可． 【小问1详解】 解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料， ， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料； 【小问2详解】 设购进型机器人台，则购进型机器人台， 解得：， 是整数， ， 的最小值为， 答：至少购进型机器人台． 21. 知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）计算：______ （3）①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）①1，②5． 【解析】 【分析】（1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）①将代入求解即可；②将，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，计算即可． 【小问1详解】 解：将看成一个整体，令， 则原式． 【小问2详解】 解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． 【小问3详解】 解：①∵， ∴ ． ②∵， ∴ ． 【点睛】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于的方程的解为． （1）理解应用：方程的解为：_____，_____； （2）知识迁移：①若关于的方程的解为，求的值； ②解分式方程： （3）拓展提升：若关于的方程的解为，求的值． 【答案】（1）4；； （2）①56；②，（）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料中的方法求解即可； （2）①由题意可得，，再由完全平方公式可得即可解答； ②方程两边同时乘以 2，得，整理得，令  ，则方程变为：，该方程的解为  或  （）  ，再分别求解即可． （3）将原式变形为，设，方程为，根据材料中的方法得，，还原为，，根据题意得，，即将目标代数式等量变换得即可解答． 【小问1详解】 解：∵的解为 ∴的解为，； 【小问2详解】 ①解：∵方程的解为， ∴，， ∴； ②解： 方程两边同时乘以 2，得， 令  ，则方程变为：， 该方程的解为  或  （）  ， 当  时，  ，解得  ， 当  时，  ，解得  ， ∴方程的解为，（）； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 设，方程变形为， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ 【点睛】本题考查了分式方程的解，完全平方公式，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 23. 如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a−t）2＋|b−t|＝0（t＞0）． （1）证明：OB＝OC； （2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变； （3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM＝NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，当t ＝2时，求点Q的坐标． 【答案】 （1）证明：（a−t）2＋|b−t|＝0（t＞0）， ，即， 点B坐标为（a，0），点C坐标为（0，b）， ， 故结论得证． （2）证明：如图所示：延长至点，使，连接、， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在与中， ． ，， ， ， 为等腰直角三角形． ，故∠OAF的大小不变． （3）点坐标为（，）． 【解析】 【分析】（1）利用绝对值以及平方的非负性求出B、C的坐标，利用坐标表示边长，即可证明结论． （2）延长至点，使，连接、，利用条件先证明，再根据全等三角形性质，进一步证明，最后综合条件得到为等腰直角三角形，进而得到∠OAF为，是个定值，即可证得结论成立． （3）先连接、、、，过作交轴于，利用平行关系和边相等证明，然后通过全等三角形性质进一步证明，再根据角与角之间的关系，求出 ，得到为等腰直角三角形，最后利用等腰三角形的性质，即可求出点坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接、、、，过作交轴于． 如下图所示： 和关于轴对称，在轴上． ， ， ， ， ． ， ， ， ， 在和中， ． ， 又， ， 垂直平分， ， 在和中， ． ，． ， 故． ，． 为等腰直角三角形． ． 故点坐标为（，）． 【点睛】本题主要是考查了对称点的坐标关系以及利用坐标求解几何图形，熟练掌握垂直平分线、平行线以及等腰三角形、全等三角形的判定和性质，是解决本题的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $