精品解析：江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校 2025-2026学年九年级上学期数学期末限时模拟练习一

九年级上学期数学期末模拟练习一 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1. 已知，则代数式的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用设k法求解． 由，可设，（），代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴ 设，（）， 则， ∴ 代数式的值为， 故选：C． 2. 在下列说法中：①若两条弧的度数相等，则它们是等弧；②直径是圆中最长的弦；③如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；④平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧；其中说法正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，包括等弧的定义、弦的性质、圆心角与弦的关系以及垂径定理．根据圆的基本性质、垂径定理、弦与弧的关系及三角形外心的定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，所以度数相等的弧不一定是等弧，还要求所在的圆是同圆或等圆，故①错误； ∵直径是圆中最长的弦，故②正确； ∵在同圆或等圆中，弦相等则所对圆心角相等，故③错误； ∵当弦是直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，故④错误． ∴正确的只有②，共1个． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（ ） A. 当时，抛物线开口向下 B. 抛物线与轴交点坐标为 C. 顶点坐标是 D. 当时，顶点是抛物线的最低点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的联系，通过二次函数图象与性质，以及二次函数图象与系数的联系，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，抛物线开口向上，选项叙述错误，不符合题意； B、抛物线与轴交点坐标为；选项叙述错误，不符合题意； C、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，正确，符合题意； D、当时，顶点是抛物线的最高点，选项叙述错误，不符合题意； 故选：C． 4. 设，是一元二次方程的两个根，则的值（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，灵活运用这些知识是解题的关键． 将代入方程可得，由根与系数的关系可得，将转化为后代入计算即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． 又∵m，n是方程的两个根， ∴由根与系数的关系，得， ∴． 故选：D． 5. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在网格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦值． 用网格求出三边的长，根据等腰三角形的性质，求出边上的高，进而求出边上的高，最后根据三角函数的意义求解即可． 【详解】解：如图，取的中点D，连接，则，过点C作，垂足为E， 由网格可得，， 则边上的高， 由三角形的面积公式得，， 即， ∴， ∴． 故选：C． 6. 一组不完全相等的数据，，，……，其平均数为，则在数据，，，……，，中，方差、平均数、众数、中位数一定改变的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数及方差．掌握求一组数据的平均数、众数、中位数、方差的方法，是解决本题的关键．原数据平均数为 m，加入 m 后新平均数不变；方差因分母增大而一定减小；众数和中位数可能改变也可能不变，不一定改变． 【详解】解：原数据平均数为 m， 新数据总和为，个数为． 新平均数，不变． 方差分析：原数据方差为．由题干“不完全相等的数据”可知，．新数据方差为 因此，方差一定改变． 中位数分析：如数据∶1，2，4，5的平均数，中位数为3．加入后，新数据为∶1，2，3，4，5，中位数仍为3． 众数分析：如数据∶1，1，2，2，的平均数，众数为1和2．加入后，新数据为1，1，，2，2，众数仍为1和2． 故选∶A． 7. 如图，平行四边形中，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解决本题的关键． 根据平行四边形的性质可得且，再证明可得，再证明进而即可解答． 【详解】解：∵平行四边形， ∴且， ∵点是中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，二次函数的图像与轴交于点与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：；；；若则，其中正确结论的个数为 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像与性质逐一排除即可，熟练掌握二次函数的图像与性质，能从图像中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵图像与轴交于点，对称轴为直线， ∴图像与轴交另一个点为， ∴当时，，故正确； 由图像与轴交另一个点为， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴，故正确； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上可得：正确，共个， 故选：． 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 9. 若是方程的根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到，然后整体代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 将抛物线向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移方式即可确定新抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 向右平移4个单位长度，顶点横坐标增加4；向上平移5个单位长度，顶点纵坐标增加5， 新顶点坐标为，即， 故答案为：． 11. 如图，斜坡的坡度为，如果将斜坡的铅垂高度从A处沿射线的方向延伸2米，并保持坡度不变，那么需从B处沿射线的方向延伸___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，坡度比的相关问题，根据坡度比设，，由题意可知：，，则， 列方程求解即可． 【详解】解：如图所示：斜坡的坡度为，设，， 由题意可知：，， ∴即， 解得， 故答案为． 12. 数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割比． 根据黄金分割比求解即可． 【详解】解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 13. 圆锥的底面积为，母线是，则这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式． 通过圆锥底面积求出底面半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：设圆锥底面半径为， 由底面积公式得， 解得（负值舍去）， 圆锥的母线长， 则侧面积为（）． 故答案为：． 14. 已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由，可知函数图像开口向下，对称轴为，再根据增减性判断即可． 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． 15. 如图，⊙是的内切圆，，现将40个点均匀投入该三角形，落在内切圆中的点有22个，则由以上数据可以估算出的近似值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概型的计算公式，勾股定理逆定理以及三角形的内切圆，先判断是直角三角形，再根据几何概型的计算公式和题意即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴, ∴是直角三角形， 如图，设圆的半径为r， 则有， ∴ 由几何概型得， ∴． 故答案为：． 16. 如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，掌握二次函数图象与不等式之间的关系是解题关键． 根据图象判断函数值的大小关系即可． 【详解】解：由图象可知，在点A的左侧和点B的右侧，抛物线在直线的上方， 故当或时，， 故答案为： 或． 17. 如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交、于点E、F，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的重心的性质、三角形中位线定理，取中点，连接，由题意可得，是中点，连接并延长交于，则点为的中点，即，过点作交的延长线于，证明，证明为的中位线，得出，，结合题意可得，证明，求出，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵点G是的重心， ∴是中点， 连接并延长交于，则点为的中点， ∴， 过点作交的延长线于， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，是中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，过点作于，设与相切于点，连接，并延长交于，则，根据勾股定理求出，再根据等面积法求出，，进而得到，证明，得到，由于是定值，所以若要最小，则最大，当与重合时，，此时有最大值，即，即可求解． 【详解】解：过点作于，过点作于， 设与相切于点，连接，并延长交于， 则， 在矩形中，，， ， ，即， ， 同理可得：， ， ，， ， 又， ， ， 是定值， 若要最小，则最大， 当与重合时，，此时有最大值，即， 的最小值是， ，因此最小值应为 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线． 三、解答题（本题共10小题，19-22每题8分，23-26题每题10分，27-28每题12分，共96分.计算题要写出完整步骤！） 19. （1）计算 （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值和解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值计算即可求解； （2）利用配方法即可求解． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解： 或， ，． 20. 如图，在正方形的网格中，已知． （1）①以点为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且位似比为2； ②若的面积为6，则的面积为______； （2）若建立如图所示的平面直角坐标系．点，，，则的外心的坐标为______． 【答案】（1） ①如图，即为所求； ②24 （2） 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质、三角形外心的定义，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似比为2，作出即可； （2）根据面积比等于位似比的平方，进行解答即可； （3）根据两点间距离公式得到、、，根据外心的定义得到，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 ①略 ②解：由于与位似比为2， 则， 因此， 故答案为：24； 【小问2详解】 解；设的坐标为， 则、、， 由于点M是的外心， 则， 即， 解得， 则点的坐标为， 故答案为：． 21. 我国书法历经数千年的发展，形成了篆书、隶书、楷书、行书、草书五种主要书体．雯雯和笑笑准备参加书法兴趣班，她们制作了一个如图所示的可以自由转动的转盘，将转盘平均分成四份，并在扇形中分别标上．篆书、．隶书、．楷书、．行书，雯雯先转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的书体，然后笑笑再转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的书体，两人各自选择自己所转到的书体学习．（若指针指在分割线上，则重转） （1）雯雯转到的书体是．篆书的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， （1）由概率公式即可得出答案； （2）列表，共有16个等可能的结果，雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的结果有7种，由概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：一共有四种书体，．篆书是其中一种，则雯雯转到的书体是．篆书的概率是． 【小问2详解】 解：列表如下： 笑笑 雯雯 由上表可知，一共有16种等可能的结果，其中雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的结果有7种， ∴雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的概率为． 22. 某校为了解学生对安全知识的掌握情况，对他们进行了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各10名学生的测试成绩进行整理分析，下面给出了部分信息．甲班10名学生测试成绩分别为：79，87，88，92，90，92，97，92，99，95．乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：88，89，89．根据信息，回答下列问题： 乙班学生测试成绩的频数分布表如下： 班级 乙 3 1 3 1 2 甲、乙两班学生测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如下： 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 91.1 a 92 28.89 乙 86.5 89 b 62.86 （1）___________，___________； （2）乙班的小明测试成绩是88分．小明认为自己的成绩高于平均分，所以他的成绩高于乙班一半学生的成绩．你认为小明的判定正确吗？请说明理由； （3）根据以上数据，你认为哪个班本次测试的成绩较好？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）92，88.5 （2） 解：小明的判定错误． 