专题1.2 等腰三角形 （寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

等腰三角形 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 等腰三角形的性质定理 考点梳理 1.性质定理1：等腰三角形的两底角相等。这一定理可简述为：“等边对等角”。 2.性质定理2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（简述为“三线合一”） 3.等腰三角形中特殊线段的性质 （1）等腰三角形两底角的平分线相等； （2）等腰三角形两腰上的中线相等； （3）等腰三角形两腰上的高线相等。 典例引领 考向01 等边对等角 【例1】如图，在中，是边上的一个定点，是边上的一个动点．若为等腰三角形，，求的度数． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】①当时，如图①． ， ； ②当时，如图②． ， ； ③当时，如图③． ， ． 综上所述，的度数为或或． 考向02 三线合一 【例2】如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查动点的函数图象、勾股定理和三角形的面积，根据动点的函数图象推理线段的长度是解题的关键． 首先根据函数图象不断增大得到，再根据曲线图象得到，，即可计算的面积． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， ∴由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为10，即， 当点P在上运动时，先减小再增大， ∵M是曲线部分的最低点， ∴此时最小，即，， ∴此时， ∵由于图象的曲线部分是轴对称图形，图象右端点函数值为10， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：48． 考向03 根据等角对等边证明等腰三角形 【例3】如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的判定． （1）考查三角形全等的判定，关键是识别全等的三边条件； （2）等腰三角形的判定(等角对等边)，关键是利用全等三角形的性质得到 【详解】（1）证明：在和中， ∵，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 考向04 根据等角对等边证明边相等 【例4】如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则的周长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边等知识点，由已知条件推出，是解题的关键． 由三角形角平分线的定义可得，，由两直线平行内错角相等可得，，进而可得，，由等角对等边可得，，然后利用等量代换即可求出的周长． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：A． 考向05 根据等角对等边求边长 【例5】如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质等知识，先根据角平分线的定义，得出，结合平行线的性质可知，继而得到，从而得解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 对点提升 【对点1】已知为等腰三角形，它的一个外角为，求的度数． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后用内角和定理或三角形外角的性质求的度数即可． 【详解】解：当是顶角，且的外角是时，； 当是顶角，且或的外角是时，故底角； 当是顶角，且或的外角是时，底角为， 故顶角； 当是顶角，且的外角是时，． 综上所述，的度数为或或． 【对点2】如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合即可求解，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键，根据等腰三角形“三线合一”性质得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即，（等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合）， 即得出旗杆的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 【对点3】如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由得到，然后等量代换得到，推出，然后结合即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 【对点4】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 【对点5】如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 考点02 等边三角形的性质定理 考点梳理 1.性质定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2.等边三角形的其他性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (3)等边三角形各边上的高、中线及各角的平分线互相重合，且长度相等 . 典例引领 考向01 等边三角形的性质 【例1】如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，连接． (1)求的度数； (2)若的面积为，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，，则有，然后根据三角形的面积可进行求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形，是中线， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 对点提升 【对点1】等边中，点、分别是、边上的点（不与端点重合），连接、相交于点，且． (1)如图，求的度数； (2)如图，点、分别是线段、上的动点，连接、相交于点，平分，平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先通过等边三角形性质和证明，再利用三角形外角性质将转化为，进而求得其度数； （2）作的角平分线，先由角平分线和角度关系推出，再通过平分，通过证明两组三角形全等，将和转化为和，最后结合推出，从而证明． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 答：． （2）解：如图，过点作的角平分线，交于点， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ， ． 考点03 等腰三角形的判定定理 考点梳理 1.判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。这一定理可以简述为：等角对等边。 2.等腰三角形的性质定理与判定定理的异同 相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” . 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它们所对的边相等，是等腰三角形的判定。 典例引领 考向01 等腰三角形的性质和判定 【例1】如图所示的是一张长方形纸片，已知，，为上一点，．现要剪下一张等腰三角形纸片（），使点落在长方形的某一条边上．求等腰三角形的底边长． 【答案】或或5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的判定和性质，进行分类讨论是解决问题的关键． 分情况讨论：①当时，则是等腰直角三角形，得出底边即可；②当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可；③当时，底边；即可得出结论． 【详解】解：如图，根据题意，可分成以下三种情况讨论： ①当时，为底边． ， 为等腰直角三角形， ； ②当时，为底边． ，， ， ； ③当时，为底边，． 综上所述，等腰三角形的底边长为或或． 考向02 格点图中画等腰三角形 【例2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，内任意一点H的坐标为． (1)请在图中作出关于x轴对称的图形，并写出内与点H对应的点的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得是以点A为顶角顶点的等腰三角形，则点P的坐标是______． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查坐标与轴对称，网格中画等腰三角形，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的定义是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出点的坐标即可； （2）根据等腰三角形的定义和网格特点确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵点H的坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：如（1）图，点。 考向03 找出图中的等腰三角形 【例3】如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 考向04 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【例4】平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】此题主要考查了点的坐标，等腰三角形的性质．先根据点，的坐标求出与轴的交点为线段的中点，然后分两种情况进行讨论：（1）当点在轴上时，又有以下三种情况：①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，②以点为圆心，以的长为半径画弧交轴于点，③过点作交轴于，（2）当点在轴上时，又有以下两种情况：①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，②以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，综上所述可得出答案． 【详解】解：∵，， ，， 的中点坐标为， 与轴的交点即为的中点， 在坐标轴上取点，使为等腰三角形， 有以下两种情况： （1）当点在轴上时，又有以下三种情况： ①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图1所示： 此时，， 和均为等腰三角形，则点和点为所求的点； ②以点为圆心，以的长为半径画弧交轴于点，如图2所示： 此时， 为等腰三角形，则点为所求的点； ③过点作交轴于，连接，如图3所示： 点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 为等腰三角形，则点为所求的点． 综上所述：当点在轴上时，满足条件点有4个． （2）当点在轴上时，又有以下两种情况： ①以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图4所示： 此时，， 和均为等腰三角形，则点和点为所求的点， ②以点为圆心，以为半径画弧交轴于点，，如图5所示： 此时，， 和均为等腰三角形，则点和点为所求的点． 综上所述：当点在轴上时，满足条件点有4个． 在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是8个． 故选：C． 考向05 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【例5】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、的坐标分别为，，，问：坐标轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标．    【答案】或或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，分三种情况：当时，当时，当时，分别画图求解． 【详解】解：长方形的顶点、、的坐标分别为，，， ，， ，， 当时，如图，点，，则， ， ，． 当时，如图，点，则， ， ， ． 同理 当时，如图，点， 则点在线段的垂直平分线上， 则， ．    综上所述，在轴上存在点，使得是等腰三角形，点的坐标为或或或或． 对点提升 【对点1】在中，，．求证：为直角三角形． 【答案】见解析 【分析】如图，作的平分线交于点，过点作于点，则，由题意证得，推出，再根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：如图，作的平分线交于点，过点作于点，则． ， ， ， ． 又，． 在和中， ， ， 为直角三角形． 【对点2】如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1） （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明 ． 【答案】 取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及用轴对称，两点之间线段最短． （1）利用等腰直角三角形的性质，即可求出的度数； （2）取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，点和即为所求， 方法：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求， 故答案为：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 【对点3】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的定义和性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点、、关于轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，分以为等腰三角形的腰和以为等腰三角形的底两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：； （3）解：如图， 当以为等腰三角形的腰时，可得，，， 当以为等腰三角形的底时，可得， 所以，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点有个． 故答案为：． 【对点4】如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ②当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ∴这样的点有（个）， 故答案为：． 【对点5】如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查梯形的面积，全等三角形的判定及性质，勾股定理和等腰三角形的判定及性质，根据设问找到对应线段之间的等量关系是解题关键． （1）分两种情况讨论，用含t的代数式表示出对应线段，通过梯形的面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不确定，分两种情况讨论，借助勾股定理和全等三角形的判定与性质，用含t 的代数式表示出对应线段，利用腰相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：分两种情况讨论： 第一种：点P抵达点C前，则，，，， 由题意，可得，， ∴即为梯形的高， 由梯形的面积公式可得，梯形的面积为， 令， 解得， 第二种：点P抵达点C后， ，， ∴当点P抵达点C时，，， ∴， 故梯形的面积为， 故该种情况不存在， ∴； （2）解：由（1）可知，此时点P在抵达点C前，则，，，， 分两种情况讨论： 第一种：如图，，过点Q作于点E，连接， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 解得； 第二种，如图，，过点P作于点E， 同第一种情况，可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 综上，，或． 考点04 反证法 考点梳理 1. 概念 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 2. 用反证法证明命题的一般步骤 （1）反设：假设命题结论不成立。 （2）归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 （3）定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确。 3. 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式 结论词 是 都是 大(小)于 能 相等 至少有一个 至多有一个 负数 否定形式 不是 不都是 不大(小)于 不能 不相等 一个也没有 至少有两个 非负数 典例引领 考向01 反证法证明中的假设 【例1】用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反证法：反证法的第一步是假设结论的否定． 【详解】解：∵结论是， ∴反证法第一步应假设． 故选：C． 考向02 用反证法证明命题 【例2】已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行公理的应用，同位角相等两直线平行，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 假设 ．过点 G作直线 ，使 ，推得，得出与平行公理矛盾，从而假设 不成立，得出结论成立． 【详解】证明：假设 ． 过点 G作直线 ， 使 ． 因为， 由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行）， 可知 ． 又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于， 这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾． 因此假设 不成立， 所以 ． 对点提升 【对点1】用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（    ） A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角 C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角 【答案】D 【分析】本题考查反证法；反证法需假设原命题的否定成立，原命题“最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”. 【详解】解：∵原命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”， ∴反证法时应先假设“至少有两个内角是钝角”. 故选：D. 【对点2】如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法的应用，三角形的重要线段，全等三角形的判定和性质， 掌握倍长中线法是解题关键． 先假设重合，将中线延长到点N，使得，易证得，则有，．结合是的平分线，判断出，这与题意矛盾，说明假设不成立． 【详解】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接． ∵是边上的中线． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的平分线，点M与点D重合， ∴， ∴， ∴，这与题干相矛盾． ∴假设不成立， ∴点M与点D不重合． 考点05 等边三角形的判定定理 考点梳理 1. 判定定理 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 . 2. 判定定理 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 . 证明等边三角形的思维导图： 典例引领 考向01 等边三角形的判定 【例1】如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． ， ． ． ； （2）证明：， ， ， ． 是等边三角形． 考向02 等边三角形的性质和判定 【例2】如图，为等边三角形，点D，E分别在边和上，，与交于点P，于点F，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明，由全等三角形的性质得出，可得①②正确，无法证明，故可判断③，再根据证明，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确， ∵，故②正确， ∵点D的位置不确定， ∴无法证明，故③错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确，符合题意； 所以，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 对点提升 【对点1】如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边对等角，得出，再根据等边三角形的性质，得出，，从而可得，再证明，从而可得，进而可求得． （2）先证明，从而可得，再求得，从而可得是等边三角形． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． （2）∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等边三角形． 【对点2】如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)的度数为 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、角平分线的性质和证明全等三角形，证明全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到对应边相等，再进行等角代换得到相等的角，即可证明； （2）根据角平分线并结合全等三角形得到，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵在等边中，是的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 考点06 含30°角的直角三角形的性质 考点梳理 1. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言：如图1.2-6，在 Rt △ ABC 中 ， ∵∠ C=90°，∠ A=30°，∴ BC= AB. 2. 作用：证线段的倍分关系和求线段的长度 . 典例引领 考向01 含30°角的直角三角形 【例1】如图，在等腰直角和钝角中，点在线段上，连接，．若，且点到的距离为时，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键． 过点作于，交于，过点作于，连接，延长到，使，连接，利用证明，得出，根据等腰直角三角形的性质得出及含角的直角三角形的性质得出，，证明，，得出，根据外角性质及等边对等角得出，即可得答案． 【详解】解：过点作于，交于，过点作于，连接，延长到，使，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∵等腰直角中，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到的距离为． 故答案为： 对点提升 【对点1】如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．利用勾股定理求出的长，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，在中，，，为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠，使点的对应点落在上，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，先用三角形的内角和求出，根据折叠的性质得到，，则由等边对等角求出，从而得解． 【详解】解：在中，∵，， ∴． ∵为的中点， ∴． 由折叠的性质可知，，， ∴，即为等腰三角形． 在中，∵， ∴． ∴． 故选：A． 2．如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置．根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为是边上的中线， ∴垂直平分， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值 ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，在中，，现将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用折叠的性质得出，，再根据等边对等角得出，然后根据三角形外角的性质求出，从而可利用三角形的内角和定理求得． 【详解】解：∵将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处， ∴，， 又， ∴， ∴， 又是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，，，以为边在的外部作等边三角形，点为的中点，分别连接和，交于点，连接．某同学在研究这个图形时有两个猜想：①；②，关于这两个猜想，你的判断是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都错误 D．①、②都正确 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，二次根式的除法运算等知识点． 先证明为等腰直角三角形，然后由勾股定理得到，即可判断①；设，则由等边三角形可知，则，则，然后由得到，再由三角形面积公式求解，即可判断②． 【详解】解：∵等边三角形，点为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，故①正确； 设， 则由等边三角形可知， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：D． 5．如图，已知，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明出是解题的关键． 先证，由性质得，可得①正确；由性质得 ，结合平角的性质，得②正确；由性质得，通过面积计算可得④正确；随着点E的变化而变化，不一定等于，故③错误． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ， 是直角， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形，故①②正确； ，故④正确； 随着点的变化而变化， 不一定等于，故③错误； 故选：C． 6．如图，在等腰三角形中 ，分别是的高和中线，，，是上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．13 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，等腰三角形的性质，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小是解题的关键． 利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接，当时，线段的和最小，最小值为． 【详解】解：∵在等腰中，，是的中线， ∴，故点B关于的对称点是点C， 连接， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即的长度， 故的最小值是． 故选：B． 7．已知，P是的平分线上一点，若在射线上存在点E使是等腰三角形，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，分类讨论是关键；根据等腰三角形的三种情况分别计算的度数，得到可能值为或不在其中． 【详解】解：∵ 平分，， ∴． 当是等腰三角形时，分三种情况： ① 当时，如图， ∵， ∴. ② 当时，如图， ∵， ∴； ③ 当时，如图， ∵， ∴． ∴ 可能为或不可能． 故选C． 8．如图，在等边三角形中，点在边上，点关于直线的对称点分别是点，那么关于线段与线段之间的数量关系正确的是（　　） A．       B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，过作于点，由轴对称性质可得，，，，又是等边三角形，则，即，可得，所以，故有，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作于点， ∵点关于直线的对称点分别是点， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，在中，，，的平分线交于点F，平分．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及全等三角形的判定与性质，①根据同角的余角相等求出；②无法找出的条件；先证明，再分别证明，和，运用全等三角形的性质可判断③和④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵平分， ∴； 若，则， 但题目中没有给出与的数量关系，无法推出该结论，故②错误，不符合题意； ③∵平分， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③④正确，符合题意； 所以，正确的结论有3个 故选：B． 10．如图，等边三角形纸片的边长为，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，解题的关键是通过折叠的性质得出对应的线段等量关系． 根据折叠的性质，得，，即可求得阴影部分的周长之和． 【详解】解：由折叠的性质，得，， ∵为等边三角形， 得， 三个阴影部分的周长的和为： ， 故选D． 2、 填空题 11．如图，在中，，，为线段上一动点，当为等腰三角形时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，熟练掌握分类讨论等腰三角形的腰（或底）的情况是解题的关键．先求出的度数，再分三种情况讨论为等腰三角形时的可能值． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 情况1：当时， ∵， ∴， ∴， 情况2：当时， ∵， ∴，此时，点P不在线段上，不符合题意，应舍去； 情况3：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 12．如图，为内一点，平分，，，若，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，三角形外角的性质，延长交于点，证明，得到，，可得，证明，可得，进而可得答案． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：11． 13．利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设： ． 【答案】这两条直线不平行 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由原命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”的结论是“两条直线互相平行”， 因此反证法第一步应假设结论不成立，即“这两条直线不平行”， 故答案为：这两条直线不平行． 14．如图，在中，，，，点D，E是线段上动点，且满足，连接，，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，且使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作，且使得，连接， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 15．如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作，使得，连接，则有，通过等腰三角形性质可得，又平分，所以，则，然后证明，得，即，故当三点共线时，有最小值等于的长，再证明是等边三角形，所以，即的最小值为． 【详解】解：如图，作，使得，连接， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值等于的长， 又，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 3、 解答题 16．如图，在中，平分，过线段上一点作 ，交于点，交的延长线于点． (1)判断的形状，并加以证明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，根据平行线的性质得到，，推出，即可求证； （2）由角平分线的定义可得，推出，再根据得到，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形，证明如下： 平分， ， ， ，， ， 是等腰三角形； （2）平分，， ， ， ， ， ， ． 17．如图，在中，，点为上一点，延长到，使，连接交于为上一点，连接． (1)求证：． (2)若，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作交于点G，由平行线的性质得，由得，等量代换后证明，结合证明，进而证明，即可得出； （2）由得，结合可得，即，根据等腰三角形三线合一，可证． 【详解】（1）证明：如图，作交于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）知 ， ， ， ， ，即， ， 是的中线， 由（1）知， ． 18．如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设，则 ；（用含x的式子表示） (2)当时，求 ； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由 ． 【答案】(1) (2)8 (3)线段的长不发生变化，始终等于3，理由见详解 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形性质得，，再根据即可得出的长； （2）依题意得设，则，，由三角形内角和定理得，则是直角三角形，进而得，则，由此解出，继而可得的长； （3）过点P作，交于点H，则，，，由此得是等边三角形，则，，由此证明和全等得，则，然后根据得． 【详解】（1）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：依题意得：， 当时，设， ∴，， 在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：8； （3）解：线段的长不发生变化，始终等于3，理由如下： 过点P作，交于点H，如图所示： ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：线段的长不发生变化，始终等于3． 19．学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字形全等的方法来解决问题． 【课例回顾】 （1）如图，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，．请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并加以证明； 【猜想探究】 （2）如图，在中，，，为中线，且，过点作交于点，线段_____．(用含的式子表示) 【答案】（1）过点作，延长交于点；测量线段的长度即可得到的长 （2） 【分析】（1）本题考查全等三角形的判定与性质的实际应用，关键是利用“构造全等三角形”的方法，将不可直接测量的线段转化为可测量的线段，通过作垂线构造直角，结合对顶角和已知边相等，用证明三角形全等； （2）本题考查直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，关键是通过“倍长中线”构造全等三角形，将转化为，再结合线段垂直平分线的性质和角度推导，得到含角的直角三角形，从而利用性质求出的长度． 【详解】（1）解：如图，过点作，延长交于点． 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 因此，测量线段的长度即可得到的长； （2）解：如图，延长到使，连接． ∵为中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 20．如图1所示，已知中，， ，点D在射线上，以点D为圆心，为半径画弧交边于点E，过点E作交边于点F，射线交射线于点G． (1)求证：； (2)若点G在线段延长线上时，设，试用x的关系式表示y． (3)连接，当是等腰三角形时，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）在上截取，在中，由勾股定理，可得，进而可得；由，可证是等边三角形，，由外角和定理得，进而得，所以，即可证； （2）由是等边三角形可得，在中，由勾股定理可表示出 ，整理即可解答； （3）根据等腰三角形的判定定理，有两条边相等的三角形是等腰三角形，分三种情况①当时，②当时，③当时，④当D在延长线上，且时，分别计算即可得的长． 【详解】（1）证明：如图，在上截取， 中， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴即； （3）解：如图， 中， ∴ ∵，， ∴，，，， ①当时，在中， ∴， ， 解得：（舍去），； ②当时， 在中，， ∴， ∴CG= ∴， 解之得：； ③当时，在中， ， ∴， ， 解得：(不合题意，舍去)； ④当D在延长线上，且时， 在中，同理， ∴， ∴， ∴， ∴， 解之得：； 综上所述：的长为或或． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 等腰三角形 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 等腰三角形的性质定理 考点梳理 1.性质定理1：等腰三角形的两底角相等。这一定理可简述为：“等边对等角”。 2.性质定理2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（简述为“三线合一”） 3.等腰三角形中特殊线段的性质 （1）等腰三角形两底角的平分线相等； （2）等腰三角形两腰上的中线相等； （3）等腰三角形两腰上的高线相等。 典例引领 考向01 等边对等角 【例1】如图，在中，是边上的一个定点，是边上的一个动点．若为等腰三角形，，求的度数． 考向02 三线合一 【例2】如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是 ． 考向03 根据等角对等边证明等腰三角形 【例3】如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 考向04 根据等角对等边证明边相等 【例4】如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则的周长为(    ) A． B． C． D． 考向05 根据等角对等边求边长 【例5】如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 对点提升 【对点1】已知为等腰三角形，它的一个外角为，求的度数． 【对点2】如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【对点3】如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 【对点4】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【对点5】如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 考点02 等边三角形的性质定理 考点梳理 1.性质定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2.等边三角形的其他性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (3)等边三角形各边上的高、中线及各角的平分线互相重合，且长度相等 . 典例引领 考向01 等边三角形的性质 【例1】如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，连接． (1)求的度数； (2)若的面积为，，求的长度． 对点提升 【对点1】等边中，点、分别是、边上的点（不与端点重合），连接、相交于点，且． (1)如图，求的度数； (2)如图，点、分别是线段、上的动点，连接、相交于点，平分，平分，求证：． 考点03 等腰三角形的判定定理 考点梳理 1.判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。这一定理可以简述为：等角对等边。 2.等腰三角形的性质定理与判定定理的异同 相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” . 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它们所对的边相等，是等腰三角形的判定。 典例引领 考向01 等腰三角形的性质和判定 【例1】如图所示的是一张长方形纸片，已知，，为上一点，．现要剪下一张等腰三角形纸片（），使点落在长方形的某一条边上．求等腰三角形的底边长． 考向02 格点图中画等腰三角形 【例2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，内任意一点H的坐标为． (1)请在图中作出关于x轴对称的图形，并写出内与点H对应的点的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得是以点A为顶角顶点的等腰三角形，则点P的坐标是______． 考向03 找出图中的等腰三角形 【例3】如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 考向04 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【例4】平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 考向05 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【例5】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、的坐标分别为，，，问：坐标轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标．    对点提升 【对点1】在中，，．求证：为直角三角形． 【对点2】如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1） （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明 ． 【对点3】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【对点4】如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 【对点5】如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 考点04 反证法 考点梳理 1. 概念 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 2. 用反证法证明命题的一般步骤 （1）反设：假设命题结论不成立。 （2）归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 （3）定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确。 3. 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式 结论词 是 都是 大(小)于 能 相等 至少有一个 至多有一个 负数 否定形式 不是 不都是 不大(小)于 不能 不相等 一个也没有 至少有两个 非负数 典例引领 考向01 反证法证明中的假设 【例1】用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 考向02 用反证法证明命题 【例2】已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 对点提升 【对点1】用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（    ） A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角 C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角 【对点2】如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 考点05 等边三角形的判定定理 考点梳理 1. 判定定理 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 . 2. 判定定理 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 . 证明等边三角形的思维导图： 典例引领 考向01 等边三角形的判定 【例1】如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 考向02 等边三角形的性质和判定 【例2】如图，为等边三角形，点D，E分别在边和上，，与交于点P，于点F，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 对点提升 【对点1】如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 【对点2】如图，在中，，，是的平分线，E为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 考点06 含30°角的直角三角形的性质 考点梳理 1. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言：如图1.2-6，在 Rt △ ABC 中 ， ∵∠ C=90°，∠ A=30°，∴ BC= AB. 2. 作用：证线段的倍分关系和求线段的长度 . 典例引领 考向01 含30°角的直角三角形 【例1】如图，在等腰直角和钝角中，点在线段上，连接，．若，且点到的距离为时，则点到的距离为 ． 对点提升 【对点1】如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，在中，，，为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠，使点的对应点落在上，则的度数是(    ) A． B． C． D． 2．如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，现将三角形沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，以为边在的外部作等边三角形，点为的中点，分别连接和，交于点，连接．某同学在研究这个图形时有两个猜想：①；②，关于这两个猜想，你的判断是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都错误 D．①、②都正确 5．如图，已知，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在等腰三角形中 ，分别是的高和中线，，，是上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．13 D．12 7．已知，P是的平分线上一点，若在射线上存在点E使是等腰三角形，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在等边三角形中，点在边上，点关于直线的对称点分别是点，那么关于线段与线段之间的数量关系正确的是（　　） A．       B． C． D． 9．如图，在中，，，的平分线交于点F，平分．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，等边三角形纸片的边长为，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，在中，，，为线段上一动点，当为等腰三角形时， ． 12．如图，为内一点，平分，，，若，，则 ． 13．利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设： ． 14．如图，在中，，，，点D，E是线段上动点，且满足，连接，，则最小值为 ． 15．如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为 ． 3、 解答题 16．如图，在中，平分，过线段上一点作 ，交于点，交的延长线于点． (1)判断的形状，并加以证明； (2)若，，求的度数． 17．如图，在中，，点为上一点，延长到，使，连接交于为上一点，连接． (1)求证：． (2)若，求证． 18．如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设，则 ；（用含x的式子表示） (2)当时，求 ； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由 ． 19．学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字形全等的方法来解决问题． 【课例回顾】 （1）如图，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，．请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并加以证明； 【猜想探究】 （2）如图，在中，，，为中线，且，过点作交于点，线段_____．(用含的式子表示) 20．如图1所示，已知中，， ，点D在射线上，以点D为圆心，为半径画弧交边于点E，过点E作交边于点F，射线交射线于点G． (1)求证：； (2)若点G在线段延长线上时，设，试用x的关系式表示y． (3)连接，当是等腰三角形时，请直接写出的长度． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $