湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2025-2026学年高三数学限时训练（十四）

2025-2026 学年度上学期高三数学限时训练（十四） 一、单选题（每小题 5 分，共 30 分） 1. 若 m 为直线， α , β 为两个平面，则下列结论中正确的是 ( ) A ．若m//α , n α , 则m//n B ．若m 丄α, m 丄 β , 则 α 丄 β C ．若m//α , m 丄 β , 则 α 丄 β D ．若m α , α 丄 β , 则m 丄 β 2. 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A ． B ． C ． D ． 3. 如图，在立体图形D - ABC 中，若AB = CB ， AD = CD ， E 是AC 的中点，则下列命题中一定正确的是 ( ) A ．平面ADC 丄 平面BDE B ．平面 ABD 丄 平面BDC C ．平面 ABC 丄 平面 ABD D ．平面 ABC 丄 平面 ADC 4. 如图所示，在正方体 ABCD - A1 B1 C1D1 中，点P 为线段 A1C1 上的动点， 则下列直线中，始终与直线BP 异面的是( ) A. DD1 B ． AC C ． AD1 D ．B1C 5. 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是边长为 4 的正方形，PA = PB = 4 ，PC = PD = ，该棱锥的高为（ ）. A ． 1 B ．2 C ． D ． · 5. ( A . B ． ) 在如图五面体 ABC - DEF 中，棱 AD, BE, CF 互相平行，且两两之间距离均为 1 ．若 AD = 1，BE = 2，CF = 3 ．则该五面体的体积为 ( ) C ． D ． 试卷第 1页，共 2页 学科网（北京）股份有限公司 二、多选题（每小题 6 分，共 12 分) 7. 已知Sn 为等差数列{an } 的前 n 项和，d 为{an } 的公差，若S2025 < 0 ，S2026 > 0 ，则 ( ) A ． d > 0 B ． a1013 < a1014 C ． Sn 的最小值为S1013 D ． Sn 的最大值为S1013 8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，点 P 是线段BC1 （含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是 ( ) A ． A1C 丄 DP B ．若点 M 在正方形 A1B1C1D1 内（含边界），且| DM 则点 M 的轨迹长为 C ．三棱锥D - A1BP 的体积的最大值为 D．存在点 P，使得异面直线A1B1 与DP 所成的角为30。 三、填空题（每小题 5 分，共 10 分） 9. 已知点S , A, B, C 均在半径为 2 的球面上， ABC 是边长为3 的等边三角形， SA 丄 平面 ABC ，则SA = ． ( 小值为 ． ) 10. （2006·江西·高考真题） 已知在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，底面为直角三角形， 上ACB = 90。， AC = 6 ， BC = CC1 = ·、 ，P 是BC1 上一动点，则CP + PA1 的最 四、解答题（共 15 分） 11. 如图，在四棱锥 P -ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD ，PD ＝DC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F． (1)求证：PB⊥平面 EFD； (2)求平面 CPB 与平面 PBD 的夹角的大小． 试卷第 2页，共 2页 学科网（北京）股份有限公司 答案第3页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度上学期高三数学限时训练（十四) 一、单选题（每小题5分，共30分） 1.(2025天津高考真题)若为直线，心，B为两个平面，则下列结论中正确的是() A.若/Wa,nca,则lln B.若m⊥，m⊥B,则a⊥B C.若l/a,⊥B,则a⊥B D.若mc,a⊥B,则l⊥B 2.己知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是() A.+4r B.1+2m C.1+2n 1+4π D. 4π 2元 2π 3.如图，在立体图形D-ABC中，若AB=CB,AD=CD,E是AC的 中点，则下列命题中一定正确的是() A.平面ADC⊥平面BDE B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面ABD D.平面ABC⊥平面ADC 4. (2023·上海·高考真题)如图所示，在正方体ABCD-ABCD中， D 点P为线段AC上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是 A 6 () A.DD B.AC C.AD D.BC 5.(2024北京·高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4,PC=PD=2√2， 该棱锥的高为()， B A.1 B.2 c.2 D.3 6.(2024天津·高考真题)在如图五面体ABC-DEF中，棱AD,BE,CF互相平行，且两两 之间距离均为1.若AD=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体 积为() A.3 B.31 6 42 c.3 D.331 2 42 试卷第1页，共2页 二、多选题（每小题6分，共12分） 7.已知Sn为等差数列{a}的前n项和，d为{a}的公差，若So2s<0,So26>0,则() A.d>0 B.GoGoul C.Sn的最小值为So3 D.Sn的最大值为So13 8.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，点P是线段BC(含端点)上的一个动点， 则下列结论正确的是() A.AC⊥1DP B.若点M在正方形ABCD内（含边界），且 ) A IDM=2,则点M的轨迹长为 2 C.三枝锥D-4BP的体积的最大值为 D D.存在点P,使得异面直线AB,与DP所成的角为30 三、填空题（每小题5分，共10分） 9.(2023全国乙卷·高考真题)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为 3的等边三角形，SA⊥平面ABC,则SA= 10.(2006江西·高考真题)己知在直三棱柱ABC-AB,C 中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6, BC=CC=√2，P是BC,上一动点，则CP+PA的最 小值为一 四、解答题（共15分） 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥ R 底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于 点F. (I)求证：PB⊥平面EFD: (2)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 试卷第2页，共2页 《限时训练(14)》参考答案 题号 1 2 3 5 6 8 答案 0 C ABC AB 1.C【详解】对于A,若l/a,nC&,则m,n可平行或异面，故A错误； 对于B,若m⊥a,⊥B,则a∥B,故B错误： 对于C,若ml/a,则存在直线aca,a/m, 所以由m⊥B可得a⊥B,故&⊥B,故C正确： 对于D,mca,u⊥B,则m与B可平行或相交或lCB,故D错误； 2.C【详解】设圆柱的底面半径为r,高为h, 因为圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以h=2, 所以圆柱的表面积为2π2+2π.h=2π2+4元r2, 圆柱的侧面积为4π2r2, 所以这个圆柱的表面积与侧面积的比值是2π+4πr_1+2江 4π2r2 2π 3.C【详解】因为AB=CB,且E是AC的中点，所以BE⊥AC, D 因为AD=CD,且E是AC的中点，所以DE LAC, 因为BEDE=E,BE,DEC平面BDE, 所以AC⊥平面BDE,由于ACC平面ADC, 所以平面ADC⊥平面BDE,A正确： 4.B【详解】由正方体的性质易知当P为AC的中点时，P为B,D 的中点， 而DDBB,所以B,D,D,B共面，则BP、DD,在平面BDDB,上，故A不符题意； 因为AA∥CC,即A,C,C,A共面， 易知P∈平面ACCA,而BE平面ACCA,，P∈AC,P庄AC, 故BP与AC异面，故B符合题意； 当P、C重合时，易知AB/DC,AB=D,C, 则四边形ABC,D,是平行四边形，则此时AD∥BP,故C不符合题意： 当P、C重合时，显然B,C,BP相交，故D不符合题意 答案第1页，共4页 5.D【详解】如图，底面ABCD为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设 PA=PB=AB=4,PC=PD=22, 分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF, 则PE⊥AB,EF⊥AB,且PEOEF=E,PE,EFC平面PEF, 可知AB⊥平面PEF,且ABC平面ABCD,所以平面PEF⊥平面ABCD, 过P作EF的垂线，垂足为O,即POLEF, 由平面PEF∩平面ABCD=EF,POC平面PEF,所以PO⊥平面ABCD, 由题意可得：PE=2W3,PF=2,EF=4,则PE2+PF2=EF2,即PE⊥PF, 则片阻，PR-P0即，可得P0-PPP-5,所以四棱链的高为5 EF 6.C【详解】用一个完全相同的五面体HJ-LMN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与 该五面体相嵌，使得D,N:E,M;F,L重合， 因为AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1.AD=1,BE=2,CF=3, H 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形， 侧棱长为1+3=2+2=3+1=4， =22 2 7.ABC【详解】由S<0,可得2025，+ae-2025a,<0,即4m<0, 2 又由Sx>0,2026(g+a）-=1013a+4）>0,即4s+au>0, 2 4o4>0,且ao13<4o14,则☑=4o14-4o13>0, 所以4<4<<4o3<0<4o4,所以Sn的最小值为So3无最大值. 故A,B,C均正确，D错误。 8.AB【详解】对于A,在正方体ABCD-ABGD中，有AC⊥平面DBC,DPc平面DBC, 所以AC⊥DP,选项A正确：对于B,|DM=√2，则点M在以点D为球心，半径R=√万 的球上，又点M在正方形AB,C1D内（含边界），所以点M在球与正方形ABCD的交线上， 即点M在以点D为圆心，半径r=1的二圆周上，点M的轨迹长为2兀x1× 子选项B正 答案第2页，共4页 确：对于C,4-,点4到平面D8P的距离是完值，定值为号40=29，三枝锥 3 D-ABP的体积取最大值，即三棱锥A-DBP的体积取最大值，即底面DBP的面积取最大 D 值，即点P与点C重合， B 亿，4r）=亿48=y4s= 3 33 D 选项C错误；对于D,异面直线AB,与DP所成的角，即为直线DC 与DP所成的角，即∠CDP,CP∈ 之1CD=1,所必 tan∠CDp= CD 2 321 所以选项D错误. 9.2【详解】如图，将三棱锥S-ABC转化为正三棱柱SMN-ABC, 设△ABC的外接圆圆心为O,半径为，则 AB 3 2r= =2√3 sin∠ACBV3 ,可得r=√3， 2 设三棱锥S-ABC的外接球球心为O,连接OA,OO,则 01=2,00=284, 因为04=00+04，即4=3+4，解得4=2. 10.5√2【详解】由题意知，PA在几何体内部，但在面AC,B内， 把面ACB沿BC展开与△CBC在一个平面上如图，连接AC, B 则AC的长度即为CP+PA的最小值， 因为在直三棱柱ABC-AB,C中，CC1⊥平面AB,C, 而ACc平面ABC1,则AC⊥CC, 因为∠ACB=90°，则∠ACB=90°，即AC1⊥B,C1, 又CC∩B,C1=C,CC,B,C1C平面BBCC,则AC1⊥平面BB,CC, 而BCC平面BB,CC,所以AC1⊥BC,即∠ACB=90°， 答案第3页，共4页 因为BC=CC=√2，易知CC⊥BC,所以∠CCB=45° 所以∠CCA,=45°+90°=135°，而AC=6,CC1=V2, 所以在△CCA中，AC2=AC+CC-24C,·CC,cos135°=50， 所以AC=5√2，即CP+PA的最小值为5√2 11【详解】(1)因四边形ABCD是正方形，则BC⊥CD, 又PDL底面ABCD,BCC平面ABCD,则BC⊥PD 因PD,CDC平面PDC,PDOCD=D,则BC⊥平面PDC.--2分 又DEC平面PDC,则DE⊥BC,因PD=DC,E是PC的中点，则DE⊥PC. 又PC,BCC平面PBC,PCOBC=C,则DE⊥平面PBC,-5分 因PBC平面PBC,则DE⊥PB,又EF⊥PB,DE,FEC平面EFD,DE∩FE=E, 则PB⊥平面EFD;-8分 (2)由(1)及DFC平面EFD可知PBLDF, 故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角， 不妨设PD=DC=2,DE=√2， 在△PBD中，BD=2V2,PB=2N5,DF=2x25_26 233 又DE⊥面PBC,,EFC面PBC,∴.DE⊥EF, 在RtAEFD中，sm∠EFD=DB-V反VB ΓDF-26-2, “∠BFD=行，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小 .-15分 答案第4页，共4页