理由：虽然小明的成绩88高于乙班的平均分86.5，但是乙班成绩的中位数是88.5，乙班约有一半学生的成绩大于或等于88，而，所以小明的成绩低于乙班一半学生的成绩，小明的判定不正确； （3） 解：甲班本次的测试成绩更好． 理由：①从平均数角度看，甲班的平均数是91.1，乙班的平均数是86.5分，，所以从平均数来看，甲班本次的测试成绩更好； ②从方差角度看，甲班的方差是28.89，乙班的方差是62.86，，说明甲班学生的成绩比乙班学生的成绩更稳定，所以从方差来看，甲班本次的测试成绩更好． 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的概念理解，用中位数和方差做决策，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）由中位数和众数的定义即可求解； （2）根据中位数的定义即可判断； （3）可从平均数或方差的两个角度进行分析即可． 【小问1详解】 解：甲班10名学生测试成绩分别为：79，87，88，92，90，92，97，92，99，95，其中92出现的次数最多， ∴众数； 由于乙班有10人，那么中位数是第5，6人成绩的平均数，由表格可知第5，6人在这一档，而乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：88，89，89， ∴中位数为， ∴， 故答案为：92，88.5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 中国最早的大型佛教石窟寺遗址克孜尔千佛洞，位于新疆阿克苏地区拜城县克孜尔镇东南7千米明屋塔格山的悬崖上．今年8月，小白和小新一起去克孜尔千佛洞玩耍，从大门到石窟群可以选择步行和坐马车两种方式，大门位于石窟群南偏东37°的位置，小白以速度75米／分钟从大门沿方向步行至石窟群，小新乘坐马车沿的路线到石窟群和他们汇合，马车的速度是小白速度的倍，位于大门北偏西60°位置，、之间距离为1200米，在正西方向600米处，石窟群在的正北方向．（参考数据：，，，，）． （1）求路线的长；（结果保留根号） （2）小白和小新谁先到石窟群处？（结果保留到小数点后1位） 【答案】（1）路线的长为米 （2）小白先到石窟群A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于点F，过点D作，垂足为E，根据题意可得，米，，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：延长交于点F，过点D作，垂足为E， 则四边形是矩形， ∴，米， 由题意得，在中，，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴路线的长为米； 【小问2详解】 解：小白先到石窟群A， 理由：∵小白的速度是75米／分钟，马车的速度是小白速度的倍， ∴马车的速度是米／分钟， 在中，米， ∴米， ∴小新乘马车到石窟群A需要的时间分， 小白到石窟群A需要的时间（分）， ∵， ∴小白先到石窟群A． 24. 如图1，点为的边上的一个点，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上确定一个点，作使得它经过点，并且与相切于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，连接，过点作交于，若的半径为3，则 ．（如需画草图，请使用备用图2） 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线交于点，在上取，过点作的垂线与的交点即为圆心； （2）连接，根据圆的切线的性质，得出，结合垂径定理可得垂直平分，证明，进而证明，得到，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，的半径为3， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， 垂直平分， ，， 又， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了复杂作图——作垂线，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定和性质，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，掌握基本作图方法，以及圆和三角形的相关性质是解题关键． 25. 小明投资销售一种进价为每件元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． （1）设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于元，那么小明每月的成本最少需要多少元？成本进价销售量 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元 （3）想要每月获得的利润不低于元，小明每月的成本最少为元 【解析】 【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润定价进价销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； （3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本． 此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 即； 【小问2详解】 对于函数 当时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 【小问3详解】 取得， 解这个方程得：，． 当时，． 当时，． 设每月的成本为元，由题意，得： 当时，的值最小，． 答：想要每月获得的利润不低于元，小明每月的成本最少为元． 26. 【模型探究】 （1）如图1，四边形中，，为对角线，． ①求证：平分； ②若，，则___________； 【模型应用】 （2）如图2，四边形中，，为对角线，，为的中点，连接、，与交于点．若，，则______________，_______________； 【模型拓展】 （3）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上，用无刻度的直尺作图．在图3中上画出点（点不与点重合），使． 【答案】 （1）①证明：， ， ， ， ， 平分； ② （2）， （3）如图： 【解析】 【分析】（1）①证明，即可得到，从而证明平分； ②由①可得，代入已知边长即可求， （2）根据模型分别求出三角形的各边长，过点作交于点，过点作交于点，利用等积法求出，利用中位线的性质求出，有，可得； （3）在网格上取点，连接于圆的交点为，可证，则，所以 ，则可得． 【详解】解：（1）①略 ②解：， ， ，， 即， ， 故答案为：； （2）解：，， 是的平分线， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 解得， 过点作交于点，过点作交于点， 在中，， ， ∵，， ∴， 又∵为中点， 则为的中位线， ∴， ， ∴， ， ； 故答案为：，； （3）如图在网格上取点，连接于圆的交点为，理由如下： 是圆的直径， ， ，，，，， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查三角形的性质和判定，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，中位线定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 27. 问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=2，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F． （1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①=______ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 _______． （2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． （3）根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程_______．（结果保留π） 【答案】（1），30°； （2）成立 （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明△FBD∽△EBA，可得，∠BDF=∠BAE，即可求解； （2）通过证明△ABE∽△DBF，可得，∠BDF=∠BAE，即可求解； （3）由（1）（2）可知直线AE与AH的夹角为30°，则∠APD=30°，连接AC与BD交于Q，证明∠AQD=60°，得到点P在以Q为圆心，以AQ为半径的圆上运动，如图1所示，初始位置时，点P与点B重合，如图4所示，当旋转角度为60°时，点P与点C重合，如图5所示，当旋转角度为180°时，点P与点B重合，当旋转角度在0°—60°时，点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从B运动到C），当旋转角度为60°—180°时点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从C运动到B）由此即可求解． 【小问1详解】 解：如图1所示， ∵∠ABD=30°，∠DAB=90°，EF⊥BA， ∴，， ∴，， ∴， 如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H， ∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°， ∴∠DBF=∠ABE=90°， 又∵， ∴△FBD∽△EBA， ∴，∠BDF=∠BAE， 又∵∠DOB=∠AOF， ∴∠DBA=∠AHD=30°， ∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°， 故答案为：，30°； 【小问2详解】 解：结论仍然成立，理由如下： 如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H， ∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转， ∴∠ABE=∠DBF， 又∵， ∴△ABE∽△DBF， ∴，∠BDF=∠BAE， 又∵∠DOH=∠AOB， ∴∠ABD=∠AHD=30°， ∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°． 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知直线AE与AH的夹角为30°， ∴∠APD=30°， 连接AC与BD交于Q， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，∠DAB=90°， ∵∠DBA=30°， ∴∠ADQ=60°， ∴△ADQ是等边三角形， ∴∠AQD=60°， ∴点P在以Q为圆心，以AQ为半径的圆上运动， 如图1所示，初始位置时，点P与点B重合，如图4所示，当旋转角度为60°时，点P与点C重合，如图5所示，当旋转角度为180°时，点P与点B重合， ∴当旋转角度在0°—60°时，点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从B运动到C），当旋转角度为60°—180°时点P的运动轨迹为在以Q为圆心，以AQ为半径的弧BC上运动（从C运动到B） ∴点P的运动轨迹长即为2倍的弧BC的长 ∵， ∴， 又∵∠CQB=∠AQD=60°， ∴， ∴点P的运动路程为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 28. 如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图①，设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图①中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）； （4）点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）将B，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令求得A的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，表示出和，根据列出方程求得m的值，进而求得结果． （4）分情况考虑E、F情况，结合线段与抛物线有两个公共点，求得的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于点，交轴于点， 解得 二次函数的解析式． 【小问2详解】 解：连接， ，二次函数图象的顶点为， ． ，． 由，得 ，． 二次函数的图象与轴相交于点， ． ． 【小问3详解】 解：由点在对称轴上，则设， 由（2）知，， ． 是以为底边的等腰三角形， ． 则． ． 解得． ． 【小问4详解】 解：点为抛物线上的一个动点，且横坐标为， ． 点的横坐标为，且线段轴， 、F纵坐标相等． ． 当时，E、F重合， 解得． 线段与抛物线有两个公共点， 不符合题意． 当时，． 在F左侧．如图 此时，线段与抛物线有一个交点，不符合题意． 当时，． 在F左侧．如图 点关于直线对称点横坐标为 此时，线段与抛物线有两个公共点． ． 当时，． 在F右侧，如图 此时，点关于直线对称点横坐标为． 当与F重合时，线段与抛物线有两个公共点． ，解得． ． 综上，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学期末模拟练习一 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1. 已知，则代数式的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 在下列说法中：①若两条弧的度数相等，则它们是等弧；②直径是圆中最长的弦；③如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；④平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧；其中说法正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（ ） A. 当时，抛物线开口向下 B. 抛物线与轴交点坐标为 C. 顶点坐标是 D. 当时，顶点是抛物线的最低点 4. 设，是一元二次方程的两个根，则的值（ ） A. B. C. D. 5 5. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在网格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 一组不完全相等的数据，，，……，其平均数为，则在数据，，，……，，中，方差、平均数、众数、中位数一定改变的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，平行四边形中，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图像与轴交于点与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：；；；若则，其中正确结论的个数为 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 9. 若是方程的根，则的值为__________． 10. 将抛物线向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为_____． 11. 如图，斜坡的坡度为，如果将斜坡的铅垂高度从A处沿射线的方向延伸2米，并保持坡度不变，那么需从B处沿射线的方向延伸___________米． 12. 数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 13. 圆锥的底面积为，母线是，则这个圆锥的侧面积是__________． 14. 已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 15. 如图，⊙是的内切圆，，现将40个点均匀投入该三角形，落在内切圆中的点有22个，则由以上数据可以估算出的近似值是_____． 16. 如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______． 17. 如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交、于点E、F，则的值为______． 18. 如图，在矩形中，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是________． 三、解答题（本题共10小题，19-22每题8分，23-26题每题10分，27-28每题12分，共96分.计算题要写出完整步骤！） 19. （1）计算 （2）解方程：． 20. 如图，在正方形的网格中，已知． （1）①以点为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且位似比为2； ②若的面积为6，则的面积为______； （2）若建立如图所示的平面直角坐标系．点，，，则的外心的坐标为______． 21. 我国书法历经数千年的发展，形成了篆书、隶书、楷书、行书、草书五种主要书体．雯雯和笑笑准备参加书法兴趣班，她们制作了一个如图所示的可以自由转动的转盘，将转盘平均分成四份，并在扇形中分别标上．篆书、．隶书、．楷书、．行书，雯雯先转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的书体，然后笑笑再转动一次转盘，转盘停止转动后，记录指针所指扇形中的书体，两人各自选择自己所转到的书体学习．（若指针指在分割线上，则重转） （1）雯雯转到的书体是．篆书的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求雯雯和笑笑至少有一人学习．楷书的概率． 22. 某校为了解学生对安全知识的掌握情况，对他们进行了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各10名学生的测试成绩进行整理分析，下面给出了部分信息．甲班10名学生测试成绩分别为：79，87，88，92，90，92，97，92，99，95．乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：88，89，89．根据信息，回答下列问题： 乙班学生测试成绩的频数分布表如下： 班级 乙 3 1 3 1 2 甲、乙两班学生测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如下： 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 91.1 a 92 28.89 乙 86.5 89 b 62.86 （1）___________，___________； （2）乙班的小明测试成绩是88分．小明认为自己的成绩高于平均分，所以他的成绩高于乙班一半学生的成绩．你认为小明的判定正确吗？请说明理由； （3）根据以上数据，你认为哪个班本次测试的成绩较好？请说明理由（写出一条即可）． 23. 中国最早的大型佛教石窟寺遗址克孜尔千佛洞，位于新疆阿克苏地区拜城县克孜尔镇东南7千米明屋塔格山的悬崖上．今年8月，小白和小新一起去克孜尔千佛洞玩耍，从大门到石窟群可以选择步行和坐马车两种方式，大门位于石窟群南偏东37°的位置，小白以速度75米／分钟从大门沿方向步行至石窟群，小新乘坐马车沿的路线到石窟群和他们汇合，马车的速度是小白速度的倍，位于大门北偏西60°位置，、之间距离为1200米，在正西方向600米处，石窟群在的正北方向．（参考数据：，，，，）． （1）求路线的长；（结果保留根号） （2）小白和小新谁先到石窟群处？（结果保留到小数点后1位） 24. 如图1，点为的边上的一个点，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上确定一个点，作使得它经过点，并且与相切于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，连接，过点作交于，若的半径为3，则 ．（如需画草图，请使用备用图2） 25. 小明投资销售一种进价为每件元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． （1）设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于元，那么小明每月的成本最少需要多少元？成本进价销售量 26. 【模型探究】 （1）如图1，四边形中，，为对角线，． ①求证：平分； ②若，，则___________； 【模型应用】 （2）如图2，四边形中，，为对角线，，为的中点，连接、，与交于点．若，，则______________，_______________； 【模型拓展】 （3）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上，用无刻度的直尺作图．在图3中上画出点（点不与点重合），使． 27. 问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=2，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F． （1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①=______ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 _______． （2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． （3）根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程_______．（结果保留π） 28. 如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图①，设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图①中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）； （4）点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $